2021-2022学年江苏省常州市前黄实验学校高一数学理测试题含解析

2021-2022学年江苏省常州市前黄实验学校高一数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】常规题型．
【分析】先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可．
【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），
所以将y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y=sin（2x﹣）的图象，
故选B．
【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移．平移都是对单个的x来说的．
2. 已知M（1，2），N（4，3）直线l过点P（2，﹣1）且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣，] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
参考答案：
A
【考点】直线的斜率．
【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，用直线的斜率公式求出k PN 和k PM的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PN或k≤k PM，
即k≥=2，或k≤=﹣3，
∴k≥2，或k≤﹣3，
故选：A．
3. 设用二分法求方程在内近似解的过程
中,则方程的根落在区间( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
4. 如图，在三角形ABC中，已知，，，点D为BC的三等分点．则
的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
直接利用向量的运算法则和数量积运算把化为，然后由求得答案．
【详解】，
．
，．
．
故选：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，属于中档题．
5. 已知下列命题：①要得到函数的图像，需把函数图像上所有点向左平移
个单位长度；②函数的图像关于直线对称；③函数与
的周期相等.
其中正确命题的序号是（）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ①③
参考答案：
D
【分析】
将两个函数化为同名函数，可判断命题①的正误；求出函数的对称轴方程可判断命题②的正误；求出两个函数的周期可判断出命题③的正误。

【详解】对于命题①，函数，因此，将函数
图像上所有点向左平移个单位长度可得到函数的图像，命题①正确；
对于命题②，对于函数，其对称轴方程满足，
将代入得，得，命题②错误；
对于命题③，，其周期，
对于函数，其周期为，命题③正确。

故选：D.
【点睛】本题考查三角函数图象变换、对称性以及三角函数的周期，在求解有关三角函数的问题时，首先应将三角函数解析式化为或，结合三角形有关知识来求解，属于中等题。

6. 在△中，角所对的边分别为.若，则
( )
A．－ B. C．－
D.
参考答案：
B
略
7. 设集合A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，则韦恩图中阴影部分表示的集合( )
A．{2} B．{3，5} C．{1，4，6} D．{3，5，7，8}
参考答案：
B
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，根据已知的A、B，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，分析可得，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素，
即阴影部分表示（C U A）∩B，
又有A={1，2，4，6}，B={2，3，5}，
则（C U A）∩B={3，5}，
故选B．
【点评】本题考查集合的图示表示法，一般采取数形结合的标数法或集合关系分析法．
8. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 ( )
A．2 B． C． D．
参考答案：
B
9. 设函数的最小正周期为，且满足，则
(A)在单调递减 (B)在单调递减
(C)在单调递增(D)在单调递增
参考答案：
A
略
10. 已知等比数列满足，且，则当时，
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若向量，的夹角为，，则
参考答案：
7
12. 原点到直线
的距离等于
参考答案：
13. 已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的，，则数列{a n}公比q的取值集合为
__________．
参考答案：
【分析】
根据条件先得到：的表示，然后再根据{a n}是等比数列讨论公比的情况.
【详解】因为，所以，即；取连续的有限项
构成数列{b n}，不妨令，则，且，则此时必为整数；
当时，，不符合；
当时，，符合，
此时公比；
当时，，不符合；
当时，，不符合；
故：公比.
【点睛】本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分
类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析.
14. 函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)关于直线
对称，设g (x )＝3cos(ωx ＋φ)＋1，则
＝________.
参考答案：
1
∵函数f （x ）的图象关于x
对称
∵f （x ）＝3sin （ωx +φ）的对称轴为函数g （x ）＝3cos （ωx +φ）+1的对称中心
故有则 1
故答案为：1
15. 设向量，若，，则x = .
参考答案：
【分析】
利用向量垂直数量积为零列等式可得，从而可得结果. 【详解】因为，且
，
所以，
可得
，
又因为
，
所以，故答案为
.
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
解答；（2）两向量垂直，利用
解答.
16. 函数的图象为C ，则如下结论中正确的序号是_____. ①图象C 关于直线
对称； ②图象C 关于点
对称； ③函数
在区间
内是增函数； ④
由
的图角向右平移
个单位长度可以得到图象C ．
参考答案：
①②③
，故①正确；时，，故②正确；
，故③不正确；，故④不正确.
17. 设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a= ．
参考答案：
3
【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 【解答】解：y=ax ﹣ln （x+1）的导数
，
由在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，
得，
则a=3．
故答案为：3．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.若对任意的，总存在实数
,使得成立，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
参考答案：
C
19. 设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，A∩B=B，求实数a的值．
参考答案：
【考点】交集及其运算．
【分析】求解一元二次方程化简集合A，根据A∩B=B得到B?A，然后分B为空集、单元素集合及双元素集合讨论求解a的值．
【解答】解：由A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，又A∩B=B，∴B?A
（1）若B=?，则x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的判别式小于0，即4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，
∴a＜﹣1．
（2）若B={0}，把x=0代入方程得a=±1
当a=1时，B={﹣4，0}≠{0}．
当a=﹣1时，B={0}，∴a=﹣1．
（3）若B={﹣4}时，把x=﹣4代入得a=1或a=7．
当a=1时，B={0，﹣4}≠{﹣4}，∴a≠1．
当a=7时，B={﹣4，﹣12}≠{﹣4}，∴a≠7．
（4）若B={0，﹣4}，则a=1，当a=1时，B={0，﹣4}，∴a=1
综上所述：a≤﹣1或a=1．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．
20. log2(x－1)=log2(2x+1)
参考答案：
x∈φ
21. 如图所示，在三棱柱ABC - A1B1C1中，侧棱底面ABC，，D为AC的中点，
. （1）求证：平面；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接，设与相交于点O，连接OD.证明OD为的中位线，得，即可证明；（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可
【详解】(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接OD.
∵四边形是平行四边形．
∴点O为的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为的中位线，
平面，平面，平面.
（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角
在中，D为AC的中点，则
同理可得，
在中，
与BD所成角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题22. 某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费(不计息).已知经营该店的固定成本为6.8万元/月,该消费品的进价为16元/件，月销量q(万件)与售价p(元/件)的关系如图.
（1）写出销量q与售价p的函数关系式;
（2）当售价p定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？
参考答案：
(1)q=…………………………………4分
(2)设月利润为W(万元)，则
W=(p－16)q－6.8=………………6分
当16≤p≤20,W=－(p－22)2+2.2, 当p=20时，W max=1.2;
当20<p≤25,W=－(p－23)2+3, 当p=23时，W max=3．
∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元. …………………………………10分
(3) 设最早n个月后还清转让费，则
3n≥58,n≥20,∴企业乙最早可望20个月后还清转让费. …………………………12分。