广东高三高中数学期末考试带答案解析

广东高三高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若复数z 满足z （1+i ）=3+i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2+i B ．2﹣i C ．﹣2+i
D ．﹣2﹣i
2.已知全集U=R ，集合A={x|log 2（x ﹣2）＜2}，∁U B=（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∩B=（ ） A ．（4，6] B ．[1，6） C ．（2，4] D ．（2，4）
3.已知命题p ：∃m ∈R ，使得函数f （x ）=x 2+（m ﹣1）x 2﹣2是奇函数，命题q ：向量=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则“=
”是：“
”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q
B ．（￢p ）∧q
C ．p ∧（￢q ）
D ．（￢p ）∧（￢q ）
4.网上大型汽车销售点销售某品牌A 型汽车，在2015双十一期间，进行了降价促销，改型汽车的价格与月销量之间有如下关系：
已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线先回归方程：=x+80，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ）
A ．39
B ．42
C ．45
D ．50
5.已知圆（x ﹣m ）2+y 2=4上存在两点关于直线x ﹣y ﹣2=0对称，若离心率为的双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）
的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（ ） A ．1 B ． C ．2
D ．4
6.已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．6
D ．10
7.已知点P （t ，
）为锐角φ终边上的一点，且cosφ=，若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线
y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f （x ）的一条对称轴为（ ） A ．x=
B ．x=
C ．x=
D ．x=
8.在△ABC 中，||=|
+
|，|
|=4，|
|=3，若
=2
，则•
的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣8
9.已知各项为正的数列{a n }的前n 项的乘积为T n ，点（T n ，n 2﹣15n ）在函数y=x 的图象上，则数列{log 2a n }的
前10项和为（ ） A ．﹣140
B ．50
C ．124
D ．156
10.执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（ ）
A ．n ＞6？
B ．n ＞7？
C ．n ＞8？
D ．n ＞9？
11.设抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF|的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A （4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（ ） A ．4+
B ．7
C ．4+2
D ．10
12.如图，某时刻点P 与坐标原点O 重合，将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴正方向滚动，设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y=f （x ），对任意的t ∈[1，2]，函数g （x ）=x 3+x 2[﹣
+f （4）+]在区间（t ，3）上不是单调
函数，则m 的取值范围为（ ）
A ．（﹣
，﹣9）
B ．（﹣∞，﹣
）
C ．（﹣
，﹣5）
D ．（﹣9，﹣5）
二、填空题
1.如图，等腰直角三角形ABC ，|AB|=，AC ∥L ，三角形ABC 绕直线L 旋转一周，得到的几何体的体积
为 ．
2.已知函数f （x ）=，若f （8﹣m 2）＜f （2m ），则实数m 的取值范围是 ．
3.已知实数x ，y 满足，则Z=y ﹣（）x 的取值范围为 ．
4.已知各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=30，过点P （n ，log 2a n ）和Q （n+2，log 2a n+1）（n ∈N *）的直线的斜率为1，设b n =
，则数列{b n }的前n 项和T n = ．
三、解答题
1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设=（a ，），=（cosC ，c ），且•=b ．
（Ⅰ）若sin （A+θ）=，求cos （
﹣θ）的值；
（Ⅱ）若b=4，a=2，求△ABC 的面积．
2.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，PA=AB=1，PA ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点，
PD ∥平面ACE ，过E 作PC 的垂线，垂足为F ．
（Ⅰ）求证：PC ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求三棱锥P ﹣AEF 的体积．
3.某品牌汽车4S 点，对该品牌旗下的A 型、B 型、C 型汽车进行维修保养调查，汽车4S 店记录了该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访． （Ⅰ）求A 型，B 型，C 型各车型汽车的数目；
