江西省南康中学、于都中学2018_2019学年高二数学下学期第三次月考试题文

江西省南康中学、于都中学2018-2019 学年高二数学放学期第三次月
考试题文
第 I 卷（选择题 )
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的（本大题共12 小题，
每题 5 分，共 60分）．
1．已知会合A x 2x 4 , B x x 0 ，则（）
A．-，-2B．-2，C．4，D．0,4
2．2 - i2 1 3i（）
A．2 i B．2 7i C．4 7i D．4 i
3．一支由学生构成的校乐团有男同学48 人，女同学 36 人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21 人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（）
A．10B．11C．12D．13
4．双曲线x
2
y21的焦点坐标为（）916
A．5,0B．0,5
C．
5
,0D．0,5 1212
5．以下函数中，既是偶函数，又在区间0,1 上单一递加的是（）
1x
A．y cos x B．y sin x C．y D．y x3
2
6．是区间[ 22, 22] 上的实数，直线
y x b 与圆
x
2
y
21
有公共点的概率为（）
b A．1
B．
3
C．
1
D．
1 3424
7．已知等差数列a
n 的前 n 项和为
S n
，且
a a0, S33
，则公差
d
的值为（）
2811
A．3B． 2C．1D． 4
8．以抛物线y220x的焦点为圆心，且与双曲线x2y2 1 的两条渐近线都相切的圆的方
16 9
程为( )
A ．x2y220x640B．x2y 220x360
C．x2y210x160D．x2y210x90
9．一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）
A．2B．
5
2
C．2 3 1D．22
10．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a, b, c ，且a cosB4c b cosA ，则 cos2A ( )
A．7B．1
C．
7
D．
1
8888
11．假如底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）ABCD - A 1B1C1D1的全部棱长都相等，ABC600， E, M , N 分别为AB，BC，CC1的中点，现有以下四个结论：
① CE平面CC1D1D② A1B // MN
③ AD 1 // 平面 A1M N④异面直线A1D 与 MN 所成的角为600
此中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．已知函数 f x x ln x kx 1在区间1
,e上只有一个零点，则实数k的取值范围是e
（）
A．C．k k 1或k e 1B．k1 k 1
1
或k e 1
e
k k 1
D．
或1
k k 1 1k e 1
e
第 II卷（非选择题 )
二、填空题：把答案填在答题卷相应地点上（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）．
13．向量a 3,1与向量b1,2 的夹角的余弦值是__________．
3x, x0
0 ，则实数a的值等于_____. 14．已知函数f x，若 f a f 1
x 1, x0
x y0
15．已知x, y知足2x y0，则目标函数 z x y 的最大值是__________
x y10
16．已知函数f x2sin x,0, A, B 是函数y f x 图象上相邻的最高点和最低
3
点，若 AB25 ，则 f 1__________．
三、解答题 : 共 70 分 , 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 第 17-21题为必考题 , 每个
考生都一定作答 , 第 22-23 题为选考题 , 考生依据要求作答
（一）必考题 : 共 60 分
17.( 本小题满分12 分)
已知等差数列{
a n
}
，其前 n 项和为 S n，已知a11，且a2, a5, S5 2成等比数列 .
（1）求{ a n}的通项公式 .
（2）若数列{
a n
}
各项均为整数，数列
n
b n 2a n n n 项和n
{ b } 知足，求数列 { b } 的前T .
18.( 本小题满分12 分 )
为了认识某校高三年级800 名学生的体能状况，研究人员在该校高三学生中抽取了
学生的体能测试成绩进行统计，统计结果以下图（满分 100 分），
已知这 10 名学生体能测试的均匀成绩为85 分.
10 名
（1）求m的值以及这10 名学生体能测试成绩的方差；
（2）若从抽取的10 名成绩在均匀分以上的学生中随机抽取 2 名，求恰有 1 人成绩为
分的概率；
95
（3）为了研究高三男、女生的体能状况，现对该校高三全部学生的体能测试成绩进行分
类统计，获得的数据以下表所示：
男生女生
体能测试成绩超出80 分300250
体能测试成绩不超出80 分100150
试判断能否有99.9%的掌握以为体能测试成绩能否超出80 分与性别拥有有关性 .
