苏教版高中数学必修四正切函数的性质与图象限时训练

双基达标 (限时15分钟)
1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－x 的定义域为__________________________________．
答案
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈R |x ≠k π－π
4，k ∈Z
2．比较tan 7π8与tan π
16的大小_______________________________________． 解析 tan 7π8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π8，
又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2上是增函数，
而－π2<－π8<π16<π2，∴tan 7π8<tan π
16. 答案 tan 7π8<tan π
16
3．函数y ＝5tan(2x ＋1)的最小正周期为________． 答案 π2
4．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域是________． 解析 因为－π4≤x ≤π4，又因为y ＝tan x 在x ∈－π4，π
4时为增函数，所以－1≤tan x ≤1.又x ≠0，所以－1≤tan x <0或0<tan x ≤1，因而易求得1
tan x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞]
5．下列四个命题：①函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；
②函数y ＝tan(2x ＋1)的最小正周期是π；③函数y ＝tan x 的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0成中心对称．其中正确命题的
序号为________．
解析 ①错，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2＋k π，k π＋π2k ∈Z 上是增函数；②T ＝π2；③④
正确，因为y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π2，0.
答案 ③④
6．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝
tan x
1＋cos x ；(2)y ＝lg tan x ＋1tan x －1
.
解 (1)要使f (x )＝
tan x
1＋cos x
有意义，
则1＋cos x ≠0且x ≠k π＋π
2， 即x ≠(2k ＋1)π且x ≠k π＋π
2 (k ∈Z )， 故函数的定义域关于原点对称．
又f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x
1＋cos x ＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数． (2)由
tan x ＋1
tan x －1
＞0，得tan x ＞1或tan x ＜－1.
故函数的定义域为⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2 (k ∈Z )，定义域关于原
点对称．
又f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1
tan x －1
＝lg (tan x －1)(tan x ＋1)
(tan x ＋1)(tan x －1)＝0，即f (－x )＝－f (x )．
∴f (x )为奇函数．
综合提高 (限时30分钟)
7．若函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π4，则f (－1)，f (0)，f (1)按从小到大的顺序是
________．
解析 f (－1)＝tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1＋π4
f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋1＋π4＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－3π4
又－π2<1－3π4<－1＋π4<π4<π
2
且tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2上递增．∴f (1)<f (－1)<f (0)
答案 f (1)<f (－1)<f (0)
8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12的值是________． 解析 由题意知T ＝π
4，∴ω＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π12＝tan 4×π12＝tan π3＝ 3. 答案
3
9．函数y ＝lg []3－(3－1)tan x －tan 2x ＋9－x 2的定义域为________． 解析 由题意得⎩⎨⎧
(tan x ＋3)(tan x －1)<0，
9－x 2
≥0， 即⎩⎨⎧
－3<tan x <1，－3≤x ≤3.
由正切函数图象得不等式－3<tan x <1的解为 k π－π3<x <k π＋π
4(k ∈Z )．
故所求的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－34π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤
23π，3.
答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－34π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π4∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤
23π，3 10．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3π2内的图象是
________．(只填相应序号)
解析 当π
2<x <π时，tan x <0<sin x ，∴y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0，当
π<x <3π
2时，tan x >0>sin x ，
∴y ＝2sin x . 答案 ④
11．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x －π3≠k π＋π2，得x ≠k π3＋5π
18，
∴所求定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ∈R ，且x ≠k π3＋5π
18，k ∈Z
. 值域为R ，周期T ＝π
3，是非奇非偶函数． 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π3－π18，k π3＋5π18(k ∈Z ) 上是增函数．
12．比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小．
解 由正切函数的周期性可知，tan 4＝tan(4－π)、tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)．
∵0<4－π<1<π2，－π
2<2－π<3<π<0.
∴0<tan(4－π)<tan 1，tan (2－π)<tan(3－π)<0， 故tan(2－π)<tan(3－π)<0<tan(4－π)<tan 1. 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1.
13．(创新拓展)作出下列函数的图象，并指出其周期，奇偶性及单调区间．
(1)y ＝tan|x |；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)∵y ＝tan|x |
＝⎩⎪⎨⎪⎧
tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ≠k π＋π2，x ≥0，k ∈Z －tan x
⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ≠k π＋π2，x <0，k ∈Z ，
∴当x ≥0时，函数y ＝tan|x |在y 轴右侧的图象即为y ＝tan x 的图象不变；当x <0时，y ＝tan|x |在y 轴左侧的图象为y ＝tan x 在y 轴右侧的图象关于y 轴对称的图象．如下图所示．
由图象知：函数y ＝tan|x |是非周期函数，是偶函数．
单调增区间为：⎣⎢⎡
⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋32π(k ＝0,1,2，…)单调减区间为：
⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k π－32π，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)． (2)∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
k π≤x <k π＋π2，k ∈Z －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π－π2<x <k π，k ∈Z
类似(1)可作出其图象，如下图所示．
由图象知：T ＝π，是偶函数． 单调递增区间：⎝ ⎛
⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，
单调递减区间：⎝ ⎛⎦
⎥⎤
－π2＋k π，k π(k ∈Z ).。