北师大选修2-2 1.3 反证法(2)
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.3 反证法
【跟踪训练】 如图所示,AB,CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB,CD不能互相平分.
【证明】连接AC,CB,BD,DA, 假设AB,CD互相平分, 则四边形ACBD为平行四边形, 所以∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD. 因为四边形ACBD为圆的内接四边形, 所以∠ACB+∠ADB=180°, ∠CAD+∠CBD=180°,
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.因为ad-bc=1, 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 则a=b=c=d=0, 这与已知条件ad-bc=1矛盾,故假设不成立. 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
所以∠ACB=90°,∠CAD=90°, 所以对角线AB,CD均为圆的直径,与已知条件矛盾, 所以AB,CD不能互相平分.
类型二 用反证至少有两个钝角”的否定是
______________________________.
2.已知a,b为正实数,请用反证法证明: a 1 与 b 1 中至少有一个不小于2.
2.本例1条件改为“任何三角形的内角至多有一个钝角”,则其否定为 ________. 【解析】“任何三角形的内角至多有一个钝角”的否定为存在一个三角形,其 内角有两个或三个钝角. 答案:存在一个三角形,其内角有两个或三个钝角
类型三 用反证法证明唯一性命题 【典例】已知:一点A和平面α. 求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直. 【思路导引】
1.3反证法 课件(北师大版选修2-2)
明:数列{cn}不是等比数列.
【解析】假设数列{cn}是等比数列,则(an+bn) =(an-1+bn-1)(an+1+bn+1),① 因为{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为 p,q,所以 2 2 ������������ =an-1an+1,������������ =bn-1bn+1, 代入①并整理得:2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1=anbn( + ),即 2= + ,②
问题4 适合用反证法证明的试题类型
(1)直接证明困难, (2)需分成很多类进行讨论, (3)结论为“至少”“至多”“有无穷多个”类命题, (4)结论为“唯一”类命题.
导.学. 固. 思
1
否定结论“方程至多有两个解”的说法中,正确的是( C ).
A.有一个解 C.至少有三个解 B.有两个解 D.至少有两个解
64
1
又(1-a)a≤(
1-������ +������ 2
������ 1 5 ������ 2
导.学. 固. 思
用反证法证明至多、至少等形式的命题
实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中 至少有一个负数.
【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则
1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd, 这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d至少有一个负数.
������ ������ ������ 1 1 1
2
4
高中数学第一章推理与证明1.3反证法课件北师大选修2_2
两式相加得2+x+y≥2x+2y,
∴x+y≤2,这与已知条件x+y>2矛盾. 因此1+������������<2 和1+������������<2 中至少有一个成立.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定.
(√ ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( × ) (3)使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种可能时,
论证一种即可. ( × )
探究一
探究二
思维辨析
用反证法证明否定性命题
【例1】 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: √������, √������, √������ 不成等差数列.
分析:因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题 时可从假设√������, √������, √������ 成等差数列入手证明,进而推出矛盾.
证明:假设√������, √������, √������成等差数列,则有 2√������ = √������ + √������, 即 4b=a+c+2√������������.