参照公式： K 2n(ad bc)2，此中 n a b c d .
(a b)(c d)( a c)(b d )
临界值表：
P(K 2k0 )0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828
19． ( 本小题满分12 分)
以下图，三棱柱ABC A1 B1C1
中，AA1
平面
ABC M ,N ,P
分别是棱
BC ,CC1 , B1C1
，
上的点，且 AMN A1 PC1 90 .
（1）求证：AM B1C ；
（2）若△ABC为等边三角形，AA12AB 4，求三棱锥M A1PN 的体积.
20.( 本小题满分12 分 )
已知椭圆C :x
2y21，过点G(1，0)且与x轴不重合的直线与C订交于A, B两点，点3
D (2，0)
，直线 AD与直线x3 交于点E.
（1）当 AB垂直于x轴时，求直线 AD的方程；
（2）证明：GD // BE .
21.( 本小题满分12 分 )
已知函数 f (x) a ln x (a2 1)x 1
ax2（a R ）2
（1）若 a 1 ，议论 f (x)的单一性.
（2）若 f ( x)x 0 对x 1恒建立，求 a 的取值范围.
( 二）选考题：共10 分，请考生在第22、 23 中任选一题作答, 如多做，则按所做的第一题计分 .
22.选修4-4:[坐标系与参数方程]( 本小题满分10 分 )
在以极点 O 为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，
x2t 曲线 C1的参数方程为
t 2
y
3
.
（ t 为参数），曲线 C1在点P( x0, y0)处的切线 l 的极坐标方程为
2 3 cos2sin
（1）求切线l的直角坐标方程及切点P 的直角坐标；
（2）若切线l和曲线C2:2 4 3cos6 sin16 0 订交于不一样的两点A,B，
求
11
的值 . | PA||PB|
23.[ 选修 4-5; 不等式选讲 ]( 本小题满分 10分)
已知函数 f (x)3| x1| | x 1| ，
（1）求不等式 f (x) 6 的解集；
（2）若f ( x)的最小值为k，设m, n R, m 0, m24n2k ，求证11
13 .
m2n22
南康中学
于都中学
2018-2019 学年放学期高二年 考
文科数学参照答案
一、
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B
C
A
B
C
A
C
D
A
B
D
二、填空
13、
2 14
、
2 15 、 3
16
、 1
10
17. 分析：（ 1） 等差数列
{ a } 的公差
d ， 依 意，有
a 5 2
a 2 (S 5 2) ，
n
所以 (a 1 4d )2 (a 1 d )[5(a 1 2d ) 2] 即 (1 4d )2
(1 d )(7 10d )
解之得 d
2 或 d
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
2
所以 a 1 2(n 1)
2n 1或 a n 1 1
( n 1)
1 n 3 n
2
2 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （2）当 { a n } 的各 均 整数， a n
1 n 3 不切合 意
⋯⋯⋯⋯7 分
2
2
当 a n 2n 1 ， b n
2a n
22n 1
所以 { b n }
是首 2 ，公比 4 的等比数列
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
此 T n
b 1 b 2
b n
2 2
3 25
22n 1
2 - 22n 1 4
2（4n 1） ⋯12 分
1
4 3
18.
