2020版数学新优化浙江大一轮试题：第八章 立体几何 考点规范练38 Word版含答案

考点规范练38　直线、平面平行的判定与性质
基础巩固组
1.(2018浙江镇海中学)设a,b是两条直线,α,β表示两个平面,如果a⊂α,α∥β,那么b⊥β是a⊥b的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
a⊂α,α∥β,b⊥β,则必有b⊥a.
如果a⊂α,α∥β,a⊥b,不能保证b⊥β.
故“b⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.
2.
如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,
∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,
∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE,
∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.
3.(2017课标Ⅰ高考)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
B中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ⊂平面MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ⊂平面
MNQ,AB⊄平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D;故选A.
4.
如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,且PQ∥AC,则下列命题错误的是( ) A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,
所以AC⊥BD,故A正确;
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;
由PN∥BD可知,异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角,又四边形PQMN为正方形,
所以∠MPN=45°,故D正确;
而AC=BD没有论证来源.
5.α,β,γ为不同的平面,a,b,c为三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若a∥β,a∥b,则b∥β
C.若a∥α,b∥α,c⊥a,c⊥b,则c⊥α
D.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b
A,当平面α,β,γ两两垂直时,显然结论不成立,故A错误;
对于B,若b⊂β,显然结论不成立,故B错误;
对于C,以长方体ABCD-A'B'C'D'为例,AB∥平面A'B'C'D',CD∥平面A'B'C'D',BC⊥AB,BC⊥CD,但BC与平面A'B'C'D'不垂直,故C错误;
对于D,由线面垂直的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知D正确.故选D.
6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件 时,有平面D1BQ∥平面PAO.
为CC1的中点
,假设Q为CC1的中点,
因为P为DD1的中点,
所以QB∥PA.
连接DB,因为P,O分别是DD1,DB的中点,所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.
又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
7.如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的
是 .(写出一个即可)
ABC(或平面ABD)
AM 并延长交CD 于E ,则E 为CD 的中点.
由于N 为△BCD 的重心,
所以B ,N ,E 三点共线,
且,所以MN ∥AB.
EM MA =EN NB =12于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC.
8.如图,在四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,E ,F 分别为侧棱VC ,VB 上的点,且满足
VC=3EC ,AF ∥平面BDE ,则= .
VB
FB
AC ,交BD 于点O ,取VE 的中点G ,连接FG ,AG ,当VF=FB 时,FG ∥BE ,OE ∥AG ,所以平面AFG ∥平面BDE ,所以AF ∥平面BDE.故=2.VB FB 能力提升组
9.(2018浙江嘉兴)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( )
①若直线m ⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m 平行的直线.
②若直线m ⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直.
③若直线m ⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m 垂直的直线.
④若直线m ⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线.
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
①,若直线m ⊥α,α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m 平行的直线,①错误;
对于②,若直线m ⊥α,则直线m 垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直,②正确;
对于③,若直线m ⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线,③错误;
对于④,若直线m ⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线,④正确.故选C .
10.在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别为AB ,AD 上的点,且AE ∶EB=AF ∶FD=1∶4.又H ,G 分别为BC ,CD 的中点,则( )
A.BD ∥平面EFG ,且四边形EFGH 是平行四边形
B.EF ∥平面BCD ,且四边形EFGH 是梯形
C.HG ∥平面ABD ,且四边形EFGH 是平行四边形
D.EH ∥平面ADC ,且四边形EFGH 是梯形
,由题意得EF ∥BD ,且EF=BD.15HG ∥BD ,且HG=BD ,
12∴EF ∥HG ,且EF ≠HG.∴四边形EFGH 是梯形.
又EF ∥平面BCD ,而EH 与平面ADC 不平行,故B 正确.
11.a ,b ,c 表示不同的直线,M 表示平面,给出四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b 或a ,b 相交或a ,b 异面;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b.其中正确的为( )
A.①④
B.②③
C.③④
D.①②
①,当a ∥M ,b ∥M 时,则a 与b 平行、相交或异面,①为真命题.②中,b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M 或a ⊂M ,②为假命题.命题③中,a 与b 相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,知命题④为真命题,所以①④为真命题.
12.平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一个平面γ,α⊥γ,β⊥γ
B.存在一条直线a ,a ⊂α,a ∥β
C.存在两条平行直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α
D.存在两条异面直线a ,b ,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α
,故排除A .若α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,则a ∥β,故排除B.若α∩β=l ,a ⊂α,a ∥l ,b ⊂β,b ∥l ,则a ∥β,b ∥α,故排除C .
