广西河池市高级中学高考数学一模试卷文(含解析)

2016年广西河池市高级中学高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}
2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）
A．0 B．﹣3 C．1 D．﹣1
3．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）
A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．90
5．已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
6．已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）
A．x2+（y﹣1）2=8 B．x2+（y+1）2=8 C．（x﹣1）2+（y+1）2=8 D．（x+1）2+（y﹣1）2=8
7．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）
A．π+B．2C．2πD．
9．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）
A．4 B．3 C．4 D．3
12．已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，∠F1PF2=，则e等于（）
A．B．C．D．3
二、填空题（2015•庆阳模拟）设f（x）=，则f（f（5））= ．
14．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a3=0，则= ．
15．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．
16．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，．（1）若，求b；
（2）若2sinB=sinC，求△ABC的面积．
18．某校为调查2016届学业水平考试的数学成绩情况，随机抽取2个班各50名同学，得如下频率分布表：
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]
甲班频数 4 6 10 18 12
乙班频数 2 6 18 16 8
（Ⅰ）估计甲，乙两班的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）数学成绩[60，70）为“C等”，[70，90）为“B等”和[90，100]为“A等”，从两个班成绩为“A等”的同学中用分层抽样的方法抽取5人，则甲乙两个班各抽取多少人？（Ⅲ）从第（Ⅱ）问的5人中随机抽取2人，求这2人来自同一班级的概率．
19．（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
20．如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0），左顶点为A，且F1为AO
的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C1方程为：，椭圆C2方程为：
，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的最大值．
21．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x）．
（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；
（2）求g（x）的单调区间；
（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）﹣g（x）＜对任意x＞0恒成立．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．选修4﹣5：不等式选讲
设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．
2016年广西河池市高级中学高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}
【考点】并集及其运算．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】利用并集的性质求解．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，
B={x|x＞0}，
∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．
故选：A．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
2．若复数是纯虚数，则实数a的值为（）
A．0 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得答案．
【解答】解：∵ =是纯虚数，
∴，解得：a=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．
【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，
∴a＜b成立，
由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，
所以根据充分必要条件的定义可的判断：
a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．
4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=2，a5=3a3，则S9=（）
A．﹣72 B．﹣54 C．54 D．90
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由已知数据可得d的方程，解方程得d值，再由求和公式计算可得．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），
解得d=﹣2，
∴S9=9a1+d=﹣54
故选：B
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．
5．已知向量=（1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意求出，通过共线，列出关系式，求出m的值．
【解答】解：因为向量=（1，1），，所以=（4，1+m）；
又，
所以1×（1+m）﹣1×4=0，
解得m=3．
故选D．
【点评】本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．
6．已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（）
A．x2+（y﹣1）2=8 B．x2+（y+1）2=8 C．（x﹣1）2+（y+1）2=8 D．（x+1）2+（y﹣1）2=8
【考点】圆的标准方程．
【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y．可得圆心C．设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线x+y+3=0相切的充要条件可得r．
【解答】解：对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y=1．
∴圆心C（0，1），
设圆的半径为r，
∵圆C与直线x+y+3=0相切，
∴r==2，
∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=8．
故选：A．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式及其圆与直线相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后
将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选D．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）
A．π+B．2C．2πD．
【考点】由三视图还原实物图；组合几何体的面积、体积问题．
【专题】计算题；数形结合法．
【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1
高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．
【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知
V圆柱=π×12×1=π
三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为
故棱锥高为
由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是
底面三角形的面积是=1
故=
故该几何体的体积是π+
故选A．
【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．
9．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】循环结构．
