第五章 桩基础的计算与分析
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T
I11 I 21 Is I n1 I b1
I12 I 22 In2 Ib 2
I1n I 2n I nn I bn
db I1b d db I 2b d db I nb d db I bb d n 1 n 1
众所周知，桩的静再试验既费工又昂贵，因而近年来有人通过 桩、土间传递函数的研究来分析和估算桩的承载力，以减少桩 的静载试验工作量。文献[11]介绍华南地区在试桩时，通过预 埋在桩内的电测元件，测定桩身各量测截面的应变，从而算出 桩侧摩阻力、桩尖阻力随位移变化的关系。实测到的荷载传递 曲线可近似地用双曲线方程来描述，但为实用起见，可将 s 曲线简化为弹性-全塑模型，桩尖 Ps sb曲线则简化为弹性-硬化模 型（如图5.6），并用 , su , K1, K2 , sbu 五个参数来表示。按该模型 计算求得的桩顶处的P—s曲线与实测的试桩结果较好吻合。
图11.1所示。这些非线性弹簧表示桩侧摩阻力（或桩尖阻力） 与剪切位移（或桩尖位移）之间的关系，通常统称为荷载传递 函数或t-s曲线。 在桩上取一单元体，由单元体的静力平衡条件可得：
Q
单元n
Pn 1
n
Pn
L
Pi 1
Sn Sn
l / 2 l / 2
Si
Pi
Pi 1
Pb Pn
Pz
P b
5.4
其中 f max m 2cm （粘土）
f max K V tg
（砂土）
式中
土或砂土中，=0.51~0.97cm； —桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； m —地表至桩尖范围内土的竖向有效应力的平均值； cm —桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； K —土的侧压力系数； V —土的竖向有效应力； —桩间土的摩擦角
5.3
2s U z 2 z AE p
式（11.3）式传递函数法的基本微分方程，桩身的竖向位移 s的求解取决于桩土之间的传递函数 z s 曲线（即 t z曲线）。 Vijayvergiya(1977)对桩测、桩底分别提出相应的传递函数表 达式：
z z f f max 2 z z cs cs
第五章 桩基础的计算与分析
5.1
概述（略）
5.2 竖直荷载下桩基础的受力分析 5.2.1 竖向荷载下单桩受力的性状 在实际工程中，桩基通常是由一群桩所组成。而群桩分析的理 论很大程度取决于单桩的受力分析。因而许多学者对单桩工作 机理进行了研究，并提出许多预估的方法。目前，大体上可归 纳为四种方法，即：荷载传递法；弹性理论法；剪切位移法； 有限单元法。 1.荷载传递法 荷载传递法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后， Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、 Holloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相继在此基础上有 所发展。这些方法的基本概念是把桩视作由许多弹性单位组成， 每一单元与土体之间（包括桩尖）都用非线性弹簧联系，如
5.13 5.14
式中 Iib , Ibj , Ibb — 分别为竖向位移影响系数。
这样，土的位移方程可方便地写出： d ' S E I s p 5.15 s 式中 S ' — 土的位移矢量， p —桩周阻力（包括桩侧和桩底）的列向量，
p 1 2 n pb I s —土的竖向位移柔度矩阵，即
文献[5]根据上海和我国沿海软土地区大量试桩与精力触探的对 5 q 10 Pa 与软土地区各类土的 f max（最 比资料，发现触探探头阻力 c qmax 大桩侧摩阻力）、 （最大桩尖阻力）有较好的关系；
f max qc / 20 f max f max
（淤泥质粘土、亚粘土） 5.8 （轻亚粘土、粉砂） qc / 50 f max 100kPa 0.25 0.025qc f max 100 kPa （软塑、硬塑的粘土、亚粘土）
K2
su
K1
s mm
图5.6 荷载传递的双折线表示
sbu
sb mm
2000
0
10 20 30 40 50 60
P(kN) 1000 2000
计算值
0
1000
实测值