13.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在对角线A 1D 上取点M ,在CD 1上取点N ,使得线段MN 平行于对角面ACC 1A 1,则MN 的最小值是( )
A B.1C D .33.2.22
MM 1⊥AD 于点M 1,NN 1⊥DC 于点N 1,下面证明M 1N 1∥AC.
∵MM 1∥平面A 1ACC 1及MN ∥平面A 1ACC 1,且MM 1与MN 相交,
∴MNN 1M 1所确定的平面与A 1ACC 1平行(如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行).现ABCD 分别去截这两个平行平面,则它们的交线M 1N 1∥AC.设DM 1=DN 1=x ,则MM 1=x ,NN 1=1-x.过点M 作MH ⊥NN 1于H ,NH=1-2x ,M 1N 1=x.由勾股定理得MN 2=(x )2+(1-222x )2=6故当x=时,MN 取到最小值(x -13)2+13.1333.
14
.
如图,平面α∥β,线段AB 分别交α,β于M ,N ,线段AD 分别交α,β于C ,D ,线段BF 分别交α,β于F ,E ,若AM=9,MN=11,NB=15,S △FMC =78.则△END 的面积为 .
α∥β,平面AND 分别与α,β交于MC ,ND ,∴MC ∥ND.同理MF ∥NE.∴∠FMC=∠END.
∴S △END S △FMC =12EN ·ND ·sin ∠END 12
FM ·MC ·sin ∠FMC =EN ·ND FM ·MC .又,BN=15,BM=15+11=26,AN=9+11=20,AM=9,∴S △END =S △FMC =100.EN FM =BN BM ,ND MC =AN AM BN ·AN
BM ·AM 15.设α,β,γ为三个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,在命题“若α∩β=m ,n ⊂γ,且 ,则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
①α∥γ,
n ⊂β;②m ∥γ,n ∥β;③n ∥β,m ⊂γ.
可以填入的条件有 .
或
③,①正确;当n ∥β,m ⊂γ时,n 和m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.
16.如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点P 是棱AD 上一点,且AP=,过B 1,D 1,P 的平面交a 3底面ABCD 于PQ ,Q 在直线CD 上,则PQ=　.
A 1
B 1
C 1
D 1∥平面ABCD ,而平面B 1D 1P ∩平面ABCD=PQ ,平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1=B 1D 1,所以B 1D 1∥PQ.
又因为B 1D 1∥BD ,所以BD ∥PQ ,设PQ ∩AB=M ,
因为AB ∥CD ,所以△APM ∽△DPQ.
所以=2,即PQ=2PM.又知△APM ∽△ADB ,
PQ PM =PD AP 所以,
P M BD =AP AD =13所以PM=BD ,又BD=a ,所以PQ= a.
13222317.
如图,ABCD 与ADEF 为平行四边形,M ,N ,G 分别是AB ,AD ,EF 的中点.
求证:
(1)BE ∥平面DMF ;
(2)平面BDE∥平面MNG.
如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面
MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点,所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.
18.
在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=3
,AB=2BC=2,AC⊥FB.
(1)求证:AC⊥平面FBC.
(2)求四面体FBCD的体积.
(3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
△ABC中,
因为AC=,AB=2,BC=1,所以AC 2+BC 2=AB 2,
3所以AC ⊥BC.
又因为AC ⊥FB ,BC ∩FB=B ,
所以AC ⊥平面FBC.
AC ⊥平面FBC ,FC ⊂平面FBC ,所以AC ⊥FC.
因为CD ⊥FC ,AC ∩CD=C ,所以FC ⊥平面ABCD.
在等腰梯形ABCD 中可得CB=DC=1,所以FC=1.
所以△BCD 的面积为S=34.
所以四面体FBCD 的体积为S ·FC=V FBCD =13312.
AC 上存在点M ,且点M 为AC 中点时,有EA ∥平面FDM.证明如下:
连接CE ,与DF 交于点N ,取AC 的中点M ,连接MN.
因为四边形CDEF 是正方形,
所以点N 为CE 的中点.
所以EA ∥MN.因为MN ⊂平面FDM ,EA ⊄平面FDM ,
所以EA ∥平面FDM.所以线段AC 上存在点M ,且M 为AC 的中点,使得EA ∥平面FDM 成立.。