海南大学2011-2012《线性代数》 试题(A卷)

海南大学2011-2012学年度第2学期试卷
科目：《线性代数》 试题(A 卷)
（适用于48学时类）
学院： 专业班级： 姓名： 学 号：
阅卷教师： 2012年7月 日
闭卷考试，可携带 笔 。

温馨提示:第三大题“7选4”第五大题“4选2”
一、单项选择题（每小题3分，共15分。

）
1、若三阶行列式123,,a ααα=，则1232,2,2ααα---=（D ）。

(A) 2a - (B) 2a (C) 8a (D) 8a -
2、下列错误的命题是（ A ）
（A ）若一个向量组线性相关，则向量组中必含有零向量；
（B ）若一个向量组线性无关，则其中部分向量组成的向量组亦线性无关； （C ）若向量组中向量的个数多于该组向量的维数，则该向量组必线性相关； （D ）若向量组线性无关，则向量组中一定不含零向量。

2、设C B A ,,均为n 阶方阵，则下列正确的是（ A ）.
(A) 22()()A E A E A E -=+- (B)
T T T B A AB =)(
(C) ()1
11AB A B ---= (D) A
A
11
=
- 3、设A 是n 阶方阵，对n 元非齐次线性方程组)0(≠ββ=AX 及对应的齐次线性方程组0=AX 而言，下列正确的是（A ）． (A) n A R =)(时，0,==AX AX β均有唯一解 (B) n A R <)(时，0,==AX AX β均有无穷解 (C) ),()(βA R A R ≠时，0,==AX AX β均无解 (D) ),()(βA R A R =时，β=AX 有解，而0=AX 无解。

4、A 为n 阶可逆（非奇异）矩阵，则下列错误的是（B ）
1()||0()()()()~(~)
T A A B A A C R A n
D A
E -≠==等价
5、设n 阶方阵B A ~（B A ,等价），则下列错误的是（D ）。

(A) )()(,,B R A R B A =且型相同 (B)B A 经初等变换可变为 (C)
B PAQ Q P =使存在可逆的,, (D) )()(λλB A f f =
二、填空题（每小题4分，共20分，请将答案填在横线上）
1、 设A=001022303⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
, 则1*36
.T A A A -=.
2、 设12311023,12,()2,00313A B R AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
===
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
那么
3、 设A =7
3459
8765
4321
111,则4142434422220.A A A A +++=
4、 设123234(,,)2,(,,)3R R αααααα====，则()1234,,,3R αααα=
.
5、 方程⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001001101110111X 的解为111011X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 三、计算题（注．:．本题．．7．题中任选做．．．．．4．题．.每小题10分，共40分）
1、(10分) 已知3阶方阵A 的三个特征值分别为111-，，
求E A A A ++--1
*
的值。