Ⅰ 5.64 Ⅱ 2.16 Ⅲ 7.76 Ⅳ 14.00 Ⅴ 20.70
kN
图5.7 桩的实测与计算的P-s曲线（a）
桩轴向力实测值分布图（b）
由于传递函数呈非线性特性，可用迭代法计算式（5.7），其 步骤如下： 1）根据已知的传递函数曲线，假设各结点的初始刚度 tgi 0 和 tg 0（即假定各结点初始位移S0 ） 2)按式（11.7）算出相应的位移 S1 ； 3)若S1 与 S0 的差值超过容许值，则根据 S1 和R ;从 图5.4求出 tgi 1 和tg 1 ，并代入式（5.7）算出第二次迭代 S2 ； 计算所得的位移 4)重复上述计算过程，直 到前后两次计算所得位移的差值小于 S 容许误差为止； 5)将最后求得的位移值 ，代入式（5.6）后，可求出各结 点处的轴力P 和摩阻力 . 从上述计算可见，荷载传递法分析单桩的性状，其关键在于正 确确定荷载的传递曲线。
KP S Q R
5.6
式中
R —土作用在桩段结点上的集中摩阻力（kg或t）列
向量，其值为
d l1 1 l2 2 ln n d 4d
2 b
pb
T
(参见图5.4)也可写成
tg1s1 tg 2 s2 tg n sn
5.9 qmax qcb1 qcb2 / 2 式中 qc —触探探头阻力，以 105 Pa 表示； qcb1— 桩尖以上（3.75~8.0）d范围内探头阻力的平 均值105 Pa ； qcb 2 —桩尖以下（1.0~2.75）d范围内探头阻力的平 5 10 Pa 。而传递系数建议用抛物线方程表示， 均值 即； f f max z / zc 5.10
tg sb
T
d , db —分别为桩身、桩底直径； KP — 桩的总刚度矩阵； T S —桩身各结点位移列向量,其值为 s1 s2 sn sb Q —外荷载列向量 Q 0 0 0
T
上式也可写成：
K
p
K s S Q
z —桩单元的位移 f —位移为z时，桩侧的摩阻力； zcs —桩侧摩阻力达到时的桩单元的临界位移值；在粘
桩尖传递函数，如图11.2（c）所示。
式中
q —位移为s时，桩尖的阻力； zcb —桩尖阻力达到 qmax 时的临界位移值， z 0.04 0.06B
cb
z—桩尖位移值；
q qmax z / zcb
（2）桩身位移方程（按图5.8c建立） 把桩身的微分方程式（5.3）改写成为：
AE p 2 s d E p 2 s z 2 2 U z 4 z
5.16 5.17
并用有限差分法形式，写出点2到n-1的表达式，即
d E p si 1 2si si 1 i i 2,3,, n 1 2 4 l
Q
d
d
1
l L/n
l L/n
单元n
L
单元n
i
i
j
j
pb
a
db
b
图5.8 弹性理论法的计算图式
pb
l1 l2 li ln1 ln
c
（1）土的位移方程（按图5.8b建立） 由 j 单元处的摩阻力 j 对桩端点 i 所引起的竖向位移 sij 为：
Pz
dz
PZ dz z
荷载传递法的计算图式
2 --桩侧壁摩阻力。考虑到单元的弹性 式中U --桩截面周长， 应变量随深度z值得增加而减小，于是有
s Pz AEP z
对式（11.2）求导，并与式（11.1）联合，则有
t z
Pz U z z
5.1
5.2
4Q l s1 2 d Ep
5.18
同理，利用非等间距的差分公式以及使用高阶级数的差分展 开式，于是点n和桩底（b点）的差分表达式：
n
d EP 0.2sn 2 2sn 1 5sn 3.2sn 2 4l Ep pb 1.33sn1 12sn 10.67 sb 4l
q qmax z / zcb
5.11
式中其它符号与式（5.4）、（5.5）说明相同。通过与软土 地区16根（桩长18~27m）实测试桩资料进行对比，结果说 明用建议的传递函数计算所得的桩顶P-s曲线与实测值较为接 近。
2.弹性理论法 弹性理论法的基本假定是，桩被插入在一个理想均质的各项同 性的弹性半空间体内，其弹性模量 Es 和泊松比 v ，不是因桩 的存在而变化；桩的周围粗糙而桩底平滑。由于桩与土之间保 持弹性接触，因此具有桩身位移等于毗邻土位移的相容条件。 在计算中，认为桩与土的径向变形甚小，可不计，只考虑桩在 竖向荷载下的竖向变形。 把受荷的桩以及桩周围的土分成若干小段，现分布取桩周围的 土体（图5.8b）、桩身（图5.8c）作为分离体进行分析。 Q
s0 ，为 对于桩段点1，写出差分表达式时，会引入虚结点位移 2 d s0 s / z Q / E 此，要利用桩顶处应变的边界条件 p ，于是 4 的表达式