【专题】计算题．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．
【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；
第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；
第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；
第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；
第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．
输出k=5．
故选B．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
10．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g （x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果．
【解答】解：根据函数的图象：A=1
又
解得：T=π
则：ω=2
当x=，f（）=sin（+φ）=0
解得：
所以：f（x）=sin（2x+）
要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．
故选：A
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型
11．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）
A．4 B．3 C．4 D．3
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值．
【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，
△ABC为截面为大圆上三角形，
设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，
PN==，
∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，
故选：B
【点评】本题考查了几何体的体积计算，探索几何体的位置情况，属于中档题．
12．已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，∠F1PF2=，则e等于（）
A．B．C．D．3
【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆、双曲线的定义，求出|PF1|，|PF2|，结合∠F1PF2=，利用余弦定理，建立方程，即可求出e．
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|=m，|PF2|=n，且不妨设m＞n，
由m+n=2a1，m﹣n=2a2得m=a1+a2，n=a1﹣a2．
又，∴，
∴，即，
解得，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的定义与性质，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（2015•庆阳模拟）设f（x）=，则f（f（5））= 1 ．【考点】函数的值．
【专题】计算题．
【分析】根据函数解析式应先代入下面的式子求出f（5）的值，再代入对应的解析式求出f （f（5））的值．
【解答】解：由题意知，f（x）=，
则f（5）=log24=2，
∴f（f（5））=f（2）=22﹣2=1．
故答案为：1．
【点评】本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．
14．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2﹣a3=0，则= 65 ．
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵8a2﹣a3=0，
∴a2（8﹣q）=0，
解得q=8．
则==1+q2=65．
故答案为：65．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．
【考点】几何概型．
【专题】计算题．
【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．
【解答】解：根据几何概型得：
取到的点到O的距离大于1的概率：
==．
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
16．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（﹣1，2）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，
∵f（x）是奇函数，
∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．
即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），
∴|2x﹣1|＜3，
∴﹣3＜2x﹣1＜3，
即﹣2＜2x＜4，
∴﹣1＜x＜2，
即实数x的取值范围是（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知△ABC中的内角A，B，C对边分别为a，b，c，，．（1）若，求b；
（2）若2sinB=sinC，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】方程思想；转化思想；解三角形．
【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得A，再利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
（2）由2sinB=sinC，利用正弦定理可得：2b=c，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，联立解出bc即可得出．
【解答】解：（1）∵，
∴sin2A+cos2A=1，
∴sin2A+cos2A=，
sin（2A+）=，∵A∈（0，π），
∴2A+=，解得A=．
由，B∈（0，π），∴sinB==．
在△ABC中，由正弦定理可得：，
可得b===．
（2）∵2sinB=sinC，∴2b=c，
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴3=b2+c2﹣bc，与2b=c联立解得：b=1，c=2．
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．某校为调查2016届学业水平考试的数学成绩情况，随机抽取2个班各50名同学，得如下频率分布表：
分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]
甲班频数 4 6 10 18 12
乙班频数 2 6 18 16 8
（Ⅰ）估计甲，乙两班的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）数学成绩[60，70）为“C等”，[70，90）为“B等”和[90，100]为“A等”，从两个班成绩为“A等”的同学中用分层抽样的方法抽取5人，则甲乙两个班各抽取多少人？（Ⅲ）从第（Ⅱ）问的5人中随机抽取2人，求这2人来自同一班级的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由频率分布列能求出甲、乙班数学平均分．
（Ⅱ）从两个班成绩为“A等”的同学中用分层抽样的方法抽取5人，由频率分布表能求出甲乙两个班各抽取多少人．
（Ⅲ）设抽取5人中，甲班3名学生分别为A、B、C，乙班2名同学分别为D，E，利用列举法能求出这2人来自同一班级的概率．
【解答】解：（Ⅰ）甲班数学平均分为： =80.6，乙班数学平均分： =79.4．
（Ⅱ）从两个班成绩为“A等”的同学中用分层抽样的方法抽取5人，
则甲班抽取： =人，乙班抽取：5×=2人．
（Ⅲ）设抽取5人中，甲班3名学生分别为A、B、C，乙班2名同学分别为D，E，
则从中随机抽取2人的所有可能结果为：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10个基本事件，
其中来自同一班级的含有：AB，AC，BC，DE，共4个基本事件，
∴这2人来自同一班级的概率p=．
【点评】本题考查频率分布表的应用，考相分层抽样的性质的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
19．（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；
（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．
【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，
∴DC1⊥BC．
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，
∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，
∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，
又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，
∴（V﹣V1）：V1=1：1，
∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．
20．如图，已知椭圆C的中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0），左顶点为A，且F1为AO 的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C1方程为：，椭圆C2方程为：
，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆C的中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0），左顶点为A，且F1为AO 的中点，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程．
（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，推导出|MN|=2；若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+b，代人椭圆C1方程，得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出弦长|MN|的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆C的中心在原点O，左焦点为F1（﹣1，0），左顶点为A，且F1为AO的中点，
∴c=1，a=2，∴b2=4﹣1=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（2）椭圆C1的3倍相似椭圆C2的方程为：．
①若切线m垂直于x轴，则其方程为：x=±2，解得y=，
∴|MN|=2．
②若切线m不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+b．
将y=kx+b代人椭圆C1方程，得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12=0，
△=（8kb）2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）=48（4k2+3﹣b2）=0，
即b2=4k2+3，（*），
设M，N两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），
将y=kx+b代入椭圆C2的方程，得：（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣36=0，
此时，，x1x2=，
∴|x1﹣x2|=，
∴|MN|=×=4=2，
∵3+4k2≥3，∴1＜1+，即2＜2≤4，
综合①②，得弦长|MN|的取值范围是[2，4]，
∴弦长|MN|的最大值是4．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．
21．设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x）．
（1）求函数f（x）的图象在点（e，1）处的切线方程；
（2）求g（x）的单调区间；
（3）当a=1时，求实数m的取值范围，使得g（m）﹣g（x）＜对任意x＞0恒成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出g（x）的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（3）先化简求出g（x），在根据导数求出函数g（x）的最小值，而g（m）﹣g（x）＜，对任意x＞0恒成立，转化为lnm＜g（x）恒成立，问题得以解决．
【解答】解：（1）f（x）=lnx的导数为f′（x）=，
即有f（x）在点（e，1）处的切线斜率为k=，
则f（x）在点（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），
即为x﹣ey=0；
（2）g（x）=f（x）+af′（x）=lnx+，
g′（x）=﹣=（x＞0），
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞0时，0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）上递减，
x＞a时，g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）上递增．
综上可得，当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，g（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）．
（3）f（x）=lnx，g（x）=f（x）+af′（x），
即有g（x）=lnx+，
由a=1，g（x）=lnx+，
g′（x）=﹣=，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＞0，即x＞1时，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0，即0＜x＜1时，函数g（x）单调递减，
即有g（x）min=g（1）=1，
由于g（m）﹣g（x）＜，对任意x＞0恒成立，
则lnm+﹣＜g（x），m＞0，
即有lnm＜g（x）恒成立，
即lnm＜1，
解得0＜m＜e，
则实数m的取值范围是（0，e）．
【点评】本题主要考查了利用导数求切线的方程和函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．
【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有，利用比例的性质可得，得到；
（II）根据题意中的比例中项，可得，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以
∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．
【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得，
∴，即
∴
（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，
∴，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．
【点评】本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x2﹣xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标．
【考点】椭圆的参数方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M（2cosθ，sinθ），则x=2cosθ，y=sinθ代入，根据三角函数的性质可求出所求．
【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t得直线l的普通方程为，
∵ρ=2，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4；
（2）∵曲线C：x2+y2=4经过伸缩变换得到曲线C'，
∴C′：，
设M（2cosθ，sinθ）则x=2cosθ，y=sinθ，
∴，
∴当θ=+kπ，k∈Z时，即M为（）或时的最小值为1．
【点评】本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．选修4﹣5：不等式选讲
设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．
（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】带绝对值的函数；绝对值不等式的解法．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）当a=l时，f（x）=|x|+2|x﹣1|=，分三种情况求出不等
式的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）化简函数f（x）=|x|+2|x﹣a|的解析式，求出它的最小值，由题意可得f（x）的最小值a大于或等于4，由此求得a取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=l时，f（x）=|x|+2|x﹣1|=．…
当x＜0时，由2﹣3x≤4，得﹣≤x＜0；
当0≤x≤1时，1≤2﹣x≤2，解得0≤x≤1；
当x＞1时，由3x﹣2≤4，得1＜x≤2．
综上，不等式f（x）≤4的解集为[﹣，2]．…
（Ⅱ）f（x）=|x|+2|x﹣a|=．…
可见，f（x）在（﹣∞，a]单调递减，在（a，+∞）单调递增．
当x=a时，f（x）取最小值a．
若f（x）≥4恒成立，则应有a≥4，
所以，a取值范围为[4，+∞）．…
【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题以及求函数的最小值，属于中档题．。