（Ⅱ）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率； （Ⅲ）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”“打分的方式表示4S 店的满意度，按照大于等于80优秀，小于80合格，得到如下列联表
问：能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S 店满意度调查于性别有关？请说明原因．
附
K 2=．
4.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，已知点A （0，﹣2）与椭圆右顶点关
于直线y=﹣x 对称，且直线AF 的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若点C ，D （C 在第一象限）都在椭圆Γ上，点B 为椭圆Γ的右顶点，满足=λ，且•=0，求实数λ
的值．
5.设函数f （x ）=
++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自
然对数的底数） （Ⅰ）求a ，b ；
（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围．
6.如图，已知圆O 的内接四边形BCED ，BC 为圆O 的直径，BC=2，延长CB ，ED 交于A 点，使得∠DOB=∠ECA ，过A 作圆O 的切线，切点为P ，
（1）求证：BD=DE ； （2）若∠ECA=45°，求AP 2的值．
7.（2015秋•东莞市期末）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是
（θ为参数），曲线C 与l 的交点的极坐标为（2，
）和（2，
），
（1）求直线l 的普通方程；
（2）设P 点为曲线C 上的任意一点，求P 点到直线l 的距离的最大值．
8.（2015秋•东莞市期末）已知函数f （x ）=m ﹣|2x+1|﹣|2x ﹣3|，若∃x 0∈R ，不等式f （x 0）≥0成立， （1）求实数m 的取值范围；
（2）若x+2y ﹣m=6，是否存在x ，y ，使得x 2+y 2=19成立，若存在，求出x ，y 值，若不存在，请说明理由．
广东高三高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.若复数z 满足z （1+i ）=3+i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2+i B ．2﹣i C ．﹣2+i
D ．﹣2﹣i
【答案】A
【解析】把已知的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由z （1+i ）=3+i ，得
，
∴， 故选：A ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
2.已知全集U=R ，集合A={x|log 2（x ﹣2）＜2}，∁U B=（﹣∞，1）∪[4，+∞），则A∩B=（ ） A ．（4，6] B ．[1，6） C ．（2，4] D ．（2，4）
【答案】D
【解析】先根据对数函数的性质求出集合A ，由全集U=R 及B 的补集确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 解：∵A={x|log 2（x ﹣2）＜2}=（2，6）， 全集U=R ，∁U B=（﹣∞，1）∪[4，+∞）， ∴B=[1，4），
∴A∩B=（2，4）， 故选：D ．
【考点】交集及其运算．
3.已知命题p ：∃m ∈R ，使得函数f （x ）=x 2+（m ﹣1）x 2﹣2是奇函数，命题q ：向量=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），则“=
”是：“
”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧q
B ．（￢p ）∧q
C ．p ∧（￢q ）
D ．（￢p ）∧（￢q ）
【答案】C
【解析】由题意判断出命题p 为真命题，命题q 为假命题，然后利用复合命题的真假判断得答案． 解：当m=0时，f （x ）=x 2﹣x 2﹣2=﹣2是奇函数， ∴命题p 为真命题； 当
时，
，此时
、
无意义，
=
不成立，
∴命题q 为假命题．
则p ∧（￢q ）为真命题． 故选：C ．
【考点】复合命题的真假．
4.网上大型汽车销售点销售某品牌A 型汽车，在2015双十一期间，进行了降价促销，改型汽车的价格与月销量之间有如下关系：
已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线先回归方程：=x+80，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ）
A ．39
B ．42
C ．45
D ．50 【答案】B
【解析】求出b ，即可预测月销售量．
解：=（25+23.5+22+20.5）=22.75，=（30+33+36+39）=34.5， ∵=x+80，
∴34.5=×22.75+80， ∴≈﹣2，
x=19，y=19×2+80=42． 故选：B ．
【考点】线性回归方程．
5.已知圆（x ﹣m ）2+y 2=4上存在两点关于直线x ﹣y ﹣2=0对称，若离心率为的双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）
的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（ ） A ．1 B ． C ．2
D ．4
【答案】D
【解析】由圆的对称性可得圆心在直线x ﹣y ﹣2=0，可得m=2，由离心率公式及a ，b ，c 的关系，可得a=b ，求得渐近线方程，代入圆的方程解得交点，由三角形的面积公式即可得到所求值． 解：圆（x ﹣m ）2+y 2=4上存在两点关于直线x ﹣y ﹣2=0对称， 可得直线x ﹣y ﹣2=0经过圆心（m ，0），可得m=2， 由e==
，a 2+b 2=c 2，可得a=b ，
即有双曲线的渐近线方程为y=±x ， 将直线y=±x 代入圆的方程（x ﹣2）2+y 2=4， 解得交点为（0，0），（2，﹣2），（2，2）， 可得围成的三角形的面积为×2×4=4． 故选：D ．
【考点】双曲线的简单性质．
