江西省吉安市一中2015届高三数学上学期第二次阶段考试试卷 文

江西省吉安一中2015届上学期高三年级第二次阶段考试
数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 复数2
24(1)i
i ++的共轭复数是（ ）
A. 2i +
B. 2i -+
C. 2i -
D. 2i --
2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，
现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）
A. 112
B. 110
C. 15
D. 3
10
3. 设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线
()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）
A. 4
B.
14-
C. 2
D. 1
2-
4. 已知点(,)P x y 在不等式组2010
220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范
围是（ ） A.
[]2,1-- B. []2,1- C. []1,2- D. []1,2
5. 设,x y 是两个实数，则“,x y 中至少有一个数大于1”是“
222x y +>”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
6.设在△ABC 中，3AB BC ==，30ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD AC 的值等于（ ）
A. 0
B. 94
C. 4
D. 9
4-
7. 设集合
{}
2|230A x x x =+->，集合
{}
2|210,0B x x ax a =--≤>。

若A B 中恰含有
一个整数u ，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 30,4⎛⎫
⎪
⎝⎭ B. 34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 3,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ D. ()1,+∞
8. 等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，2
2S a ，
…，1515S a 中最大的项为（ ）
A. 66S a
B. 77S a
C. 99S a
D. 8
8S a
9. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）
A. 202π
B. 12526π
C. 1252
3π D. 50π
10. 已知双曲线的两个焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，
P 是双曲线上的一点，1
2PF PF ⊥且
122
PF PF =，则双曲线方程是（ ）
A. 22123x y -=
B. 2214x y -=
C. 22132x y -=
D. 22
14y x -=
11. 在如图所示的程序框图中，当
*
(1)n N n ∈>时，函数()n f x 等于函数1()n f x -的导函数，若输入函数
1()sin cos f x x x
=+，则输出的函数
()
n f x 可化为（ ）
A.
2)
4x π
+ B.
2)4x π- C. 2)4x π-- D. 2)
4x π
-+
12. 已知函数
22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨
+>⎩，若()1f x ax ≥-，则a 的取值范围是（ ） A.
[]2,0- B. []2,1- C. []4,0- D. []4,1-
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 方程210x
x =-的根(,1),x k k k Z ∈+∈，则k=_____。

14. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c =，则实数t=_______。

15. 某几何体的三视图如图所示，当xy 最大时，该几何体的体积为_________。

16. 数列
{}n a 的通项
22
2(cos sin )33n n n a n ππ
=-，其前n 项和为n S ，则30S 为_______。

三、解答题
17. （12分）已知函数
2
()4cos 43cos 1,f x x x x x R =+-∈。

（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ；若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，
求
()
12f B π
-
的值。

18. （12分）某高校在2012年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160,165），第二组[165,170），第三组[170,175），第四组[175,180），第五组[180,185）得到的频率分布直方图如图所示。

（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试。

（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

19. （12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1。

（I ）求证：AF ⊥平面CBF ；
（II ）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；
（III ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为
,F ABCD F CBE
V V --，求
:F ABCD F CBE
V V --。

20. （12分）已知椭圆C ：222
21(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2，且椭圆C 的离心率为12.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标。

21. （12分）已知函数21
()ln 3f x ax bx x
=--，其中,a b R ∈。

（1）当a=3，b=-1时，求函数()f x 的最小值；
（2）当a>0，且a 为常数时，若函数()[()ln ]h x x f x x =+对任意的
124
x x >≥，总有
1212
()()
1
h x h x x x ->--成立，试用a 表示出b 的取值范围。

选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号。

22. 选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D 。

（I ）证明：DB=DC ；（II ）设圆的半径为1，3BC =，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23. 选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）
，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin ρθ=。

（I ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（II ）求C1与C2交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。

24. 选修4—5：不等式选讲 已知函数
()212f x x x a
=-++，()3g x x =+。

（I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（II ）设1a >-，且当
1[,)
22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围。

18. 解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3
第四组的频率为0.04×5=0.2 第五组的频率为0.02×5=0.1（3分） （2）第三组的人数为0.3×100=30 第四组的人数为0.2×100=20 第五组的人数为0.1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组抽到的人数分别为：第三组3063
60⨯= 第四组20
6260⨯=
第五组10
61
60⨯=，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。

（6分）
（3）设第三组的3位同学为
123
,,A A A ，第四组的2为同学为
12
,B B ,
第五组的1为同学为C1，则从6为同学中抽2位同学有：
1213111211232122(,),(,),(),(,)(,),(,),(,),(,)A A A A A B A B A C A A A B A B
21313231121121(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,)
A C A
B A B A
C B B B C B C 共15种可能…………（9分）
其中第四组的2为同学
12
,B B 中至少1为同学入选有
11122122(),(,),(,),(,)
A B A B A B A B ，
3132121121(,),(,),(,)(,)(,)
A B A B B B B C B C 共9种可能。

