高中数学选修2-3同步练习题库：回归分析的基本思想及其初步应用(困难)

回归分析的基本思想及其初步应用（困难）
1、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x 3
4
5
6 加工的时间y 2．5
3
4
4．5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0．7，则这组样本数据的回归直线方程是（）
A．＝0．7x＋0．35 B．＝0．7x＋1
C．＝0．7x＋2．05 D．＝0．7x＋0．45
2、已知与之间的一组数据如图所示，当变化时，与的回归直线方程必过定
点．
0123
3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数（个）
加工的时间（小时）
（1）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；
（2）试预测加工个零件需要多少小时？
（注：，，，）
4、某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：
（月）
（千
克）
(1)在给出的坐标系中，画出关于x、y两个相关变量的散点图．
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归直线方程．
(3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．
（参考公式：，）
5、（本题满分14分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。

（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
6、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
46.6 6.8289.81469108.8
表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分
别为：
7、某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（Ⅱ）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．参考公式：若变量x和y用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：=x+，其中：
=，=﹣，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．
参考答案
1、A
2、
3、（1）；（2）小时．
4、（1）见解析；（2）；（3）6．82千克．
5、（1）两个变量符合正相关；（2）；（3）2．4
6、（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型；（Ⅱ）
（Ⅲ）46.24
7、（Ⅰ）；
（Ⅱ）预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元．
【解析】
1、试题分析：，中心点为满足回归方程，所以＝0．7x＋0．35成立
考点：回归方程
2、试题分析：易得，．因线性回归直线必过样本中心点，所以当变
化时，与的回归直线方程必过定点．
考点：线性回归直线必过样本中心点．
3、试题分析：（1）求出数据的横轴与纵轴的平均数，得到样本的中心点，求出对应的横标和纵标的和，求出横标的平方和，作出系数和的值，写出回归直线方程；（2）将代入回归直线方程，可得出结论．
试题解析：（1）由表中数据得：，
∴，，∴．
回归直线如图所示：
（2）将代入回归直线方程，
得（小时）．
考点：回归分析的初步应用．
4、试题分析：（1）利用所给数据，可得散点图；（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．
试题解析：（1）
（2）由题设，，，，，
故
故回归直线方程为（3）当时，
饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为千克．
考点：回归分析的初步运用
5、试题分析：（1）随着x的增加，y在增加，因此两变量之间是正相关，（2）利用表格中的数据首先计算出，代入公式得到，即可得到回归方程，（3）利用回归方程可由销售额估计利润大小
试题解析：（1）
（五个点中，有错的，不能得2分，有两个或两个以上对的，至少得1分）
两个变量符合正相关 4分
（2）设回归直线的方程是：，
6分
∴
8分
9分
∴y对销售额x的回归直线方程为： 11分
（3）当销售额为4（千万元）时，利润额为：
＝2．4（千万元） 14分
考点：回归分析
6、试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令，先求出建立关于的线性回归方程，即可关于的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值，再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值，列出关于的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
试题解析：
（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分
考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识
7、试题分析：
解题思路：（Ⅰ）利用所给公式与参考数值求解即可；（Ⅱ）利用第一问的回归方程进行求值，预测即可. 规律总结：回归直线方程刻画了两个变量之间的线性相关关系，可以变量的误差来衡量其拟合效果.
试题解析：（Ⅰ），
，
，
所求线性回归方程为: ；
（Ⅱ）当时，(万元)，
故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元. 考点：线性回归方程.。