2020届高三数学函数与导数高考一轮复习专题讲义

2020届高三数学函数与导数高考一轮复
习专题讲义
导数复专题
一、知识要点与考点
1.导数的概念及几何意义（切线斜率）；
2.导数的求法：一是熟练掌握常见函数的导数；二是熟练掌握求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

3.导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

4.八个基本求导公式：
C) f'(x) = 0.(xn)' = nx^(n-1) (n∈Q)。

(sinx)' = cosx。

(cosx)' = -sinx。

(ex)' = ex;
ax)' = a。

(lnx)' = 1/x。

(log_a x)' = 1/(xlna)
5.导数的四则运算：
u±v)' = u'±v'。

(Cu)' = Cu'。

(uv)' = u'v+v'u。

(u/v)' = (u'v-
v'u)/v^2
6.复合函数的导数：
设u=θ(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=θ(x)处可导，则复合函数f[θ(x)]在点x处可导，且y'(x) = u'(x)y'(u)。

二、考点分析与方法介绍
考点一：导数的几何意义
思路点拨：一要求导；二要设切点；三要列方程；四要解好方程组；五得出解。

例如：已知曲线y=x^3+3x^2，（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程。

试一试1：求过原点与函数y=lnx相切的直线方程。

试一试2：若直线y=kx与曲线y=x^2-3x+2相切，则k=1-3a。

思考与交流1：若曲线y=x在点（a，a^2）处的切线与两
个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=4.
考点二：单调性中的应用
题型与方法：（1）单调区间：一般分为含参数和不含参
数问题，含参数的求导后又分导函数能分解与不能分解两类，能分解讨论两根大小；不能分解，讨论判别式。

不含参数的直接求解。

一般思路：一、求函数定义域；二、求导数；三、列方程、并解之；四、定区间号；五、得解。

（2）证明函数单
调性。

例2：讨论以下函数的单调性
1）（2020江西理改编）设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0)。

当a=1时，求f(x)的单调区间。

2）（10山东改编）已知函数f(x)=lnx-ax+1的单调性。

3）（2020江苏改编）设函数f(x)=lnx+x+1，则f(x)在[1.+∞)上的单调区间为(0.+∞)。

变式5：本题主要考察函数的单调性，需要构造函数并利
用导数法进行分析。

首先给出三个实数a、b、c，要求比较大小。

可以将它们表示为自然对数的形式，即a=ln2，b=ln3，
c=ln5.然后根据对数函数的单调性，可以得到ln2＜ln3＜ln5，
即2＜3＜5，因此a＜b＜c。

接着考虑函数f(x)=e^(-2x+2a)，
利用导数法可以得到f'(x)=-2e^(-2x+2a)，由此可知f(x)在R上
单调递减。

因此，当a＞ln2-1且x＞0时，-2x+2a＜0，即e^(-
2x+2a)＞1，进而有e^(-2x+2a)＞x-2ax+1.
变式6：该题需要利用导数法讨论函数f(x)=(x+1)lnx-x+1
的性质。

首先求出f'(x)=(x+1)/x-lnx，然后求出f''(x)=-1/x^2-
1/x^2+1/x^2，可以发现f''(x)＜0，因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,∞)上单调递增。

接着考虑xf'(x)-x-ax-1=0，化简可得
x(lnx-1-a)=1，由于x＞0，因此lnx-1-a＞0，即lnx＞a+1，即x
＞e^(a+1)。

因此，当a≤-1时，原式恒成立；当a＞-1时，当x
＞e^(a+1)时，原式成立。

综上可知，a的取值范围为[-1,+∞)。

变式7：本题需要讨论函数f(x)=(a+1)lnx+ax+1的单调性
和解的个数。

首先求出f'(x)=(a+1)/x+a，然后求出f''(x)=-
a/(x^2)，可以发现当a＞0时，f''(x)＜0，因此f(x)在(0,+∞)上
单调递减；当a＜0时，f''(x)＞0，因此f(x)在(0,+∞)上单调递增。

接着考虑|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，化简可得
|(a+1)ln(x1/x2)+a(x1-x2)/(x1x2)|≥4|x1-x2|，由于x1、x2＞0，因此ln(x1/x2)＜ln2，即x1/x2＜2，进而有|(a+1)ln(x1/x2)+a(x1-x2)/(x1x2)|≥|(a+1)ln2+2a(x1-x2)/(x1x2)|。

由于a＜0，因此当x1＞x2＞1时，(a+1)ln2+2a(x1-x2)/(x1x2)＜0，即|f(x1)-
f(x2)|≥4|x1-x2|不成立。

因此，当a＜-2时，原式成立。