[记（E A A A ++--1
*
）的特
征值为)(λϕ]。

解：||11(1)1A =⨯⨯-=-设A 的特征值为λ，则||
1
()1A ϕλλλ
λ
=
-+
+
(1)11110
(1)11112(1)1
ϕϕϕ=--++=-=+-+==- *1(1)(1)(2)0A A A E ϕϕϕ--++=-=
2.（10分）计算n 阶行列式
211111311111
41111111
1
111
n D n n =
+
解：12,3,,2
11
11
1
200010300100101
000i r r n
i n
D n n -=--=
---
112,3,,11121
1
11
23
2
000
111003002!23000100
j
c c j j n
n
n n n n +=++++
⎛⎫
=
=++++
⎪⎝⎭
-
3、（10分）已知2)(=A R ，321,,ηηη为)0(≠ββ=AX 的
特解,且⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222,001231ηηη,求方程β=AX 的通解.
解：2,3,1r n n r ==-=
只须求
)0(≠ββ=AX 的一个特解及0AX =的一个非零解 取*1ηη=
32()0A ηηββ-=-=
又322202ηη-⎛⎫ ⎪-=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭，即222-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭是0AX =的一个基础解系
于是13212()02()02X k k k R ηηη-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=+-=+∈ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
4、
（10
分
）设
()()()1231,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,4,T
T
T
ααα=-==
()()451,2,2,0,2,1,5,10T
T
αα=-=.判定这组向量的线性相关性，并求一个最大无关组.
解：向量的维数4，向量组中含向量的个数为5，故此向量组线性相关
()123451031
210312130
2103313,,,,2172501
1
41424010001040103
12103120001360114101141005200010400
00
136ααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪---
⎪ ⎪
=→→
⎪ ⎪
-
⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭
最大无关组为12341235,,,,,,or αααααααα
5、（10分）设AP P B A 1,100001010-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=，其中P 为三阶可逆方阵，求22008A B -.
解：
24010010100100100010001001001A A E
---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦= ()
502
2008
212008
21
42
2100100000010010000001001002B
A P A
P A P
A P A E A ---=-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6．（10分）设A 、B 均为n 阶方阵，且2,,B B A B E ==+求
1A -
解：()22
2
320A B E B A E A E A E A A E B B =+⇒=-⎫⇒-=-⇒-+=⎬=⎭
1(3)
3(3)22
2
A E E A
A A E E A
E A ---⇒-=-⇒==
- 7.（10分）设200001,10101t A α-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,且α与A α正交，求t .
解：2000011101011t t A α--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 双a A α⊥，则
(
)211120,1T t a A t t t α-⎛⎫
⎪
==-+== ⎪ ⎪⎝⎭
四、综合题（共11分）
设112233110(,,)110002x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
求一个可逆变换
X PY =化该二次型f 为标准形，即：
1222
12211223333110(,,)110002X P Y
x f x x x x y y y x λλλ=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
解：()
()2
11011110221
10
2A E λ
λλλλλλλ
λ
---=
-=-=----
0,2,2λ= 当0λ=
10
110110111000110020010AX p =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,得
当2λ=
()()23201101101021100001,000000001A E X A E p p -=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,得
取()123110,,110001P p p p -⎛⎫
⎪
== ⎪ ⎪⎝⎭
122
1222333110(,,)11022002X P Y x f x x x x y y x =⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
五、证明题(注:下列4．题中任选做．．．．．2．题．
，每小题7分，共14分)
1、已知2),,(,3),,(432321==ααααααR R ,求证:4α可由32,αα线性表示。

证明：1232323441223(,,)3(,)2(,,)R R R k k ααααααααααα=⇒==⇒=+
2、已知12,,
,n r ξξξ-是齐次方程组0AX =的一个基础解系, *η是非齐次方程组
0AX β=≠的一个特解，求证：*12(,,
,,)1n r R n r ξξξη-=-+.
因为12,,,n r ξξξ-是齐次方程组0AX =的一个基础解系,所以12,,,n r ξξξ-线性
无关. 假定*12,,
,,n r ξξξη-线性相关，则
*1122n r n r k k k ηξξξ--=+++
()*112200,n r n r A A k k k ηξξξβ--=+++⇒
≠=矛盾
即*12,,
,,n r ξξξη-线性无关
所以*12(,,,,)1n r R n r ξξξη-=-+
3、设r ααα,,,21 是一组正交向量组，求证r ααα,,,21 线性无关。

证明 设11220i i r r k k k k αααα++++=
等式两边左乘T i α
11220T T T T i i i i i r i r k k k k αααααααα++
+
+=，由于r ααα,,,21 是一组正交向量
组，所以
||||00(1,2,,)0i i i i k k i r αα=⎫
⇒==⎬≠⎭
4、设123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，证明
112123,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系． 证明：()()1121230,0,0A A A αααααα=+=++= 故112123,,αααααα+++是0AX =的解 令()()1121231230k k k αααααα+++++= 得()()12312323330k k k k k k ααα+++++=
123,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，123,,ααα线性无关 1232312330000k k k k k k k k k ++=⎧⎪
+====⎨⎪=⎩
得 112123,,αααααα+++线性无关
所以112123,,αααααα+++是该方程组的一个基础解系．
《线性代数》练习参考答案
一、选择题 1．
1202
1
k k -≠-的充分必要条件是( C )。

(A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ B ）时，有B ＝C 。

(A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵
3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =333231232221
131211
，
则=
---------33
32
31
23222113
1211
222222222a a a a a a a a a （ D ）。

(A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M
4．齐次线性方程组123123123
000ax x x x ax x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，则a 应满足（ D ）。

(A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =．
5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b
=的通解是（ A ）。