对所有 x 成立
对任意 x不 成立
至少有 n个
至多有 n个
p或q p且q
反 设 词
一个 也没 有
至少 有两 个
存在某 个 x0 不成立
存在某 个 x0 成立
至多有 n-1 个
至少有 n+1 个
������p ������p 且������q 或������q
(北师大版)数学选修2-2：第1章《反证法》ppt复习课件
高三数学：1.1.3反证法 课件 (北师大选修2-2)
法。
三个步骤：反设—归谬—存真
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。 注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从
进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
变式2:
2, 3, 5 不可能成等差数列
解题反思： •证明本题时，你是怎么想到反证法的？ •反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？
注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，
.比较困难，
2
我们应采用反证法 , 证明：假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 1 ，则 2
f (1) 2 f (2) f (3) 2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f (1) 2 f (2) f (3) f (1) 2 f (2) f (3) (1 p q) 2(4 2 p q) (9 3 p q) 2
知识结构
合情推理
归纳推理
推理
类比推理
推
演绎推理
理
与
证
明
直接证明
证明
综合法 分析法
间接证明
反证法
“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……” ， “不等于……”，“不具有某种性质”等) 常用反证 法
例 3：设二次函数 f (x) x2 px q ， 求证： f (1) , f (2) , f (3) 中
1.3反证法 课件(北师大版选修2-2) (2)
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。
（三）、课堂小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们 不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证 法。 1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜 用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、 “至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题. 2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪 些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知 条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。
A O D
P C B
（二）、探究新课 1、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然 后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假 设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论 的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一 个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定 的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于； 垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至 少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有 两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设 出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛 盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公 式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
1.3反证法
一、教学目标： 结； 了解反证法的思考过程与特点。 二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点。 教学难点：正确理解、运用反证法。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合
高中数学北师大版选修2-2学案1.3 反证法 Word版含解析
§反证法.了解间接证明的一种基本方法——反证法..理解反证法的概念及思考过程和特点.(难点).掌握反证法证题的基本步骤，会用反证法证明相关的数学问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”以上内容，完成下列问题..反证法的定义先假定，在证明数学命题时命题结论的反面，成立在这个前提下若推出，、定理公理定义相矛盾的结果与、，假定或与命题中的，或与已知条件相矛盾从而说明命题结论的反面相矛盾不可能成立，，命题的结论成立.这种由此断定证明方法叫作反证法..反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若则”的过程可以用以下框图表示：→→“且﹁”,为假))→“若则”,为真))判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()反证法属于间接证明问题的方法.( ) ()反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理.( )()反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾.( )【解析】()正确.反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接问题的方法.()错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.()错误.反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾.【答案】()√()×()×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()求数列{}的通项与前项和；()设＝(∈＋)，求证：数列{}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【精彩点拨】第()问应用＝＋(－)和＝＋(－)两式求解.第()问先假设存在三项，，成等比数列，再用反证法证明.【自主解答】()设等差数列{}的公差为，由已知得∴＝，故＝－＋，＝(＋).()证明：由()得＝＝＋.。
数学北师大版选修2-2教材基础 第一章§3反证法 含答案
§3 反证法反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.高手支招1细品教材1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.反证法就是一种常用的间接证明方法.2.反证法(1)概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法).(2)形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.状元笔记反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:3.反证法的证题步骤包括以下三个步骤:(1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;(2)逐步推理,导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3)否定假设,肯定结论(存真)——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.【示例】p＞0,q＞0,p3＋q3＝2.试用反证法证明:p＋q≤2.思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是较困难的,由此用反证法证之.证明：假设p＋q＞2,∵p＞0,q＞0,∴(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3＞8.又∵p3＋q3＝2,代入上式得:3pq(p＋q)＞6,即pq(p＋q)＞2.①又由p3＋q3＝2,得(p＋q)(p2-pq＋q2)＝2.②由①②得pq(p＋q)＞(p＋q)(p2-pq＋q2),∵p＋q＞0.∴pq＞p2-pq＋q2⇒p2-2pq＋q2＜0⇒(p-q)2＜0.但这与(p-q)2≥0相矛盾.∴假设p＋q＞2不成立.故p＋q≤2.状元笔记归谬矛盾的几种情况:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾;(4)与客观事实矛盾.4.反证法的适用情况(1)结论以否定形式出现;(2)结论以“至多……”“至少……”形式出现;(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反面是比原结论更具体，更容易研究的命题.高手支招2基础整理本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:。
北师大选修2-2 1.3 反证法
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于 点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、 CD不被P平分.