6.已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．6
D ．10
【答案】C
【解析】由三视图得该几何体是直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1、三棱锥D ﹣ABC 和三棱锥D ﹣BCE 组合体，其中AD ⊥平面ABC ，且AD=AC=AB=AA 1=2，CE=1，AB ⊥AC ，由此能求出该几何体的体积．
解：由三视图得该几何体是直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1、三棱锥D ﹣ABC 和三棱锥D ﹣BCE 组合体， 其中AD ⊥平面ABC ，且AD=AC=AB=AA 1=2，CE=1，AB ⊥AC ∴该几何体的体积： V=+V D ﹣ABC +V D ﹣DCE =+
=6．
故选：C ．
【考点】由三视图求面积、体积．
7.已知点P （t ，
）为锐角φ终边上的一点，且cosφ=，若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线
y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f （x ）的一条对称轴为（ ） A ．x=
B ．x=
C ．x=
D ．x=
【答案】A
【解析】利用余弦函数的定义解出φ，根据正弦函数的图象与性质得出周期，解出ω，得出f （x ）的解析式，根据正弦函数的对称轴公式得出答案．
解：∵cosφ==，∴t=1，∴cosφ=，φ=．
∵函数f （x ）的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π， ∴f （x ）的周期T==π，解得ω=2，∴f （x ）=2sin （2x+
）．
令2x+
=
+kπ，解得x=
+
．当k=0时，x=
．
故选：A ．
【考点】正弦函数的图象．
8.在△ABC 中，||=|+|，||=4，||=3，若=2，则•
的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣8
【答案】C
【解析】先判断△ABC 以C 为直角的直角三角形，再根据向量的加减以及向量的数量积即可求出． 解：∵||=|+|，||=4，||=3， ∴△ABC 以C 为直角的直角三角形， ∴=+
=+
， ∴
•
=（
+
）（
）=
﹣+
﹣
=﹣
+
=﹣
+
=﹣
故选：C ．
【考点】平面向量数量积的运算．
9.已知各项为正的数列{a n }的前n 项的乘积为T n ，点（T n ，n 2﹣15n ）在函数y=x 的图象上，则数列{log 2a n }的
前10项和为（ ） A ．﹣140
B ．50
C ．124
D ．156
【答案】B
【解析】由题意得到
，再由对数的运算性质可得
，由此求得数列（{log 2a n }）的前10项和．
解：由题意可得，，
∴
，
则数列{log 2a n }的前10项和为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=
．
故选：B ．
【考点】数列递推式．
10.执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）
A．n＞6？B．n＞7？C．n＞8？D．n＞9？
【答案】B
【解析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=8时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为1538，对比四个选项得出正确答案．
解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=1
s=2，n=2
s=10，n=3
s=34，n=4
s=98，n=5
s=258，n=6
s=642，n=7
s=1538，n=8
此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为1538，则判断框内可填入的条件为：n＞7？
故选：B．
【考点】程序框图．
11.设抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M为抛物线E上一点，|MF|的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（）
A．4+B．7C．4+2D．10
【答案】B
【解析】先求出抛物线的标准方程，得焦点F的坐标，再设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．
解：由题意，|MF|的最小值为3，
∴=3，
∴p=6，
∴抛物线E：y2=12x，
抛物线y2=12x的焦点F的坐标是（3，0 ）；
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣3）=7，
故选：B．
【考点】抛物线的简单性质．
12.如图，某时刻点P与坐标原点O重合，将边长为2的等边三角形PAB沿x轴正方向滚动，设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），对任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[﹣+f（4）+]在区间（t，3）上不是单调
函数，则m的取值范围为（）
A．（﹣，﹣9）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣5）D．（﹣9，﹣5）
【答案】A
【解析】确定f（4）=2，可得g（x），求导g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，从而转化为零点的存在性问题．
解：根据题意画出顶点P（x，y）的轨迹，如图所示．轨迹是一段一段的圆弧组成的图
形．
从图形中可以看出，f（4）=2，
∴g（x）=x3+x2[﹣+f（4）+]=g（x）=x3+（2+）x2﹣2x，
∴g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2；
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2；