解：（ 1）因 均匀数 x
70 2 80 4 90
4 6 7
1 4
2 2 5
m
= 85
10
所以 m 4 ⋯2分 所以方差
s 2
1
[(76 85) 2 (77 85)2
(95 85) 2] 38.8 ⋯4分
10
（2） 10 名学生成 在均匀分以上的共有 4 名，此中只有一名
95 分， 事件 A 从 4 名
学生中抽取 2 人中恰有 1 人成
95 分，
从 4 名中抽取 2 人的全部可能 果（
91，
91），（91， 91），（ 91， 91）（ 91， 95） (91,95)（ 91，95）共 6 种，此中事件 A 包括的可能果有 3种，
所以P（A）3
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分62
（3）k2800(300150250100)280020000 2000160
14.54510.828
400400550250400400550 25011所以有 99.9%的掌握体能成能否超80 分与性拥有有关性.⋯12 分19. （ 1）明：在三棱柱ABC A1 B1C1中， AA1平面 ABC ，
所以CC
1平面 ABC ,⋯⋯⋯⋯1分所以 CC1AM ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2
分
又
AMN90 ,所以MN AM,MN CC1,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
所以 AM平面 BCC1 B1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
所以 AM B1C
,⋯⋯⋯6 分
(2) 因△ABC等三角形，由（1）可知AM平面BCC1B1，
A1 PC190
,
所以
A1P平面 BCC1 B1,⋯8分所以
V M A1PN
V
A1PMN
=
1A
1
P S
PMN
=2 3
⋯⋯12分
33
20. 【分析】（ 1）点(,
y1) ，当
AB
垂直于 x ，可得
x1
1，所以
y1
6
，⋯⋯1
A x13分
所以点 A 的坐A(1,6
) ，又 D ( 2，0) ，所以 k AD6，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分33
所以直 AD 的方程y 6
(x 2)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 3
分
（2）法一：①当直AB 的斜率不存在，其方程x 1 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分
若
A(1,
6
) ， B(1,
6
) ，此AD方程 y
6
( x2) ，333
当 x 3 ，y
6
，所以 E(3,
6
) ，所以 y B y E
6
，所以 GD//BE．5 333
分
若
A(1,
6
) ， B(1,
6
) ，此 AD 方程 y
6
( x 2) ，
3
3
3
当 x
3 ， y
6
，所以 E(3,
6
) ，所以 y B y E
6
，所以 GD// BE ．
3
3
3
上可得 GD // BE ．
⋯⋯⋯⋯⋯6
分
②当直 AB 的斜率存在 ， 直
AB 的方程 y
k ( x 1)(k
0) ，
y k (x 1)
由 x 2
y 2
消 去 y
整 理 得 （1 3k 2
) x 2
6k 2
x 3k 2
30，此中
1
3
12 24k 2 0 ，
x 1 x 2
6k 2
( , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，
1 3k
2 ，
⋯⋯⋯⋯⋯8 分
3k 23
A x 1
x 1x 2
1 3k 2
因 k AD
y 1
，所以直 AD
的方程 y
y 1
( x 2)
x 1
x 1
2
2
当
x 3
，得 y E y 1
x 1 2 ，
因 y E - y 2
y 1
y 1 x 1 y 2 2y 2
k (x 1 1) x 1k( x 2 1) 2k( x 2 1)
x 1 y 2
x 1
2
x 1 2
2
2k( x 1 x 2 ) kx 1x 2 3k
2k 16k 2
k 3k 2
3 3k
． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
x 1 2
3k 2 1 3k 2 0
x 1 2
所以 y E
y 2 ，⋯⋯⋯⋯
11分
所以 GD//BE ．
⋯⋯⋯ 12分
法二：
直 AB 的方程 x my 1( m R) ，
⋯⋯⋯⋯⋯4 分
x my 1
由
x 2
y
2
消去 x 整理得（ m 2
3) y
2
2my 2
0 ，
1
3
此中，
4m 2 （8 m 2 3) 12 m 2 24
y1 y22m
(,y
1) ，B( x
2, y2 )
，m2 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分
A x1
y1y2
2
m23
所以y1y2
m ，故y1y2my1 y2所以 y1（my1-1）y2．⋯⋯⋯⋯⋯7 分y1 y2
因 k AD
y1
AD 的方程y
y1
( x 2) ，⋯⋯⋯⋯⋯9 分x1
，所以直
x1 2
2
当 x3，得 y E
y1(my11) y2(my1 1) y2
y2，⋯⋯11分x1
，所以
y
E
1) 2my1 - 1
2( my1
所以GD//BE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21.解：（ 1）f ( x)定域（0，）