证法二
假设弦AB、CD被P平分， 证明：连结 AD、BD、BC、AC,
自相矛盾
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
证法一 证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
D
C
B 由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有 与已有定理 OP⊥AB，OP⊥CD， 矛盾 即过点P有两条直线与OP都垂直，
1.3
反证法
复习：直接证明
(1)综合法——由因导果
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
(2)分析法—— 执果索因
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
引入：
从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
假设方程ax-b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
与已知条 件矛盾
北师大版高中数学选修2-2课件1.3反证法
2. 求证： 1 ,2 不, 可5能是一个等差数列中
的三项。
分析：设 1 ,2 , 5为等差数列，则可由等差数列
的相关概念，如公差或等差中项等推出矛盾。
3. 空间中有平面 、，直线 、a ，b且有 a // , a , b,
求证： a // b
分析：设 a、b 不平行，由立几知识容易推得直线 a与面 相交，与条件矛盾。
所以 a与b平行。 例3
证明：设 2 是有理数，则可设 2 q , p 0 ，
且 p, q 互素，则 q 2 p ， p
所以，q 2 2 p 2
所以 q 2是偶数，q 也必是偶数。不妨设q 2k，
代入上式，则 4k 2 2 p 2 ， 即 p 2 2k 2
所以， p 也是偶数，则 p, q 有公约数 2 ，这与 p, q互素矛盾，这说明 2 是无理数。
求证：A+B+C＞90°
2. 已知：a, b, c (0,1) ，
1
求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a不能同时大于 4 。
3. 求证：平面内两直线 a, b 至多有一个交点。
小结
＊反证法定义： 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
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复习引入
因
果
由因导果法
果
因
执果索因法
综合法 分析法
直接证明
反证法
间接证明
回顾初中学过的反证法的步骤： ① 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③ 由矛盾判定假设不正确，而肯定命题的结论正确。
【赢在课堂】2016高考数学 1.3反证法课件 北师大版选修2-2
1
2
练一练
用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是( ) A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即“三内角都大 于 60 度”,故选 B. 答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一用反证法证明否定性命题
若待证命题是否定形式,如“不是”,“都不是”等形式的命题时,用直 接法证明将困难重重,此时应考虑用反证法证明.
典例提升 1
求证:当 x2+bx+c2=0 有两个不相等的非零实数根时,bc≠0. 思路分析:因为结论中含有否定词,因此,可考虑用反证法.
点评
若结论的反面有多种情况,应逐个否定,这种方法称为“穷举法”.运用 反证法证明命题的一般步骤:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
1 1 1 ������ 变式训练 1������ 证明:无论 x,y 取任何非零实数,等式 + = 总不 ������ ������ ������+������
∴ 假设不成立,原命题成立.即 b 唯一.
探究一
探究二
探究三
探究四
������ 变式训练 3������ 求证:方程 2 =3 有唯一的实根,并求出此根.
x
证明:假设方程 2x=3 有两个根 x1,x2(x1≠x2). 则2������ 1 =3,2������ 2 =3. 两式相除得2 ������ 1 -������ 2 =1. 则 x1-x2=0,这与 x1≠x2 矛盾. 故方程 2x=3 有唯一实根. 由 2x=3,得 x=log23,故方程的实根为 x=log23.
高中数学课件-1.3 反证法 课件(北师大版选修2-2)
(2)假设存在 x0<0(x0≠－1)满足 f(x0)＝0，则 ax0＝－ xx00－ ＋21.
又 0<ax0<1，所以 0<－xx00－ ＋21<1，即12<x0<2，与假设矛 盾．
故 x0<0 不成立，故方程 f(x)＝0 没有负实数根．
• [点评] 本题第(2)问如果不用反证法证明 也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x< －1时，f(x)>0，－1<x≤0时，f(x)≤f(0)＝－1， 故当x<0时，f(x)≠0，所以无负实数根．
• “至少”“至多”型命题
已知 f(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)，求证：|f(1)|， |f(2)|中至少有一个不小于12.
[分析] “|f(1)|，|f(2)|中至少有一个小于12”包括三种 情况，由条件不易分别证明这三种情况，考虑从反面 “|f(1)|，|f(2)|全部小于12”证明．
[解析] 假设|f(1)|，|f(2)|中没有一个大于或等于12，即
• 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开 始所做的假设不真，于是原结论成立，从而 间接地证明了命题为真．
• 常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、 公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；
• (2)与假设矛盾； • (3)与公认的简单事实矛盾．
• 2．适宜用反证法证明的数学命题 • (1)结论本身是以否定形式出现的一类命题； • (2)关于唯一性、存在性的命题； • (3)结论是以“至多”“至少”等形式出现
• 用反证法证明问题，一般由证明p⇒q，转向 证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾或与某个真 命题矛盾，从而到判断¬q为假，得出q为
真．反证法，不是从已知条件去直接证明结 论，而是先否定结论，在否定结论的基础上 进行演绎推理，导出矛盾，从证：当 x2＋bx＋c2＝0 有两个不相等的非 零实数根时，bc≠0.