s0
把上式代入式（5.17），消去 s0 ，则点1的差分表达式为
1
dEP Q s s 1 2 4l 2 dl
2 ' 式中 Iij —单元j处单位摩阻力 j 1kN / m 1kPa 对桩段 i 点 所产生的竖向位移量，或称为竖向位移影响系数，
d sij I j I ij j Es
' ij
5.12
于是所有n个单元的桩侧、桩底阻力对i点所产生的位移：
db d n si I ij j I ib pb Es j 1 d 同理，可写出所有单元对桩底所产生的位移量为： db d n sb I bj j I bb pb Es j 1 d
1/ b
5.5
qmax
B为桩径或宽度 —桩尖最大阻力，可按下式计算：
qmax N c c qmax N q V
式中
（粘土） （砂土）
Nc , Nq —分别为承载力系数； c — 桩。
一旦桩土间的传递函数确定后，就可求得在竖向荷载下桩侧摩 阻力，桩身轴力分布以及桩身各截面处的位移。求解方法通常 采用变形协调法和矩阵位移法。 （1）变形协调法 该法是在离散成许多单元的桩的底部，假设有某一位移值，然 后根据桩身的轴向变形与桩侧土变形相协调的关系，可逐段地 向上递推而求出桩段各点（包括桩顶）处的相应轴力、桩侧压 力。若桩底假设不同的位移值，于是就可获得一组相应的轴力、 位移以及桩侧和桩底的阻力。 2）矩阵位移法 矩阵位移法实质上是杆件系统的有限单元法。对已经离散了的 每个桩单元（图5.3），可建立轴力之间的关系。 若桩顶上作用一个竖向力Q，桩段划分的长度不一，分别以 l1 , l2 , 示之，则对整根桩可写出分段点的力和位移方程组：
5.7
式中 Ks —土的刚度矩阵 ，即由 tg i 和 tg 组成的对角矩阵。
Q
l1
l2 l3 l4 l5
1 2
1
2
3
3
4
Pi i
li / 2
li 1 / 2
4
Pj
5 5
pb
j
图5.3 单桩矩阵位移法的计算图式
S
位移
S
位移
S
位移
S
位移
图5.4 桩侧摩阻力、桩尖阻力与位移的关系曲线
I11 I 21 Is I n1 I b1
I12 I 22 In2 Ib 2
I1n I 2n I nn I bn
db I1b d db I 2b d db I nb d db I bb d n 1 n 1
众所周知，桩的静再试验既费工又昂贵，因而近年来有人通过 桩、土间传递函数的研究来分析和估算桩的承载力，以减少桩 的静载试验工作量。文献[11]介绍华南地区在试桩时，通过预 埋在桩内的电测元件，测定桩身各量测截面的应变，从而算出 桩侧摩阻力、桩尖阻力随位移变化的关系。实测到的荷载传递 曲线可近似地用双曲线方程来描述，但为实用起见，可将 s 曲线简化为弹性-全塑模型，桩尖 Ps sb曲线则简化为弹性-硬化模 型（如图5.6），并用 , su , K1, K2 , sbu 五个参数来表示。按该模型 计算求得的桩顶处的P—s曲线与实测的试桩结果较好吻合。
图11.1所示。这些非线性弹簧表示桩侧摩阻力（或桩尖阻力） 与剪切位移（或桩尖位移）之间的关系，通常统称为荷载传递 函数或t-s曲线。 在桩上取一单元体，由单元体的静力平衡条件可得：
Q
单元n
Pn 1
n
Pn
L
Pi 1
Sn Sn
l / 2 l / 2
Si
Pi
Pi 1
Pb Pn
Pz
P b
5.4
其中 f max m 2cm （粘土）
f max K V tg
（砂土）
式中
土或砂土中，=0.51~0.97cm； —桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； m —地表至桩尖范围内土的竖向有效应力的平均值； cm —桩身范围内土的不排水抗剪强度平均值； K —土的侧压力系数； V —土的竖向有效应力； —桩间土的摩擦角
5.3
2s U z 2 z AE p
式（11.3）式传递函数法的基本微分方程，桩身的竖向位移 s的求解取决于桩土之间的传递函数 z s 曲线（即 t z曲线）。 Vijayvergiya(1977)对桩测、桩底分别提出相应的传递函数表 达式：
z z f f max 2 z z cs cs
第五章 桩基础的计算与分析
5.1
概述（略）