(A)
11212121
()()2
c c αααββ+-++
(B)
11212121
()()2
c c αααββ+++-
(C)
11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121()()2
c c αββββ+-++ 二．填空题（每题3分共15分）
6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T = 28 。

7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = -3750。

| ( AB )-1 |= -1/6 。

8. 在分块矩阵A=B O O C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
中，已知1-B 、1-C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1
A 11
B O O
C --⎛⎫ ⎪⎝⎭ 。

9．设
D =73
453272
54321111
-,则=+++44434241A A A A 0 。

10. 已知35)(2+-=x x x f ，，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=3312A 则)(A f = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000 。

11．设矩阵A=123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的秩R(A)= 2 。

三．计算题
12. 设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，123124051B ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，求32AB A -。

解：1111230152433111124015181110516270AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0152422232015182226270222AB A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
=21322217204292-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
13．计算行列式
121212123x n x n D x
n x =。

解：1(1)12212
1(1)212
2121(1)2
21231(1)232x n n n x n x n n x n x n D x
n x n n x n x
x n n x
++++==+
+++ 112121
[(1)]12
21
23
n x n
x n n x n x
=++
1120100
1[(1)]0120
2011n
x x n n x x n
-=++--
=1
[(1)](1)(2)()2x n n x x x n ++---
14．解齐次线性方程组123412341
234 5 0 2303 8 0x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎨⎪-++=⎩
解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换
115111233181A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
31012701220000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
得出原方程组的同解方程组
1342343 027 202
x x x x x x ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 设314212,,,x c x c c c ==为任意常数.得到方程组的全部解为
1234121237(,,,)(,,1,0)(1,2,0,1),,22
=-+--T T T x x x x c c c c 为任意常数 15．解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭。

解：由AX B X +=得()I A X B -= 因为0I A -≠所以1()X I A B -=-
1
111002/31/3()10112/31/310201/31/3I A ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
因而102/31/311()12/31/32001/31/353X I A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-=- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=312011-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
16．a 取何值时，线性方程组12312312
311x x x a ax x x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有解, 并求其解。

解：2111111()11101111110011a a A b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
当1231()(|)3,1,2,1;a r A r A b x x a x ≠===-=+=-时，有唯一解：
当1a =时，
1111(|)00000000A b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭
即原方程组与下面方程
1231x x x =--同解,其中23,x x 是自由变量.
23(,)(0,0)T T x x 取得到一个特解为(1,0,0).T
原方程组的导出组与方程
123x x x =--同解.
23(,)(1,0),(0,1)T T T x x 分别取得到一个基础解系为:
(1,1,0),(1,0,1)T T --
因此,当1a =时，方程组的通解为:
1212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1),.T T T c c c c +-+-，为任意常数
17. 设A 为3阶矩阵，,2
1=
A 求.5)2(*1A A -- （教材p55,第14题）
18. 设,321011330⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=A ,2B A AB +=求B . （教材p56,1第5题）
19.设33511102
4315
2113
------=D ，D 的),(j i 元的代数余子式记作ij A ，求
.22334333231A A A A +-+ （教材p28,第9题）
20.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321
321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x ，问λ取何值时，此方程组（1）有
惟一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求其通解. （教材p75,例13）
21.求向量组,)4,1,2,1(1T -=α ,)4,10,100,9(2T =α T )8,2,4,2(3---=α的秩，并求一个最大无关组. （教材p108,第11(1)题）
22.求非齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-62421635113254321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应的齐次方程组的基础解系. （教材p109,第26(2)题）
23.求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=201034
011A 的特征值和特征向量. （教材p118,例6）
四．证明题
24. 设向量组321,,ααα线性无关，证明以下向量组线性无关： 112βαα=+ ，322ααβ+=，313βαα=+。

证明: 设0332211=++βββk k k ，所以
131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=
因为321,,ααα线性无关，所以131223000
k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，系数行列式1011100011≠，所以方程只有零
解，即0321===k k k ，故321,,βββ无关。

25．设n 阶矩阵A 满足224A A I O --=.证明：A 可逆并求1-A 。

证明:由224A A I O --=可得 224-=A A I ，进一步 (2)/4A A I I -=，
因此, A 可逆且1(2)/4-=-A A I 。