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0；
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
∴．
∴﹣＜m＜﹣9，
故选：A．
【考点】轨迹方程．
二、填空题
1.如图，等腰直角三角形ABC，|AB|=，AC∥L，三角形ABC绕直线L旋转一周，得到的几何体的体积
为．
【答案】．
【解析】几何体为圆柱去掉两个圆锥．
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=，∴AC=2，∵AC∥L，∴点A，点C到旋转轴L的距离均为1．∴旋转后得到的几何体为圆柱去掉两个圆锥，圆柱和圆锥的底面半径为1，圆柱的高为2，圆锥的高均为1．
∴几何体的体积V=π×12×2﹣=．
故答案为：．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
2.已知函数f （x ）=，若f （8﹣m 2）＜f （2m ），则实数m 的取值范围是 ．
【答案】（﹣4，2）．
【解析】先求出函数的单调性，根据函数单调性的性质得到关于m 的不等式，解出即可． 解：∵函数f （x ）=
，
∴函数f （x ）在R 上单调递减， 由f （8﹣m 2）＜f （2m ），
得：8﹣m 2＞2m ，解得：﹣4＜m ＜2， 故答案为：（﹣4，2）． 【考点】其他不等式的解法．
3.已知实数x ，y 满足，则Z=y ﹣（）x 的取值范围为 ． 【答案】[，
]．
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数Z=y ﹣（）x 为，求出曲线
过A 点时的Z
值，再由导数求出曲线与直线x+y=4相切时的Z 值，则答案可求．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立
，解得A （1，1），
由Z=y ﹣（）x ，得， 把A （1，1）代入，得Z=；
由
，得y′=﹣ln2
，
设直线y=﹣x+4与的切点为（x 0，y 0），
则
，解得x 0=log 2ln2，
∴y 0=﹣log 2ln2+4， ∴Z=
=
．
∴Z=y ﹣（）x 的取值范围为[，]．
故答案为：[，
]．
【考点】简单线性规划．
4.已知各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=30，过点P （n ，log 2a n ）和Q （n+2，log 2a n+1）（n ∈N *）的直线的斜率为1，设b n =，则数列{b n }的前n 项和T n = ．
【答案】（
+
﹣
﹣
）．
【解析】利用等比数列前n 项和公式及直线的斜率公式列出方程组，由此能求出首项和公比，从而能求出数列{a n }的通项公式，再由等比数列的性质，可得a n+12=a n+2a n ，
=16，log 2a n+2﹣log 2a n =4，log 2a n+2+log 2a n =2log 2a n+1，
可得b n =
=（﹣），再由裂项相消求和化简即可得到所求和．
解：由各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=30，
过点P （n ，log 2a n ）和Q （n+2，log 2a n+1）（n ∈N *）的直线的斜率为1，
可得，
解得a 1=，q=4，
则a n =
•4n ﹣1．a n+12=a n+2a n ，
=16，log 2a n+2﹣log 2a n =4，log 2a n+2+log 2a n =2log 2a n+1， 可得b n =
=（﹣
），
则有前n 项和T n =（﹣+﹣+
﹣
+…+﹣+
﹣） =（（+
﹣﹣
）
=（
+﹣﹣）．
故答案为：（+﹣﹣）．
【考点】数列的求和．
三、解答题
1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设=（a ，），=（cosC ，c ），且•=b ．
（Ⅰ）若sin （A+θ）=，求cos （
﹣θ）的值；
（Ⅱ）若b=4，a=2，求△ABC 的面积． 【答案】（I ）cos （
﹣θ）=，（II ）S △ABC =2
．
【解析】（I ）利用数量积运算性质可得：•=b ．可得acosC+c=b ，再利用余弦定理化为：b 2+c 2﹣a 2=
bc ，
利用余弦定理可得A ．已知sin （A+θ）==
，利用诱导公式可得：cos （
﹣θ）=
，
即可得出．
（II ）由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，解得c ．再利用三角形面积计算公式即可得出． 解：（I ）=（a ，），=（cosC ，c ），且•=b ．
∴acosC+
c=b ，
在△ABC 中，利用余弦定理可得：+
c=b ，化为：b 2+c 2﹣a 2=
bc ，
∴cosA==
，A ∈（0，π），
∴A=
．
∵sin （A+θ）==， ∴cos （
﹣θ）=
=，
（II ）由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，
∴22=42+c2﹣2×4c，
化为c2﹣4+12=0，解得c=2．
∴S
===2．
△ABC
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
2.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，PA⊥平面ABCD，E为棱PB上一点，PD∥平面ACE，过E作PC的垂线，垂足为F．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣AEF的体积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）三棱锥P﹣AEF的体积V=．
【解析】（1）连结BD，交AC于O，连结OE，由PD∥平面ACE可知OE∥PD，故E为PB中点，从而
AE⊥PB，由BC⊥平面PAB可知BC⊥AE，推出AE⊥平面PBC，得到AE⊥PC，结合PC⊥EF，推出PC⊥平面AEF；
（2）由勾股定理求出AE，PB，PC，根据Rt△PEF≌Rt△PCB，列出比例式求出EF，PF，代入体积公式计算．（1）证明：连结BD，交AC于O，连结OE，
∵底面四边形ABCD是正方形，∴O是BD中点．