5.2 竖直荷载下桩基础的受力分析 5.2.1 竖向荷载下单桩受力的性状 在实际工程中，桩基通常是由一群桩所组成。而群桩分析的理 论很大程度取决于单桩的受力分析。因而许多学者对单桩工作 机理进行了研究，并提出许多预估的方法。目前，大体上可归 纳为四种方法，即：荷载传递法；弹性理论法；剪切位移法； 有限单元法。 1.荷载传递法 荷载传递法首先是由Seed和Reese在1995年提出。此后， Kezdl(1957)、佐藤悟（1965），Coyle和Reese（1966）、 Holloway(1975)以及Vijayvergiya(1977)等相继在此基础上有 所发展。这些方法的基本概念是把桩视作由许多弹性单位组成， 每一单元与土体之间（包括桩尖）都用非线性弹簧联系，如
5.13 5.14
式中 Iib , Ibj , Ibb — 分别为竖向位移影响系数。
这样，土的位移方程可方便地写出： d ' S E I s p 5.15 s 式中 S ' — 土的位移矢量， p —桩周阻力（包括桩侧和桩底）的列向量，
p 1 2 n pb I s —土的竖向位移柔度矩阵，即
文献[5]根据上海和我国沿海软土地区大量试桩与精力触探的对 5 q 10 Pa 与软土地区各类土的 f max（最 比资料，发现触探探头阻力 c qmax 大桩侧摩阻力）、 （最大桩尖阻力）有较好的关系；
f max qc / 20 f max f max
（淤泥质粘土、亚粘土） 5.8 （轻亚粘土、粉砂） qc / 50 f max 100kPa 0.25 0.025qc f max 100 kPa （软塑、硬塑的粘土、亚粘土）
K2
su
K1
s mm
图5.6 荷载传递的双折线表示
sbu
sb mm
2000
0
10 20 30 40 50 60
P(kN) 1000 2000
计算值
0
1000
实测值
Ⅰ 5.64 Ⅱ 2.16 Ⅲ 7.76 Ⅳ 14.00 Ⅴ 20.70
kN
图5.7 桩的实测与计算的P-s曲线（a）
桩轴向力实测值分布图（b）
由于传递函数呈非线性特性，可用迭代法计算式（5.7），其 步骤如下： 1）根据已知的传递函数曲线，假设各结点的初始刚度 tgi 0 和 tg 0（即假定各结点初始位移S0 ） 2)按式（11.7）算出相应的位移 S1 ； 3)若S1 与 S0 的差值超过容许值，则根据 S1 和R ;从 图5.4求出 tgi 1 和tg 1 ，并代入式（5.7）算出第二次迭代 S2 ； 计算所得的位移 4)重复上述计算过程，直 到前后两次计算所得位移的差值小于 S 容许误差为止； 5)将最后求得的位移值 ，代入式（5.6）后，可求出各结 点处的轴力P 和摩阻力 . 从上述计算可见，荷载传递法分析单桩的性状，其关键在于正 确确定荷载的传递曲线。
KP S Q R
5.6
式中
R —土作用在桩段结点上的集中摩阻力（kg或t）列
向量，其值为
d l1 1 l2 2 ln n d 4d
2 b
pb
T
(参见图5.4)也可写成
tg1s1 tg 2 s2 tg n sn
5.9 qmax qcb1 qcb2 / 2 式中 qc —触探探头阻力，以 105 Pa 表示； qcb1— 桩尖以上（3.75~8.0）d范围内探头阻力的平 均值105 Pa ； qcb 2 —桩尖以下（1.0~2.75）d范围内探头阻力的平 5 10 Pa 。而传递系数建议用抛物线方程表示， 均值 即； f f max z / zc 5.10
tg sb
T
d , db —分别为桩身、桩底直径； KP — 桩的总刚度矩阵； T S —桩身各结点位移列向量,其值为 s1 s2 sn sb Q —外荷载列向量 Q 0 0 0
T
上式也可写成：
K
p
K s S Q
z —桩单元的位移 f —位移为z时，桩侧的摩阻力； zcs —桩侧摩阻力达到时的桩单元的临界位移值；在粘
桩尖传递函数，如图11.2（c）所示。
式中
q —位移为s时，桩尖的阻力； zcb —桩尖阻力达到 qmax 时的临界位移值， z 0.04 0.06B
cb
z—桩尖位移值；
q qmax z / zcb
（2）桩身位移方程（按图5.8c建立） 把桩身的微分方程式（5.3）改写成为：
AE p 2 s d E p 2 s z 2 2 U z 4 z
5.16 5.17
并用有限差分法形式，写出点2到n-1的表达式，即
d E p si 1 2si si 1 i i 2,3,, n 1 2 4 l
Q
d
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1
l L/n