1[1].3反证法 教案(北师大版选修2-2)
![1[1].3反证法 教案(北师大版选修2-2)](https://img.taocdn.com/s3/m/15726e05f18583d04964595c.png)
§3 反证法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反证法原理；(2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关的数学问题．2．过程与方法通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能力；培养学生揭示反证法本质特征的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的策略．(2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世界．●重点难点重点：了解反证法的思考过程和特点；运用反证法证明数学问题；难点：对反证法思考过程和特点的概括．教学时应根据具体问题的分析与探究，揭示何时考虑用反证法解决问题，并通过对不同问题的探究与解决揭示反证法的思维特点及理论支持，归纳反证法解决问题的一般步骤，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议学生从初中开始就对反证法有所接触．反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的难点．究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维．因此，本节课的教学需解决好以下三个问题：一是反证法适用于什么情形；二是反证法的理论依据；三是反证法证明命题的一般步骤．●教学流程创设问题情境，引出问题：已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.⇒学生探究、自主解决：通过学生运用综合法、分析法等尝试以及师生交流，揭示问题从正面解决的困难.⇒通过引导学生对结论的分析，尝试证明结论的反面不正确，从而得出结论正确.即反证法.⇒通过例1及变式训练，使学生掌握反证法的一般步骤.⇒通过例2及变式训练，使学生提高对“结论”的分析能力，能正确的反设结论.⇒通过例3及变式训练，提高学生综合运用各种证法证明问题的能力和分析问题的能力.⇒归纳小结，整体认识反证法原理和应用步骤.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一颗树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”1．王戎的论述运用了什么推理思想？ 【提示】实质运用了反证法的思想．2．反证法解题的实质是什么？【提示】 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法的概念在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一. 我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法. 反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法证题步骤用反证法证明命题的一般步骤求证：f (x )＝0无整数根．【思路探究】 此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f (0)，f (1)均为奇数，分析出a ，b ，c 的奇偶情况，并应用之．【自主解答】 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数．∴n ，an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数，∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．∴f (x )＝0无整数根．1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．2．求证：2，3，5不可能成等差数列． 【证明】 假设2，3，5成等差数列，则 23＝2＋ 5.所以(23)2＝(2＋5)2，化简得 5＝210，从而52＝(210)2， 即25＝40，这是不可能的． 所以，假设不成立．从而，2，3，5不可能成等差数列．2＋2cx ＋a和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．【思路探究】 假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证【自主解答】 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ， y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0， 且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0， 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0. ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．1．写出结论的正确反设是解决本题的关键．2．反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．若下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围．【解】 若三个方程都无实根，根据⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，Δ2＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0，∴－32＜a ＜－1.则满足题目要求a 的取值范围是{a |a ≤－3或a ≥－1}.已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．【思路探究】 “有且只有”有两层含义：一是“有”，即存在性；二是“只有”，即唯一性．一般先证存在性，再用反证法证唯一性即可．【自主解答】 由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假设方程不止一个根，则至少有两根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，则 ax 1＝b ， ① ax 2＝b ， ②①－②得a (x 1－x 2)＝0，因为x1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，从而a ＝0，这与已知条件矛盾，故假设不成立． 所以，当a ≠0时，方程ax＝b 有且只有一个根.1．“唯一型”问题的证明一般需两步完成：一是证存在性；二是证唯一性．2．结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论容易导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了．求证：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 【证明】 已知：平面α和一点P ，求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．