苏科版八下第十章《分式》特优生拓展训练(四)(有答案)

≠ 5，因为
= 5 时 = 2 是原分式方程的増根．
所以符合条件的所有整数 m 的和是 2 + 3 + 4 + 6 = 15．
6. C
方程两边都乘以 ( − 3)得：(2 + ) − ( − 3) = 2( − 3)， 即(2 + 1) =− 6， 分两种情况考虑：
① ∵当 2 + 1 = 0 时，此方程无解， ∴此时 =− 0.5，
不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
答案和解析
1. C
解：分式
1 +
，
1 2−
2，
1 −
的分母分别是
+
、 2−
2=(
+
)(
−
)、
−
，故最
简公分母是 2 − 2．
2. C
【解析】解：2 +
2
中的
a
和
b
都扩大了
2
倍，得
4 +2 2×2 ⋅2
=
1 2
⋅
2 2
+
，
3. D
(2)利用上述结论求方程
+
2=
−1
+ −21的解．(写出过程)
21. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个
分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①
2−+11，②
−2 2−
2，③
+ 2−
2，④
2− +
2
2，其中是和谐分式的是
_______(填写序号即可)；
(2)若 a 为正整数，且 2+−1+4为和谐分式，请写出 a 的值：
− 1 = 2无解，则 m 的值为(
)
A. −1.5
B. 1
C. −0.5 或−1.5
D. −1.5 或 2
7.
若数
a
使关于
x
的分式方程
2 −1
+
1−
= 4 的解为正数，且使关于 y 的不等式组
+2 − > 1,
32
的解集为
<− 2，则符合条件的所有整数 a 的和为(
)．
2( − ) ≤ 0
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
二、填空题
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
8. 现有一列数： 1, 2, 3, 4, ⋯, −1, ( 为正整数)，规定 1 = 2, 2 − 1 = 4, 3 −
2 = 6, ⋯, − −1 = 2
≥2
，则
4
=________.若 1 2
7. A
解：分式方程
2 −1
+
1−
= 4 的解为
=
6− 4
且
≠ 1，
∵关于
x
的分式方程
2 −1
+
1−
= 4 的解为正数，
∴
6− 4
>
0
且6−
4
≠ 1，
∴ < 6 且 ≠ 2．
+2 3
−
2
>
1①
，
2( − ) ≤ 0②
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
②
∵关于
x
的分式方程2
+ −3
− 1 = 2无解，
∴ = 0 或 − 3 = 0， 即 = 0， = 3， 当 = 0 时，代入①得：(2 + 0) × 0 − 0 × (0 − 3) = 2(0 − 3)， 解得：此方程无解；
当 = 3 时，代入①得：(2 + 3) × 3 − 3(3 − 3) = 2(3 − 3)， 解得： =− 1.5， ∴ 的值是−0.5 或−1.5，
解 ：若 = 20,
=
10，得
+ +
=
+1 1+
=
20+1 1+110
=
210 11
.故求解．
∵ = 20, = 10，
∴得
+ +
=
+1 1+
=
20+1 1+110
=
210．
11
4. B
解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 x 秒．
由题意，有200
10
=
150，
解得 = 7.5． 经检验， = 7.5 是原方程的解． 即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 7.5 秒．
5. B
解：原不等式组的解集为−
7 2
<
≤
−2，
5
因为不等式组有且仅有四个整数解，
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所以 0 ≤
−2 5
<
1，
解得 2 ≤ < 7．
原分式方程的解为
=
8，
−1
因为分式方程有非负数解，
所以
8 −1
≥
0，解得
> 1，且
2 / 15
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(2)如果两车同向而行，慢车的速度不小于 8 米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从 快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多 少秒？
17. 阅读下面的材料，并解答问题．
材料：将分式− −4−2+21+3拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．解： 由分母为− 2 + 1，可设− 4 − 2 + 3 = − 2 + 1 2 + + ， 则− 4 − 2 + 3 = − 2 + 1 2 + + =− 4 − 2 + 2 + + =− 4 − − 1 2 + + ． ∵对于任意的 x，上述等式均成立，
20. 阅读下列材料：关于 x 的方程 + 1 = + 1的解是： 1 = ， 2 = 1 .如： − 2 = − 2 (即 + −2 = + −2 )的解是 1 = ， 2 =− 2．
(1)请观察上面方程以及方程解的特征，写出方程 + = + ( ≠ 0)的解，并利 用“方程的解”的定义进行验证．
12.
已知
2
+
1 4
2=4
− 3 − 13，则 1 − 1的值等于______．
13.
若
1 = 1 − 1，
2 = 1 − 11，
3
=
1
−
1
2
…则
2019的值为______ (用含 m 的式子表
示)， 2020的值为______ (用含 m 的式子表示)．
14. 如果 a，b，c 是正数，且满足 +
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
证明：令 = 2 + ， = 2 + ，其中 > 0， > 0 作差得 + − = (2 + ) + (2 + ) − (2 + )(2 + ) =− ∵ > 0， > 0，∴− < 0，− < 0，− < 0 ∴− − − < 0，∴ + − < 0 所以 + < 根据上述材料，解决下列问题：
10.