∵PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=OE，
∴PD∥OE，
∴，∴E是PB的中点．
∵PA=AB，∴AE⊥PB．
∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，
∴AE⊥BC，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∵PC⊂平面PBC，
∴AE⊥PC，又EF⊥PC，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，AE∩EF=E，
∴PC⊥平面AEF．
（2）∵PA=AB=1，底面ABCD是正方形，
∴PB=，AC=，PC=，
∴PE=，AE=．
∵Rt△PEF≌Rt△PCB，∴，∴PF=，EF=．
∴S
==．
△AEF
∴三棱锥P﹣AEF的体积V==．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
3.某品牌汽车4S点，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养调查，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：
车型A型B型C型
假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访． （Ⅰ）求A 型，B 型，C 型各车型汽车的数目；
（Ⅱ）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率； （Ⅲ）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”“打分的方式表示4S 店的满意度，按照大于等于80优秀，小于80合格，得到如下列联表
问：能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S 店满意度调查于性别有关？请说明原因． 附
K 2=
．
【答案】（Ⅰ）A 型，B 型，C 型汽车的数目分别为2，4，4； （Ⅱ）这2辆汽车来自同一类型的概率为
；
（Ⅲ）这个结论有0.01=1%的机会说错，
在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S 店满意度调查于性别有关．
【解析】（Ⅰ）确定A 型，B 型，C 型的比例，即可求A 型，B 型，C 型各车型汽车的数目； （Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求这2辆汽车来自同一类型的概率；
（Ⅲ）根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，即可得到结论． 解：（Ⅰ）A 型，B 型，C 型的比例为1：2：2，
∴三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，各车型汽车的数目分别为2，4，4；
（Ⅱ）从抽取的A 型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，共有C 62=15种，这2辆汽车来自同一类型，共有C 22+C 42=7种，∴这2辆汽车来自同一类型的概率为；
（Ⅲ）K 2=
≈8.14＞6.635．
∴这个结论有0.01=1%的机会说错，
即在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S 店满意度调查于性别有关． 【考点】独立性检验的应用．
4.在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆Γ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，已知点A （0，﹣2）与椭圆右顶点关
于直线y=﹣x 对称，且直线AF 的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）若点C ，D （C 在第一象限）都在椭圆Γ上，点B 为椭圆Γ的右顶点，满足=λ
，且
•
=0，求实数λ
的值．
【答案】（1）椭圆的方程为
+y 2=1；（2）λ=
．
【解析】（Ⅰ）由对称和直线的斜率公式，推导出a=2，c=，由此能求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y=kx ，直线DB 方程为y=k （x ﹣2），分别代入椭圆方程x 2+4y 2=4，由
•
=0，求出k=
，再由
=λ
，能求出实数λ的值．
解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F （c ，0），右顶点为（a ，0），
由点A （0，﹣2）与椭圆右顶点关于直线y=﹣x 对称，可得 =1，解得a=2， 由直线AF 的斜率为，可得=
，可得c=
，
即有b==1， 则椭圆的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y=kx ， 代入椭圆方程x 2+4y 2=4， 得（1+4k 2）x 2=4，∴x C =，
∴C （
，
），
又直线DB 方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆方程x 2+4y 2=4， 得（1+4k 2）x 2﹣16k 2x+16k 2﹣4=0， ∵x B =2，∴x D =，
∵•
=0，
∴
•
+
•
=0， ∴k 2=，∵C 在第一象限，∴k ＞0，∴k=，
∵
=（
，
），
=（2﹣，0﹣
）=（
，），
由=λ
，得λ=， ∴k=
，∴λ=
．
【考点】椭圆的简单性质．
5.设函数f （x ）=
++b ，g （x ）=kx ，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0（e 为自
然对数的底数） （Ⅰ）求a ，b ；
（Ⅱ）若x ＞0时，f （x ）＞g （x ），求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）k 的范围是（﹣∞，]．
