2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知集合A ＝{x |y ＝lg （﹣3﹣x ）}，B ＝（﹣4，1），则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣4，﹣3] C ．（﹣4，+∞） D ．[﹣3，﹣1）
2．sin240°＝（ ） A ．−
√3
2
B ．
√3
2 C ．12
D ．−12
3．“角α是第三象限角”是“sin α•tan α＜0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．已知x ，y ∈（0，+∞），3x−4=(19
)y ，则xy 的最大值为（ ）
A ．2
B ．98
C ．32
D ．94
5．已知a =log 213，b ＝2﹣
0.3，c =log 225
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a
6．函数y ＝2sin （ωx +φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A ．y ＝2sin （2x −π
4
）
B ．y ＝2sin （2x +π
4）
C ．y ＝2sin （x +
3π8
） D ．y ＝2sin （x 2+7π
16
）
7．已知f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝e 2x ﹣1（其中e 为自然对数的底数），则f(ln 1
3
)=（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．8
D ．﹣8
8．黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann ）发现提出黎曼函数定义在[0，1]上，其解析式为：当x =
q p
为真约数且p ，q ∈N *时，R(x)=1
p
，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数时，R （x ）＝0，若函数f （x ）是定
义在R 上的偶函数，且∀x ∈R ，f （x ）+f （x +2）＝0，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝R （x ），则f(π)−f(2023
5
)=（ ）
A ．−25
B ．−15
C ．15
D ．25
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．设α∈R ，则下列结论中正确的是（ ） A ．sin （2π﹣α）＝﹣sin α B ．cos （α﹣π）＝cos α C ．cos(
3π
2
−α)=−sinα D ．tan （﹣α﹣π）＝tan α
10．下列叙述正确的是（ ）
A ．若幂函数f （x ）的图象经过点(27，1
3
)，则该函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减
B ．命题“∀x ＜1，x 2＜1”的否定是“∃x ＜1，x 2≥1”
C ．函数f （x ）＝ln （x 2+2x ﹣3）的单调递增区间为（﹣1，+∞）
D ．函数f(x)=(1
2
)x 与函数g （x ）＝﹣log 2x 互为反函数
11．已知函数f （x ）＝|tan x |，则下列关于函数f （x ）的图象与性质的叙述中，正确的有（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π
B ．函数f （x ）在(kπ，kπ+π
2
)(k ∈Z)上单调递增
C ．函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称
D ．f(π5)＜f(4π
5
)
12．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则下列说法正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．a +b +c ＜0
C ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x |x ＜−12或x ＞−1
3}
D ．c 2+4
a+b
的最小值为6
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．lg √2+12lg5+(278
)1
3= ．
14．已知cos α=2
3，270°＜α＜360°，则cos α2
的值为 ．
15．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝120°，AC ＝2OC ＝4，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是 ．
16．已知函数f （x ）={
cos(2x −π3)，t ＜x ≤
3π
22x ，x ≤t
有且仅有3个零点，则t 的取值范围是 ． 四、解答题：（本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（1）已知cos(π
2
+α)
cos(π+α)=−2，求3sinα+2cosαsinα−2cosα
的值．
（2）已知角α的终边过点P （3，4），sinβ=
513，β∈(π2，3π
2
)，求cos （α+β）的值． 18．（12分）已知函数f(x)=2sin 2x +√3sin2x ． （1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）将f （x ）的图象向右平移π12
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在[π3，5π
6]上的值域．
19．（12分）已知函数f(x)=13x
+a
+b(a ＞0，b ∈R)是定义在R 上的奇函数，其图象经过点(2，−2
5)．
（Ⅰ）求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）求不等式f(x 2−3x)−2
5
＜0的解集．
20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）={44.21sin(
π
3
x)+0.21，0≤x＜2 54.27e−0.3x+10.18，x≥2
．
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
21．（12分）已知函数f（x）＝log a（2x﹣4）+log a（5﹣x）（a＞0且a≠1）的图象过点P（3，﹣2）．（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在[3，9
2
]上的最大值；
（3）若2m=3n=t(5
2
＜t＜3)，比较f（2m）与f（3n）的大小．
22．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）．
（1）若f（x）为偶函数，求函数g(x)=lg[f(x−π
6
)+
1
2
]的定义域；
（2）若f（x）过点(π
6
，1)，设h（x）＝cos2x+2a sin x，若对任意的x1∈[−π
2
，π
2
]，x2∈[0，π2]，都有h
（x1）＜f（x2）+3，求实数a的取值范围．
2023-2024学年安徽省宿州市示范高中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣3﹣x）}，B＝（﹣4，1），则A∪B＝（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣4，﹣3]C．（﹣4，+∞）D．[﹣3，﹣1）
解：A＝{x|y＝lg（﹣3﹣x）}＝{x|x＜﹣3}，B＝（﹣4，1），则A∪B＝（﹣∞，1）．
故选：A．
2．sin240°＝（）
A．−√3
2B．
√3
2
C．
1
2
D．−12
解：sin240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin60°=−√3
2
，
故选：A．
3．“角α是第三象限角”是“sinα•tanα＜0”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
解：①当角α是第三象限角时，则sinα＜0，tanα＞0，∴sinα•tanα＜0，∴充分性成立，
②当角α是第二象限角时，则sinα＞0且tanα＜0，∴sinα•tanα＜0，∴必要性不成立，
∴角α是第三象限角是sinα•tanα＜0的充分不必要条件．
故选：A．
4．已知x，y∈（0，+∞），3x−4=(1
9
)y，则xy的最大值为（）
A．2B．9
8
C．
3
2
D．
9
4
解：∵3x−4=(1
9
)y=3﹣2y，∴x﹣4＝﹣2y，∴x+2y＝4，
∵x，y∈（0，+∞），∴4＝x+2y≥2√2xy，∴xy≤2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，∴xy的最大值为2，
故选：A．
5．已知a=log21
3，b＝2﹣0.3，c=log2
2
5
，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
解：y ＝log 2x 在（0，+∞）上单调递增，则log 213＜log 22
5
＜log 21＝0，故a ＜c ＜0，
0＜b ＝2
﹣0.3
＜20，则0＜b ＜1，
综上所述，b ＞c ＞a ． 故选：C ．
6．函数y ＝2sin （ωx +φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A ．y ＝2sin （2x −π
4
）
B ．y ＝2sin （2x +π
4）
C ．y ＝2sin （x +
3π8
） D ．y ＝2sin （x 2+7π
16
）
解：由图象可知，T 2=5π8−π8=π
2
，所以T ＝π，
由T =
2π
ω
，得ω＝2，所以y ＝2sin （2x +φ）． ∵点（π
8
，2）在函数图象上，
∴2＝2sin （2×
π
8
+φ）， ∴φ＝2k π+π4（k ∈Z ），解得φ=π
4，
所以解析式为y ＝2sin （2x +π
4
）．
故选：B ．
7．已知f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝e 2x ﹣1（其中e 为自然对数的底数），则f(ln 1
3
)=（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．8
D ．﹣8
解：∵f （ln 1
3
）＝f （﹣ln 3），
∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ） ∵当x ≥0时，f （x ）＝e 2x ﹣1，
则f （ln 1
3
）＝f （﹣ln 3）＝﹣f （ln 3）＝﹣（e 2ln 3﹣1）＝﹣（e ln 9﹣1）＝﹣8，
故选：D ．
8．黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann ）发现提出黎曼函数定义在[0，1]上，其解析式为：当x =
q p
为真约数且p，q∈N*时，R(x)=1
p
，当x＝0，1或[0，1]上的无理数时，R（x）＝0，若函数f（x）是定
义在R上的偶函数，且∀x∈R，f（x）+f（x+2）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），则f(π)−f(2023
5
)=
（）
A．−2
5B．−15C．
1
5
D．
2
5
解：由题意f（x+2）＝﹣f（x）⇒f（x+4）＝﹣f（x+2），则f（x+4）＝f（x），所以偶函数f（x）的周期为4，
f（π）＝f（π﹣4）＝f（4﹣π）＝R（4﹣π）＝0，
f(2023
5
)=f(404+
3
5
)=f(
3
5
)=R(
3
5
)=
1
5
，
所以f(π)−f(2023
5
)=−
1
5
．
故选：B．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．设α∈R，则下列结论中正确的是（）
A．sin（2π﹣α）＝﹣sinαB．cos（α﹣π）＝cosα
C．cos(3π
2
−α)=−sinαD．tan（﹣α﹣π）＝tanα
解：对于A，sin（2π﹣α）＝sin（﹣α）＝﹣sinα，即A正确；
对于B，cos（α﹣π）＝cos（π﹣α）＝﹣cosα，即B错误；
对于C，cos(3π
2
−α)=−sinα，即C正确；
对于D，tan（﹣α﹣π）＝tan（﹣α）＝﹣tanα，即D错误．
故选：AC．
10．下列叙述正确的是（）
A．若幂函数f（x）的图象经过点(27，13)，则该函数f（x）在（0，+∞）上单调递减B．命题“∀x＜1，x2＜1”的否定是“∃x＜1，x2≥1”
C．函数f（x）＝ln（x2+2x﹣3）的单调递增区间为（﹣1，+∞）
D．函数f(x)=(1
2
)x与函数g（x）＝﹣log2x互为反函数
解：A项，设幂函数为y＝xα，则1
3
=27α，∴α=−
1
3
＜0，故y=x−
1
3，
则该函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，A 项正确；
B 项，命题“∀x ＜1，x 2＜1”的否定是“∃x ＜1，x 2≥1”，B 项正确；
C 项，x 2+2x ﹣3＞0，∴（x +3）（x ﹣1）＞0，∴x ＞1或x ＜﹣3， 则函数f （x ）＝ln （x 2+2x ﹣3）的单调递增区间为（1，+∞），C 项错误；
D 项，函数f(x)=(1
2)x 与函数g （x ）＝lo g 12
x ＝﹣log 2x 互为反函数，D 项正确．
故选：ABD ．
11．已知函数f （x ）＝|tan x |，则下列关于函数f （x ）的图象与性质的叙述中，正确的有（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为π
B ．函数f （x ）在(kπ，kπ+π
2
)(k ∈Z)上单调递增
C ．函数f （x ）的图象关于直线x =π2对称
D ．f(π5)＜f(4π
5
)
解：因为函数f （x ）＝|tan x |={tanx ，x ∈[kπ，kπ+π
2)，k ∈Z
−tanx ，x ∈(kπ−π
2
，kπ)，k ∈Z
，画出函数f （x ）的部分图象，如图
所示：
对于A ，函数f （x ）＝|tan x |的最小正周期为π，选项A 正确；
对于B ，函数f （x ）在（k π，k π+π
2
）（k ∈Z ）上单调递增，选项B 正确；
对于C ，根据函数f （x ）的图象知，f （x ）的图象关于直线x =kπ
2
（k ∈Z ）对称，选项C 正确； 对于D ，f （
4π
5）＝|tan 4π5|＝tan π5=f （π
5
），所以选项D 错误． 故选：ABC ．
12．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则下列说法正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．a +b +c ＜0
C ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集为{x |x ＜−12或x ＞−1
3}
D ．c 2+4
a+b
的最小值为6
解：∵不等式ax 2
+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，∴{
a ＜02+3=−
b a 2×3=c
a ，
即b ＝﹣5a ，c ＝6a ，且a ＜0，故选项A 错误； a +b +c ＝a ﹣5a +6a ＝2a ＜0，故选项B 正确；
cx 2﹣bx +a ＜0可化为6ax 2+5ax +a ＜0，即6x 2+5x +1＞0， 故不等式的解集为{x |x ＜−12或x ＞−1
3}，故选项C 正确；
c 2+4a+b
=
36a 2+4−4a
=（﹣9a ）+（−1a ）≥6，当且仅当a =−1
3
时，等号成立，故选项D 正确；
故选：BCD ．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．lg √2+12lg5+(278
)1
3= 2 ．
解：原式=12lg 2+12lg 5+（32)3×13=12
lg 10+32=12+3
2=2．
故答案为：2．
14．已知cos α=2
3，270°＜α＜360°，则cos α2的值为 −√306 ．
解：因为270°＜α＜360°，所以135°＜α
2＜180°，cos α2＜0，
因为cos α＝2cos 2α2−1=2
3，则cos α2=−√306或√306
（舍去）．
故答案为：−
√30
6
．
15．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形AOB ，其中∠AOB ＝120°，AC ＝2OC ＝4，则扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是
32π3
．
解：因为120°=
2π3
，
由题意可得，扇形AOB 的面积是12×2π
3×62=12π，
扇形COD 的面积是12×2π3×22=4
3
π．
所以扇面（曲边四边形ABDC ）的面积是12π−43π=32π
3
．
故答案为：
32π3
．
16．已知函数f （x ）={cos(2x −π3)，t ＜x ≤3π
22x ，x ≤t 有且仅有3个零点，则t 的取值范围是 [−π12，0）∪[5π12，
11π12
） ．
解：由cos （2x −π3）＝0，可得2x −π3=k π+π
2，
所以x =12k π+5π
12
，k ∈Z ，
当k ＝2时，x =
17π12＜3π2，当k ＝1时，x =11π12，当k ＝0时，x =5π12，当k ＝﹣1时，x =−π
12， k ＝﹣2时，x =−
7π
12
， 当x ＝0时，2x ＝0，
要使函数f （x ）={
cos(2x −π3)，t ＜x ≤
3π
22x ，x ≤t
有且仅有3个零点，
结合图象可得t 的取值范围是[−π
12，0）∪[5π12，11π12
）． 故答案为：[−
π
12，0）∪[5π12，11π12
）． 四、解答题：（本题共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）（1）已知cos(π2
+α)cos(π+α)=−2，求3sinα+2cosαsinα−2cosα的值． （2）已知角α的终边过点P （3，4），sinβ=
513，β∈(π2，3π2)，求cos （α+β）的值． 解：（1）因为cos(π2+α)cos(π+α)=−sinα−cosα=−2，所以tan α＝﹣2，
所以3sinα+2cosαsinα−2cosα=3tanα+2tanα−2=1；
（2）因为角α的终边过点P （3，4），则sinα=45，cosα=35
， 因为sinβ=513，β∈(π2，3π2
)， 所以 cosβ=−√1−sin 2β=−√1−(513)2=−1213
， 则cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=
35×(−1213)−45×513=−5665． 18．（12分）已知函数f(x)=2sin 2x +√3sin2x ．
（1）求f （x ）的单调递增区间；
（2）将f （x ）的图象向右平移π12
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在[π3，5π6]上的值域． 解：（1）因为f(x)=2sin 2x +√3sin2x =√3sin2x +1−cos2x =2sin(2x −π6
)+1， 令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，解得kπ−π6≤x ≤kπ+π3
(k ∈Z)， 则f （x ）的单调递增区间是[kπ−π6，kπ+π3
](k ∈Z)； （2）因为f(x)=2sin(2x −π6
)+1， 将f （x ）的图象向右平移
π12个单位长度， 可得g(x)=2sin[2(x −π12)−π6]+1=2sin(2x −π3
)+1． 因为x ∈[π3，5π6]，所以π3≤2x −π3≤4π3
， 所以−√32≤sin(2x −π3)≤1，则−√3+1≤2sin(2x −π3
)+1≤3， 即g （x ）在区间[π3，5π6
]内的值域为[−√3+1，3]． 19．（12分）已知函数f(x)=
13x +a +b(a ＞0，b ∈R)是定义在R 上的奇函数，其图象经过点(2，−25)． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）求不等式f(x2−3x)−2
5
＜0的解集．
解：（Ⅰ）根据条件f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）＝0，即1
1+a
+b=0，
又f(2)=
1
9+a
+b=−
2
5
，解得a=1，b=−
1
2
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=
1
3x+1
−
1
2
，于是f（x）在R上单调递减，
又f(2)=−2
5
，于是不等式f(x2−3x)−
2
5
＜0可化为f（x2﹣3x）+f（2）＜0
因f（x）是R上的奇函数，所以f（x2﹣3x）＜﹣f（2）＝f（﹣2），
于是x2﹣3x＞﹣2，即x2﹣3x+2＞0，解得x＞2或x＜1，
所以原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
20．（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：
该函数模型如下，
f（x）={44.21sin(
π
3
x)+0.21，0≤x＜2 54.27e−0.3x+10.18，x≥2
．
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：ln9.82≈2.28，ln10.18≈2.32，ln54.27≈3.99）
解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0＜x＜2．
此时f （x ）＝44.21sin （π3
x ）+0.21． 当π3
x =π2时，即x =32时，函数f （x ）取得最大值为y max ＝44.21+0.21＝44.42， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，
（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时x ＞2， 由54.27e ﹣0.3x +10.18＜20，得e
﹣0.3x ＜9.8254.27， 两边取自然对数得lne ﹣0.3x ＜ln 9.8254.27
， 即﹣0.3x ＜ln 9.82﹣ln 54.27，
∴x ＞2.28−3.99−0.3
=5.7， 故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车．
21．（12分）已知函数f （x ）＝log a （2x ﹣4）+log a （5﹣x ）（a ＞0且a ≠1）的图象过点P （3，﹣2）．
（1）求a 的值及f （x ）的定义域；
（2）求f （x ）在[3，92
]上的最大值； （3）若2m =3n =t(52
＜t ＜3)，比较f （2m ）与f （3n ）的大小． 解：（1）由已知f （3）＝log a 2+log a 2＝﹣2，a =12
， {2x −4＞05−x ＞0
⇒2＜x ＜5，定义域为（2，5）； （2）f(x)=log 12(2x −4)+log 12(5−x)=log 12(2x −4)(5−x)=log 12
(−2x 2+14x −20)，
−2x 2+14x −20=−2(x −72)2+92，3≤x ≤92，则52≤−2(x −72)2+92≤92
， 所以log 1292≤log 12(−2x 2+14x −20)≤log 12
52，x =92时取等号， 最大值为log 12
52=−log 252； （3）2m =3n =t(52
＜t ＜3)，(√2)2m =(√33)3n =t ， 2m =log √2t ，3n =log √3
2t ，√2=√86，√33=√96＞√86
=√2＞1， 所以2m ＞3n ，52
＜t ＜3，则m ＝log 2t ＜log 23，2m ＜2log 23， ∵27＞34，所以7＞4log 23，log 23＜74，
即2m＜7
2
，n=log3t＞log352，3n＞3log352=log31258＞log39=2，
所以2m∈(2，7
2
)，3n∈(2，72)，
∵u＝﹣2x2+4x﹣20在(2，72)上是增函数，又y=log1
2
u在u＞0时是减函数，
∴f（x）在(2，7
2
)上是减函数，
∴f（2m）＜f（3n）．
22．（12分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）．
（1）若f（x）为偶函数，求函数g(x)=lg[f(x−π
6
)+
1
2
]的定义域；
（2）若f（x）过点(π
6
，1)，设h（x）＝cos2x+2a sin x，若对任意的x1∈[−π
2
，π
2
]，x2∈[0，π2]，都有h
（x1）＜f（x2）+3，求实数a的取值范围．
解：（1）因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，所以φ=π2，
所以f（x）＝cos2x，由f(x−π
6
)+
1
2
＞0，可得cos(2x−π
3
)＞−12，
2kπ−2π
3
＜2x−π
3
＜2kπ+2π
3
，k∈Z，
所以kπ−π
6
＜x＜kπ+π
2
，k∈Z，
所以g（x）的定义域是{x|kπ−π
6
＜x＜kπ+π
2
，k∈Z}．
（2）因为f（x）过点(π
6
，1)，所以1=sin(π
3
+φ)(0＜φ＜π)，φ=π6，φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π
6
)，又因为x2∈[0，π2]，2x2+π6∈[π6，7π6]，
所以f(x2)=sin(2x2+π
6
)∈[−
1
2
，1]，
又因为对任意的x1∈[−π
2
，π
2
]，x2∈[0，π2]，都有h（x1）＜f（x2）+3成立，
所以h（x1）max＜f（x2）min+3，ℎ(x1)max＜−1
2
+3=
5
2
，
h（x）＝cos2x+2a sin x＝﹣sin2x+2a sin x+1＝a2+1﹣（sin x﹣a）2，
因为x1∈[−π
2
，π
2
]，所以sin x1∈[﹣1，1]，
设t＝sin x1∈[﹣1，1]，
则有g（t）＝a2+1﹣（t﹣a）2图像是开口向下，对称轴为t＝a的抛物线，当a≥1时，g（t）在t∈[﹣1，1]上单调递增，所以g（t）max＝g（1）＝2a，
所以2a＜5
2
，解得a＜
5
4
，所以1≤a＜
5
4
，
当a≤﹣1时，g（t）在t∈[﹣1，1]上单调递减，
所以g（t）max＝g（﹣1）＝﹣2a，所以−2a＜−5
2
，解得a＞−
5
4
，
所以−5
4
＜a≤−1，
当﹣1＜a＜1时，g(t)max=g(a)=a2+1，所以a2+1＜52，解得−√62＜a＜√62，
所以﹣1＜a＜1，
综上所述：实数a的取值范围为(−5
4
，5
4
)．。