证明：如图，不管P 在α内或α外，设P A ⊥α，垂足为A (或P )， 假设存在另一条直线PB ⊥α，设P A ，PB 确定平面为β，且α∩β＝a .∴在平面β内过P 点有两条直线P A 、PB 垂直于直线a .这与定理“在平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．∴假设不成立，命题结论正确．不能对结论全面否定而致误否定“自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少两个偶数【错解】 恰有一个偶数的反面是一个偶数也没有，即a ，b ，c 都是奇数，故选A. 【错因分析】 没有对结论“a ，b ，c 恰有一个偶数”做出全面分析，仅凭“相当然”进行否定，从而致误．【防范措施】 对结论进行否定时，应对结论描述的问题进行全面分析，然后从集合理论中补集的角度进行否定．【正解】 a ，b ，c 中偶数的个数可能为0个，1个，2个或3个，而“恰有1个偶数”的反面应是“有0个或2个或3个偶数”，故应选D.【答案】 D1．当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型命题时，常用反证法．2．用反证法证明的一般过程是：(1)否定结论⇒A ⇒B ⇒C ；(注意分清命题和结论后，再否定结论)(2)而C 不合理⎩⎪⎨⎪⎧与教材公理抵触；与此前定理不相容；与本题题设冲突；与临时假定违背；自相矛盾；(3)因此结论C 不成立，原命题正确.1．如果两个数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个是正数D ．两个都是负数【解析】 “两个数之和为正数”可能为“一个是正数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.【答案】 C2．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”，其中，正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【解析】 显然①③④不正确，仅②正确． 【答案】 B3．(改编题)完成下面反面论证题的全过程：题目：若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程x 2＋p 1x ＋q 1＝0与方程x 2＋p 2x ＋q 2＝0中至少有一个方程有实根．证明假设________________．则Δ1＝p 21－4q 1<0，Δ2＝p 22－4q 2<0，即0≤p 21<4q 1,0≤p 22<4q 2，∴(p 1p 2)2<16q 1q 2≤16·(q 1＋q 22)2＝4(q 1＋q 2)2.∴－2(q 1＋q 2)<p 1p 2<2(q 1＋q 2)， 这与________矛盾．故假设错误，原命题为真．【答案】 两方程都没有实数根 已知p 1p 2＝2(q 1＋q 2) 4．求证：△ABC 中至少有一个内角大于或等于60°. 【证明】 假设△ABC 中三内角都小于60°， 则A <60°，B <60°，C <60°， 所以A ＋B ＋C <180°，这与三角形内角和定理矛盾， 故假设错误，原命题正确.一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”，故选B.【答案】 B2．实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则正确的说法是( ) A ．a ，b ，c 都是0 B ．a ，b ，c 都不是0C ．a ，b ，c 中至少有一个0D ．a ，b ，c 不可能均为正数【解析】 若a ，b ，c 均为正数，则a ＋b ＋c >0与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a ，b ，c 不可能均为正数．【答案】 D3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ＝c ，b ＝c ，a ＝b 不能同时成立．其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 “a ，b ，c 不全相等是a ，b ，c 全相等的否定”，故①②③均正确． 【答案】 D4．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2【解析】 假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c <6，而事实上：a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2. 【答案】 C5．已知a ，b ∈N ，ab 可以被5整除，那么a ，b ( ) A ．都能被5整除B ．最多有一个能被5整除C ．至少有一个能被5整除D ．都不能被5整除【解析】 假设都不能被5整除，可设a ＝5m ＋1，b ＝5n ＋2(m ，n ∈N)，则ab ＝25mn ＋10m ＋5n ＋2显然不能被5整除，(其它情形同理可证)这与已知矛盾，故假设不成立，故C 正确．【答案】 C 二、填空题6．将“函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使f (c )>0”反设，所得命题为______________________________________________________________________.【解析】 “至少存在一个”的反面为“不存在”，“不存在c ，使f (c )>0”即“f (x )≤0恒成立”．【答案】 函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒有f (x )≤0 7．和异面直线AB 、CD 都相交的两条直线的位置关系是________．【解析】 假设这两条直线平行，由空间几何知识可推出AB 、CD 共面，故假设错误，即这两条直线异面或相交．【答案】 异面或相交 8．完成下面的证明过程： 设a 3＋b 3＝2.求证：a ＋b ≤2.证明：假设a ＋b >2，则有a >________， 从而a 3>________，所以a 3＋b 3>________＝________≥________. 所以a 3＋b 3>2，这与已知矛盾． 所以原不等式成立．【答案】 2－b 8－12b ＋6b 2－b 3 6b 2－12b ＋8 6(b －1)2＋2 2 三、解答题9．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.【证明】 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞143，①又因为0＜a ＜1，所以0＜a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14，同理，0＜b (1－b )≤14，0＜c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，假设不成立，所以原命题成立．10．已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14(23)n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．【解】 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14 23)t －1.