2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价十五数系的扩充和复数的概念新人教A版必修

课时素养评价 十五
数系的扩充和复数的概念
(25分钟·40分)
一、选择题(每小题4分.共16分.多项选择题全选对的得4分.选对但不全的得2分.有选错的得0分)
1.(20xx·绍兴高二检测)复数-2i的实部与虚部分别是( )
A.0.2
B.0.0
C.0.-2
D.-2.0
【解析】选C.-2i的实部为0.虚部为-2.
【加练·固】
以-3+i的虚部为实部.以3i+i2的实部为虚部的复数是( )
A.1-i
B.1+i
C.-3+3i
D.3+3i
【解析】选A.-3+i的虚部为1.3i+i2=-1+3i.其实部为-1.故所求复数为1-i.
2.在复平面内.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数.则实数a的值是( )
A.a=0或a=2
B.a=0
C.a≠1且a≠2
D.a≠1或a≠2
【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数.所以a2-2a=0且a2-a-2≠0.所以a=0.
3.(20xx·新乡高二检测)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数.则实数a的值
为( )
A.1
B.2
C.-1或-2
D.1或2
【解析】选B.由得a=2.
4.(多选题)下列命题.其中不正确的是( )
A.若z=a+bi.a.b∈R.则仅当b≠0时z为纯虚数.
B.若+=0.则z1=z2=0.
C.若a∈R.则ai为纯虚数.
D.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a.b∈R)为实数的充要条件是a≤0.
【解析】选A.B.C.在A中a=0.b≠0时满足.故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同.如若z1=1.z2=i.则+=1-1=0.但z1≠z2≠0.故B错误；在C中忽视0·i=0.故C也是
错误的；在D中复数z为实数的充要条件是a+|a|=0.即|a|=-a.得a≤0.故D正确.
二、填空题(每小题4分.共8分)
5.如果x-1+yi与i-3x为相等复数.x.y为实数.则x=________.y=________. 【解析】由复数相等可知
所以
答案： 1
6.已知复数z=(m2+m-2)+(m2+4m-5)i是纯虚数.则实数m=________.
【解析】由解得m=-2.
答案：-2
三、解答题
7.(16分)(20xx·承德高二检测)已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)若复数z是实数.求实数m的值.
(2)若复数z是虚数.求实数m的取值范围.
(3)若复数z是纯虚数.求实数m的值.
(4)若复数z是0.求实数m的值.
【解析】(1)当m2-2m-15=0时.复数z为实数.
所以m=5或-3.
(2)当m2-2m-15≠0时.复数z为虚数.
所以m≠5且m≠-3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.
(3)当时.复数z是纯虚数.
所以m=-2.
(4)当时.
复数z是0.得m=-3.
【加练·固】
已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i.当实数m取什么值时：
(1)复数z是零.
(2)复数z是纯虚数.
【解析】(1)因为z是零.所以
解得m=1.
(2)因为z是纯虚数.所以
解得m=0.
(15分钟·30分)
1.(4分)(20xx·武汉高二检测)若a.b∈R.i是虚数单位.且b+(a-2)i=1+i.则a+b的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i.得b=1.a=3.
所以a+b=4.
【加练·固】
若xi-i2=y+2i(x.y∈R).则复数x+yi= ( )
A.-2+i
B.2+i
C.1-2i
D.1+2i
【解析】选B.由i2=-1.得xi-i2=1+xi.则由题意得1+xi=y+2i.根据复数相等的充要条件得
x=2.y=1.故x+yi=2+i.
2.(4分)“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为1-a+a2=+>0.所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数.则4-a2=0.即a=±2；当a=-2时.4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.
3.(4分)(20xx·济南高二检测)使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是________ .
【解析】由已知.得解得m=3.
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
答案：{3}
【加练·固】
若复数z=(sin θ+cosθ+1)+(sinθ-cos θ)i是纯虚数.则sin2 020θ+
cos2 020θ=________.
【解析】由题意得
由①得sin θ+cos θ=-1.
又因为sin2θ+cos2θ=1.
所以或
所以sin2 020θ+cos2 020θ=1.
答案：1
4.(4分)给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2=-1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的序号为________.
【解析】③中.b=0时.bi=0不是纯虚数.故③正确；①中.复数分为实数与虚数两大类；②中.平方为-1的数是±i；④中.m.n不一定为实数.故①②④错误.
答案：③
5.(14分)(20xx·杭州高二检测)已知复数z=sin θ-1+(1-2cos θ)i.且θ∈(0.π).
(1)若z为实数.求θ的值.
(2)若z为纯虚数.求θ的值.
【解析】(1)因为z为实数.
所以1-2cos θ=0.即cos θ=.
又因为θ∈(0.π).所以θ=.
(2)因为z为纯虚数.所以
所以sin θ=1且cos θ≠.
又因为θ∈(0.π).
所以θ=.
【加练·固】
已知关于x的方程x2+(2-3i)x+5mi+i=0有实数根.求纯虚数m. 【解析】由于m是纯虚数.
设m=bi(b∈R.且b≠0).
设方程的实数根为a.则代入原方程整理得(a2+2a-5b)+(1-3a)i=0. 因为a.b∈R.
所以.解得b=.
所以纯虚数m=i.。