所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为155=。

（12分）
19. 解：（I ）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，……2分 又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF 。

……4分
（II ）设DF 的中点为N ，则MN ∥12CD ，又12AO CD ∥，
则
MN AO
∥，MNAO 为平行四边形，………………6分
∴OM ∥AN ，又AN ⊂平面DAF ，PM ⊄平面DAF ，∴OM ∥平面DAF 。

8分
（III ）过点F 作FG ⊥AB 于G ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，
∴FG ⊥平面ABCD ，∴12
33F ABCD ABCD V S FG FG
-=⋅=，………………10分 ∵CB ⊥平面ABEF ，∴1111
3326F CBE C BFE BFE V V S CB EF FG CB FG
--∆==⋅=⋅⋅⋅=，
∴
:4:1
F ABCD F CBE V V --=………………12分
20. 解：（I ）因为点3(1,)2在椭圆C 上，所以22
1914a b +=，又椭圆C 的离心率为12，所以1
2c a =， 即2a c =，所以22
4,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143x y +=（4分）
（II ）设0(1,)P y -，
033
(,)22y ∈-， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为
0(1)
y y k x -=+，
1122(,),(,)
M x y N x y ，
由2203412
(1)x y y y k x ⎧+=⎨
-=+⎩，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=，
所以201228834ky k x x k ++=-+，因为P 为MN 中点，所以12
12x x +=-，即202
88234ky k k +-=-+，
所以
003(0)4MN k y y =
≠，因为直线l MN ⊥，所以
143y k =-，所以直线的方程为 004(1)3y y y x -=-
+，即041()34y y x =-+，显然直线恒过定点1(,0)4-（10分）
②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为，
此时直线为x 轴，也过点1(,0)4- 综上所述，直线恒过定点1(,0)
4-（12分）
（此题还可以用点差法）
21. 解：（1）当3,1a b ==-时，
2
()ln ,(0,)f x x x x x =+-∈+∞ ∴
1(21)(1)
'()21x x f x x x x -+=+-
=
∵0x >，∴
102x <<
时，'()0f x <；1
2x >
时，'()0f x >
即()f x 在1(0,)2上单调递减，在1
(,)2+∞上单调递增
∴()f x 在
12x =
处取得最小值，即min 13
[()]()ln 2
24f x f ==+。

（2）由题意，对任意的124x x >≥，总有112212
[()][()]
h x x h x x x x +-+>-成立。

令321
()()3p x h x x ax bx x
=+=-+，[4,)x ∈+∞，则函数()p x 在[4,)x ∈+∞上单调递增 ∴2
'()210p x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立，∴
211
2ax b ax x x +≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立。

构造函数1
()(0),(0,)F x ax a x x =+>∈+∞则
22211'()ax F x a x x -=-=
∴F （x
）在
上单调递减，在)+∞上单调递增
（i
）当4a >，即1
016a <<
时，F （x
）在[4,a
上单调递减，在()a +∞上单调递增
∴min [()](F x F a ==∴
min
2[()]b F x ≤
，从而
(b ∈-∞
（ii ）当4a a ≤，即
116a ≥
时，()F x 在(4,)+∞上单调递增 12(4)44b F a ≤=+
，从而1(,2]
8b a ∈-∞+
综上，当
1016a <<
时，(,)b a ∈-∞，116a ≥时，1
(,2]
8b a ∈-∞+
22. 解：（1）连结DE ，交BC 为G ，由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠，而ABE CBE ∠=∠，故,CBE BCE BE CE ∠=∠=.又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，由勾股定理，可得DB=DC 。

（II ）由（1），CDE BDE ∠=∠，DB=DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以
3
BG =
，圆心为O ，
连结BO ，则60BOG ∠=︒，30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF ⊥BF ，故外接圆半径
为3。

23. 解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，消去参数t ，化学普通方程
22(4)(5)25x y -+-=， 即
1
C ：
22
810160x y x y +--+=， 将cos ,sin x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入
22810160x y x y +--+=得 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=
所以
1
C 极坐标方程为
2
8cos 10sin 160ρρθρθ--+=。

（2）C2的普通方程为222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1,2,x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩。

所以C1与C2交点的极坐标为(2,),(2,)42ππ。

24. 解：（I ）当a=-2时，不等式()()f x g x <化为212230x x x -+---<，
设函数21223y x x x =-+---，则
15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
其图象如图所示
从图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y<0，所以原不等式的解集是{}|02x x <<；
（II ）当
1[,)22a x ∈-，()1f x a =+，不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+， 所以2x a ≥-对1[,)22a x ∈-都成立，故22a a -≥-，即
43a ≤， 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦。