高中数学 第2章2.3.3等比数列的前n项和(一)配套训练

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)
一、基础过关
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．
2．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．
3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝______. 4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝______. 5．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．
6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.
7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .
8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .
二、能力提升
9．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.
10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14
，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 11．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.
12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
三、探究与拓展
13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 答案
1.13
2.510
3.－11
4.152
5.10
6.3 7．解 设{a n }的公比为q ，
由题设得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.
当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1
，
S n ＝a 11－q n 1－q ＝31－2n 1－2
＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，
S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－3n 1－3
＝3n －1. 8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 11－q
n 1－q ＝48a 11－q 2n 1－q ＝60 ①
②
②÷①得1＋q n ＝5
4，即q n ＝1
4.③
将③代入①得a 1
1－q ＝64，
所以S 3n ＝a 11－q 3
n
1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1
43＝63.
9.314 10.323(1－4－n ) 11.2n －1，n ∈N *
12．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，
由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，
∴q 3－2q 2＋q －2＝0，
即(q －2)(q 2＋1)＝0.
∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1
＝2n .
(2)b n ＝n ·2n
，
∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n
.①
2S n ＝1·22＋2·23＋3·24
＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②
①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1
. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，
2a 1＋12d ＝－10，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝－1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和为S n ，
即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1， ①
故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n
2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得
S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －1
2n －1－a n
2n
＝1－(1
2＋1
4＋…＋12n －1)－2－n
2n
＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n
2n .
所以S n ＝n
2n －1.当n ＝1时也成立．
综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和S n ＝n
2n －1.。