【解析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，求得切线的斜率和切点，由已知切线的方程，解方程可得a ，b ； （Ⅱ）由题意可得x ＞0时，
﹣﹣1＞kx ，即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，由h （x ）=e x ﹣1﹣x ，求出导数，可得e x ≥1+x ，
由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，求得导数，讨论2k 与1的关系，即可求得k 的范围． 解：（Ⅰ）f （x ）=
++b 的导数为f′（x ）=
﹣
，
在点（1，f （1））处的切线斜率为﹣a ，切点为（1，e+a+b ）， 由切线方程为x ﹣y+e ﹣3=0，可得﹣a=1，e+a+b=e ﹣2， 解得a=b=﹣1；
（Ⅱ）x ＞0时，f （x ）＞g （x ）， 即为x ＞0时，
﹣﹣1＞kx ，
即e x ﹣1﹣x ＞kx 2，
由h （x ）=e x ﹣1﹣x 的导数为h′（x ）=e x ﹣1，
当x ＞0时，h′（x ）＞0，h （x ）递增；当x ＜0时，h′（x ）＜0，h （x ）递减． 可得h （x ）在x=0处取得最小值0，即有h （x ）≥0成立， 即e x ≥1+x ，
e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立，
由m （x ）=e x ﹣1﹣x ﹣kx 2，m′（x ）=e x ﹣1﹣2kx ，
当2k≤1时，由e x ≥1+x ，可得e x ﹣1﹣2kx≥e x ﹣1﹣x ＞0， 则m （x ）在x ＞0时递增，即有m （x ）＞m （0）=0，
即有e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0恒成立；
当2k ＞1时，e x ﹣1﹣x ﹣kx 2＞0在x ＞0不恒成立． 综上可得，k 的范围是（﹣∞，]．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
6.如图，已知圆O 的内接四边形BCED ，BC 为圆O 的直径，BC=2，延长CB ，ED 交于A 点，使得∠DOB=∠ECA ，过A 作圆O 的切线，切点为P ，
（1）求证：BD=DE ； （2）若∠ECA=45°，求AP 2的值．
【答案】（1）见解析；（2）AP 2= 2+2．
【解析】（1）连结OE ，由已知得CE ∥OD ，从而∠BOD=∠EOD ，由此能证明BD=DE ． （2）推导出∠COE=90°，CE=，OD=1，AB=，由此利用切割线定理能求出AP 2． 证明：（1）连结OE ，∵圆O 的内接四边形BCED ，BC 为圆O 的直径， BC=2，延长CB ，ED 交于A 点，使得∠DOB=∠ECA ， ∴CE ∥OD ，∴∠CEO=∠EOD ， ∵CO=EO ，∴∠OCE=∠OEC ， ∴∠BOD=∠EOD ， ∴BD=DE ．
解：（2）∵∠ECA=45°，BC 为圆O 的直径，BC=2， ∴∠COE=90°，∴CE=，OD=1， ∵OD ∥CE ，∴
=
，解得AB=
，
∵过A 作圆O 的切线，切点为P ， ∴AP 2=AB•（AB+2）=
=2+2
．
【考点】与圆有关的比例线段．
7.（2015秋•东莞市期末）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程是
（θ为参数），曲线C 与l 的交点的极坐标为（2，
）和（2，
），
（1）求直线l 的普通方程；
（2）设P 点为曲线C 上的任意一点，求P 点到直线l 的距离的最大值． 【答案】（1）x+y ﹣
=0．（2）当cosθ=﹣1时，d 取得最大值
=
．
【解析】（1）将交点极坐标化为直角坐标，使用两点式方程得出l 的普通方程； （2）将C 的参数方程代入点到直线的距离公式，求出最大距离． 解：（1）直线l 与曲线交点的直角坐标分别是（2cos ，2sin
），（2cos
，2sin
），即（1，
），
（
，1）．
∴直线l 的普通方程为，即x+y ﹣
=0．
（2）点P 到直线l 的距离d==
．
∴当cosθ=﹣1时，d 取得最大值
=
．
【考点】参数方程化成普通方程．
8.（2015秋•东莞市期末）已知函数f （x ）=m ﹣|2x+1|﹣|2x ﹣3|，若∃x 0∈R ，不等式f （x 0）≥0成立， （1）求实数m 的取值范围；
（2）若x+2y ﹣m=6，是否存在x ，y ，使得x 2+y 2=19成立，若存在，求出x ，y 值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m≥4．（2）存在，，或．
【解析】（1）由题意可得m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，利用绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，可得m 的范围．
（2）要使存在x，y，只要圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径，由此求得m的范围．再解圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6组成的方程组，求得直线和圆交点的坐标，即为所求的x、y的值．
解：（1）由题意可得函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|≥0有解，即m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，
故m大于或等于|2x+1|+|2x﹣3|的最小值．
由于|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴m≥4．
（2）若x+2y﹣m=6，设存在x，y，使得x2+y2=19成立，则圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，
即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径，
即≤，故当﹣6﹣≤m≤﹣6+时，圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点．
由，求得，或．
【考点】绝对值不等式的解法．。