两边同乘3t －121－r，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r ＜s ＜t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．11．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0. 【证明】 假设bc ＝0，下面分情况进行讨论：(1)若b ＝0，c ＝0，则方程变为x 2＝0，此时方程有两个相等的实数根为x 1＝x 2＝0，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，则方程变为x 2＋c 2＝0，此时方程无实数根，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，则方程变为x 2＋bx ＝0，此时方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与已知条件方程有两个不相等的非零实数根矛盾．综上所述．假设错误．所以当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.(教师用书独具)实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．【思路探究】 a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数的否定是a ，b ，c ，d 都是非负数． 【自主解答】 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1， 有1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd >1矛盾，故假设不成立． 即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【解】 ∵f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4， f (3)＝3a ＋b ＋9，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.(2)证明 假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12.则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12， ∴－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1. ∴－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾． ∴假设错误，即所证结论成立．。
(教师用书)高中数学 1.3 反证法同步课件 北师大版选修22
【思路探究】
假设三条抛 物线都不与 x轴有两个不 同的交点
→
演绎推理，利用 Δ≤0得出矛盾
→ 原命题得证
【自主解答】
假设题设中的函数确定的三条抛物线
与教材公理抵触； 与此前定理不相容； (2)而C不合理与本题题设冲突； 与临时假定违背； 自相矛盾； (3)因此结论C不成立，原命题正确.
1．如果两个数之和为正数，则这两个数( A．一个是正数，一个是负数 C．至少有一个是正数 【解析】
)
B．两个都是正数 D．两个都是负数
§ 3
反证法
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现间接证明的方法——反证法，探索反 证法原理； (2)掌握反证法证题的基本步骤及利用反证法证明相关 的数学问题．
2．过程与方法 通过对具体命题的证明及探究，培养学生逆向思维能 力；培养学生揭示反证法本质特征的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对具体数学命题的证明方法的探究学习，经历 数学探究活动的过程，体会“正难则反”这一解决问题的 策略． (2)通过本节学习和运用实践，体会反证法的科学价 值、应用价值，学习用数学的思维方法解决问题、认识世 界．
“两个数之和为正数”可能为“一个是正
数，一个是负数”，“两个都是正数”“一个是正数，一 个是零”即“至少有一个是正数”．故选C.
【答案】 C
2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y” 的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外” 的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内 角中最多一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝 角”，其中，正确的叙述有( A．0个
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注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定，防止否定 不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整准确，否则不能说明 命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。大议一议！P15 习题1-3
（4）
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
解题反思： 证明该问题的难点是哪一步？
你怎么看待反证法题目中的已知条件？
例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c 垂直。求证：a与b平行。
证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b 相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点 为P，b，c的交点为Q，如图所示，则 PMQ 00
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
名家情系反证法
反证法常常是解决某些“疑难”问 题的有力工具。 牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
这样 △MPQ 的内角和 PMQ MPQ PQM
PMQ 90 90 180 。 0 180 这与定理“三角形的内角和等于 ”相矛盾，这说明假设是错误的。 所以直线a与b不相交，即a与b平行。
0 0 0
1.命题”三角形中最多只有一个内角是直角“的结 论的否定是（ C ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ D） A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
3.如果a>b>0，那么 a > b
否定要全面
证明: 假设 则
a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
不大于 a
b
(1)若 a < b a b
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； -（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立