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单元n
L
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i
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pb
a
db
b
图5.8 弹性理论法的计算图式
pb
l1 l2 li ln1 ln
c
（1）土的位移方程（按图5.8b建立） 由 j 单元处的摩阻力 j 对桩端点 i 所引起的竖向位移 sij 为：
Pz
dz
PZ dz z
荷载传递法的计算图式
2 --桩侧壁摩阻力。考虑到单元的弹性 式中U --桩截面周长， 应变量随深度z值得增加而减小，于是有
s Pz AEP z
对式（11.2）求导，并与式（11.1）联合，则有
t z
Pz U z z
5.1
5.2
4Q l s1 2 d Ep
5.18
同理，利用非等间距的差分公式以及使用高阶级数的差分展 开式，于是点n和桩底（b点）的差分表达式：
n
d EP 0.2sn 2 2sn 1 5sn 3.2sn 2 4l Ep pb 1.33sn1 12sn 10.67 sb 4l
q qmax z / zcb
5.11
式中其它符号与式（5.4）、（5.5）说明相同。通过与软土 地区16根（桩长18~27m）实测试桩资料进行对比，结果说 明用建议的传递函数计算所得的桩顶P-s曲线与实测值较为接 近。
2.弹性理论法 弹性理论法的基本假定是，桩被插入在一个理想均质的各项同 性的弹性半空间体内，其弹性模量 Es 和泊松比 v ，不是因桩 的存在而变化；桩的周围粗糙而桩底平滑。由于桩与土之间保 持弹性接触，因此具有桩身位移等于毗邻土位移的相容条件。 在计算中，认为桩与土的径向变形甚小，可不计，只考虑桩在 竖向荷载下的竖向变形。 把受荷的桩以及桩周围的土分成若干小段，现分布取桩周围的 土体（图5.8b）、桩身（图5.8c）作为分离体进行分析。 Q
s0 ，为 对于桩段点1，写出差分表达式时，会引入虚结点位移 2 d s0 s / z Q / E 此，要利用桩顶处应变的边界条件 p ，于是 4 的表达式
s0
把上式代入式（5.17），消去 s0 ，则点1的差分表达式为
1
dEP Q s s 1 2 4l 2 dl
2 ' 式中 Iij —单元j处单位摩阻力 j 1kN / m 1kPa 对桩段 i 点 所产生的竖向位移量，或称为竖向位移影响系数，
d sij I j I ij j Es
' ij
5.12
于是所有n个单元的桩侧、桩底阻力对i点所产生的位移：
db d n si I ij j I ib pb Es j 1 d 同理，可写出所有单元对桩底所产生的位移量为： db d n sb I bj j I bb pb Es j 1 d
1/ b
5.5
qmax
B为桩径或宽度 —桩尖最大阻力，可按下式计算：
qmax N c c qmax N q V
式中
（粘土） （砂土）
Nc , Nq —分别为承载力系数； c — 桩。
一旦桩土间的传递函数确定后，就可求得在竖向荷载下桩侧摩 阻力，桩身轴力分布以及桩身各截面处的位移。求解方法通常 采用变形协调法和矩阵位移法。 （1）变形协调法 该法是在离散成许多单元的桩的底部，假设有某一位移值，然 后根据桩身的轴向变形与桩侧土变形相协调的关系，可逐段地 向上递推而求出桩段各点（包括桩顶）处的相应轴力、桩侧压 力。若桩底假设不同的位移值，于是就可获得一组相应的轴力、 位移以及桩侧和桩底的阻力。 2）矩阵位移法 矩阵位移法实质上是杆件系统的有限单元法。对已经离散了的 每个桩单元（图5.3），可建立轴力之间的关系。 若桩顶上作用一个竖向力Q，桩段划分的长度不一，分别以 l1 , l2 , 示之，则对整根桩可写出分段点的力和位移方程组：
5.7
式中 Ks —土的刚度矩阵 ，即由 tg i 和 tg 组成的对角矩阵。
Q
l1
l2 l3 l4 l5
1 2
1
2
3
3
4
Pi i
li / 2
li 1 / 2
4
Pj
5 5
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图5.3 单桩矩阵位移法的计算图式
S
位移
S
位移
S
位移
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位移
图5.4 桩侧摩阻力、桩尖阻力与位移的关系曲线