/a
(a 2
1)ax
ax 2( a21)x a（ ax 1（) x - a）
f（ x）
x x x⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分
因 a1,所以1
a ，所以
/
0得 0x
1
或
x
a⋯⋯⋯⋯⋯3 分a f（ x）a
1
/
0 得x a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分f（ x）a
所以 f (x)
1
和(a,)上是增的 ,在（
1
，a）上是减在（0，)
a
a
的⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2) f (x)x aln x - a2 x1ax 2， f ( x)x0等价于 a ln x - a 2 x1ax 20
1 x2)22
即 a(ln x ax0
2
1 x
2 1 x2)
当 a0,x1ln x ax0a(ln x ax0与意不
22
符⋯⋯⋯⋯7 分
当 a 0 f ( x)x0即 ln x ax 12
0等价于
ln x1x2 x
a
2
2x
令
ln x 1 x2 1 ln x 1 x2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2,/
(x)
2
g ( x)x g x2
又 h( x)1- ln x1x2h/ ( x)x10⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9
2x
分
所以 h( x) 在（1，
）上 增 , h( x)
1 0
h(1)
2
/
1 ln x
1 x 2
所以
ln x 1 x 2 在在 上 增⋯⋯⋯ 10
( x)
2
g( x)
2
（1，
）
g 2
x
x
分
ln x 1
x 2
g( x)
2
1
x
g(1)
2
分
1 ⋯⋯⋯ 11 分
所以 0 a
2
⋯⋯⋯⋯ 12
22. （ 1）解：由切 l 的极坐 方程
3
.
2 3 cos 2 sin
得切 l 的直角坐 方程
2 3x 2y
3 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分
由曲 C 1 的参数方程
x
2t
（ t 参数） 得曲 C 1 的一般方程 y
1 x
2 ， ⋯2
y t 2
2
分
求 得 y'
x , 所以 x 0
3 由此可知切点 P 的直角坐
3,
3
⋯⋯⋯⋯⋯4 分
2
2 1 l
的直角坐 方程
2 3x 2y
3 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5
（ ）由（ ）可知切
分
x 3
1 t
2
得直 l 的参数方程
（ t 参数），
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6
分
y 3 3 t
2
2
曲 C 2:
2
4 3
cos 6 sin
16 0 的直角坐 方程
x 2
y 2 4 3x
6 y 16
，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
将直 的参数方程代入
x 2
y 2
4 3x
6 y
16 0 中，整理得 t 2
5 3t 1 0 ，
2
4
点 A,B 的参数分
t 1 ,t 2 ， | PA | | t 1 | ， | PB | | t 2 |
5
1
1 1
1 1 t 1 t
2 5 3
t 1
3 ， t 1t 2
2 10
3 ⋯10
t 2
，⋯8分
| PA| | PB|
2
4
| t 1 | |t 2 |
|t 1t 2 |
1
4
江西省南康中学、于都中学2018_2019学年高二数学下学期第三次月考试题文
分
4x
2, x 1 23. （ 1） f ( x)4
2x, 1 x 1 ⋯⋯⋯⋯⋯1 分
2
4x, x
1
f ( x) 6 x 1 或 1 x
1 x
1
等价于，
或
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分
4 x 2 6 4 2 x 6 2 4x 6
解得 x
2 或 x
或 x
，即 1
或 x 2
f （ x )
6 的解集为
- , 1
2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分
（2） 当
x
1时， f （x) 4x
2 2 ，
当 1
1 1 ， f ( x) 4
2 x 2 ,6
当 x 1 ， f ( x) 2 4 x 6
f （x) 2,即f ( x)的最小值为 2，即 k 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分
1
1
1
4
1
1
4
2
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分
） 4n
4)
（
m 2
n 2 1 m 2
4n 2 4 6 m 2 4n 2
4 ( m
1
2
4n
2
4
1
4m
2
4n
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分
4m
4 3
（1
4
4n
4
m 2
)
（
4n 2 4 m 2
)
2
6
2
6 1 4 2
当且 当
4n 2 4 2m 2 即 m 2 2, n 2 0时取等号 ⋯⋯10 分
m 2 4n 2 2。