若关于
x
的方程
−1 −2
=
−2 + 2 产生增根，那么 m 的值是______ ．
11. 有一个分式，三位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为 0；乙： 当分式有意义时，x 的取值范围是 ≠± 1；丙：当 =− 2 时，分式的值为 1.请你写 出满足上述全部特点的一个分式：__________．
大的单位分数，分别设为 1
+
,
1 +
，即= 1 =
1 +
+
1 +
其中
m，n
正整数，并且小壮
发现了 m，n 于 a 的关系(即用 m，n 表示 )，并进行了严格证明．
请问小壮发现的 m，n 与 a 的关系(即用 m，n 表示 )，请你尝试证明此关系． 4 / 15
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如：5
6
=
1 2
+
1 3
,
8 15
=
1 3
+
1 5
,
11 28
=
1 4
+
17，…
(1)把1310写成两个单位分数之和______．
(2)研究真分数11 ( 是正整数)，由上知，对于某些 a 的值，它可以写成两个单位分
数之和，你还能找到多少个 a 是能使真分数11可以写成两个单位分数的和？请将所
有的 a 的值与出：______． (3)学习了上述知识，小壮想继续研究是否所有的单位分数者折分为两个单位分数 的和？
小壮研究单位分数1
2
：
1 2
=
1 3
+
1 6
,
1 2
=
1 4
+
1 4
小壮研究单位分数1
6
：
1 6
=
1 7
+
1 42
,
1 6
=
1 8
+
1 24
,
1 6
=
1 9
+
1 18
,
1 6
=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 10
+
1 15
,
1 6
=
1 12
+
1 12
小壮在拆分单位分数的过程中发现，单位分数1 ( 是正整数)，可拆分两个分母比 a
+
=
9，
1 +
+
1 +
+
1 +
=
10，那么
9
+
+
+
+
+
的值为______．
三、解答题
15.
先化简2
+2 −1
÷
(
+ 1) +
2−1 ，然后
2−2 +1
a
在−1、1、2
三个数中任选一个合适的数代
入求值．
16. 两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长 100 米，慢车车长 150 米，当 两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口(快车车头到达窗口某一点至车尾离开这 一点)所用的时间为 5 秒． (1)求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口(慢车车头到达窗 口某一点至车尾离开这一点)所用的时间；
+
1
3
+
1 +⋯+
4
1
=
504 ，
1009
则 n 的值为________．
9.
观察下列各式： 2
1×3
=
1 1
−
1； 2
3 2×4
=
1 2
−
1； 2
4 3×5
=
1 3
−
15；…请利用你所得结论，化简
代数式： 1 + 1 + 1 + ⋯ +
1×3 2×4 3×5
1(
( +2)
≥ 3 且 n 为整数)，其结果为______．
C. 2 − 2
D. ( − )( 2 − 2)
2.
如果把分式2 +
2
中的
a
和
b
都扩大了
2
倍，那么分式的值( )
A. 扩大 2 倍
B. 不变
C. 缩小 2 倍
D. 缩小 4 倍
3.
若
= 20,
=
10，则
+ +
的值为( )
A.
11 21
B.
21 11
C.
110 21
D.
210 11
4. 甲、乙两列火车长分别是 150 和 200 ，它们相向行驶在平行的轨道上，已知甲 车上某位乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是 10 ，那么乙车上的乘客看见甲车 在他窗口经过的时间是( )
−−
(1)已知 > 1， >− 2，求证：4 + >− ；
(2)已知 >
>
，试比较代数式 1
−
+
1 与 1 的大小．
−−
19. 阅读下列材料并回答问题： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”，单位分数又叫 埃及分数． 在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成若干个单位分数的和． 把一个真分数表示成两个(或几个)分数单位的和叫分数的拆分：
8. 20；2017
解：∵ 1 = 2， 2 − 1 = 4， 3 − 2 = 6，. . .， − −1 = 2 ， ∴ 2 = 1 + 4 = 6 = 2 3， 3 = 12 = 3 4， 4 = 3 + 6 = 20 = 4 5， 由此得出 = ( + 1)
(3)在化简
42 2−
3
−
÷
时，
4
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式 =
42 2−
3
−
×4=
42 2−
3
−
4
2
=4
2
2−4 2−
3
2−
2
3
；
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不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
小强：原式 =
42 2−
3
−
×4=
42 2−
−
4
2
=
4
2−4 −
解不等式①得： <− 2；
解不等式②得： ≤ ．
∵关于 y 的不等式组
+2 − > 1
32
的解集为
2( − ) ≤ 0
∴ ≥− 2．
<− 2，
∴− 2 ≤ < 6 且 ≠ 2．
∵ 为整数，
∴ =− 2、−1、0、1、3、4、5，
( − 2) + ( − 1) + 0 + 1 + 3 + 4 + 5 = 10．
不要因为长期埋头科学，而失去对生活、对美、对待诗意的感受能力。—— 达尔文
八下第十章《分式》特优生拓展训练（四）
一、选择题
班级：___________姓名：___________ 得分：___________
1.
分式
1 +
，
1 2−
2，
1 −
的最简公分母是( )
A. ( + )( 2 − 2) B. ( 2 − 2)2
−
2
．