浙江省温州十五校联合体2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题

D
E
C
F
∴异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值为 2 . 4
------------------------7 分 B
（Ⅱ）可知二面角 A-BE-C 的平面角与二面角 A-BE-D 的平面角互补.
∵ AD 平面DBC ，作直线 DG⊥BE 于 G，连接 AG，则 AG⊥BE.
A
从而∠AGD 就是二面角 A-BE-D 的平面角. ------------------------11 分
D．逆命题、否命题、逆否命题都真
5.如图 1 所示，正方形 O ' A ' B 'C ' 的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则
原图形的面积是
A. 1 cm2 C. 3 2 cm2
B. 2 2 cm2 D. 2 cm2
4
图1 -1-
6. “直线 l 与平面α内无数条直线平行”是“直线 l 与平面α平行”的
该几何体的体积是 ▲__.
13.过圆 x2 y2 8 上任意一点 P 作 x 轴垂线，垂足为 Q，则线段 PQ 的
图3
中点 M 的轨迹方程为 ▲ .
14.已知圆锥的侧面积为 4 cm2 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是
▲ cm,母线长为 ▲ cm.
-2-
15.不等式 kx2 x 1 0 对任意的实数 x 恒成立的充要条件是 k ▲ .
16．
2
，8 3
；
17． 13 4
17.【解析】由面面角最大角定理， 的最大值即为二面角 A-BC-D 的平面角的大小.
三.解答题：本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
18. 解：（Ⅰ）若 p 为真命题，解不等式 x2 8x 15 0 得 3 x 5 ，
B． S1 S2
C． S1 S2
D． S1 与 S2 大小不
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
11.椭圆 C : x2 y2 1 的离心率为 ▲ ，长轴长 ▲ . 94
12.某三棱锥的三视图如图 3 所示，则俯视图的面积为 ▲__,
1
，解得 a 2, b 1 .
a2 b2 3
分
------------------------4
椭圆 C 的方程为 y2 x2 1. 41
------------------------6 分
（Ⅱ）设存在点 P（0，t）满足题意，设直线 l 的方程为 y kx 3 .
设
A(x1,
y1), B(x2,
------------------------10 分
又线段 AB 的中点为 M（1,1），∴ x1 x2 =y1 y2 =2
从而直线 AB 斜率 kAB
y2 x2
y1 x1
3 4
.
------------------------13 分
直线 l 的方程为 y 1 3 (x 1)，即3x 4 y 7 0. 4
（Ⅰ）求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值；
A
（Ⅱ）求二面角 A-BE-C 的正切值.
D
E
C
B
图5
22.（满分
15
分）已知椭圆 C :
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
经过点
(
1 2
,
3) ，且 F (0,
3) 是 C 的一
个焦点，过焦点 F 的动直线 l 交椭圆于 A, B 两点.
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在定点 P （异于点 F ），使得对任意的动直线 l 都有 APF BPF ，
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.用一个平面去截圆锥，则截面不可能是
A. 椭圆
B. 圆
C. 三角形
D. 矩形
2.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条
A．平行
B．相交
3.椭圆 y2 +x2 1的焦点坐标是 3
绝密★考试结束前
2020 学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知： 1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
从而 y 轴上存在定点 P(0, 4 3
3) 满足题意.
------------------------15 分
-8-
16.已知椭圆
x2 9
y2 5
1的左右焦点分别为 Fຫໍສະໝຸດ 、F2 ，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y
轴上，则 PF2F1 ▲ ， | PF1 | | PF2 | = ▲ .
17.在正三棱锥 A-BCD 中，AB=AC=AD=5，BC=BD=CD=6. 点 M 是线段 BC 上的点，且 BM 2MC .
y2 ),
由
y kx y2 4x2
3
消去
4
y
得， (k 2
4) x 2
2
3kx 1 0 .
从而
x1
x2
2 k2
3k 4
，x1
x2
1 k2
4
.
分
------------------------10
-7-
由 APF BPF 得 kAP kBP 0 ，
k AP
kBP
y1 t x1
实数 x 的取值范围是[3，5].
------------------------6
分
（Ⅱ）解不等式 x2 2x 1 a2 0 (a 0) 得1 a x 1+a ，
------------------------9
分
∵ p 为 q 成立的充分不必要条件，∴[3,5] 是[1-a,1+a]的真子集.
------------------------5
-5-
AD / /平面PBC
------------------------7 分 （Ⅱ）取 AD 中点 M，连接 PM，CM，则 PM⊥AD. 又∵平面 PAD⊥底面 ABCD，
∴PM⊥平面 ABCD ∴∠PCM 就是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. ------------------------11 分
由勾股定理可求得 PM 1, CM 5，PC 6 ,
∴ sin PCM PM 6 . PC 6
直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6 . 6
------------------------15 分
20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知点 P 的轨迹是以 F1(1, 0), F2 (1, 0) 为焦点，长轴长为 4 的椭
------------------------15 分
(用韦达定理等其它方法可酌情给分)
-6-
A 21．解：（Ⅰ）取线段 BC 中点 F，连接 EF，AF，则 EF//BD，
从而∠AEF 就是直线 AE 与 BD 所成的角.
------------------------3 分
在△AEF 中，可求得 AE AF 2, EF 1, cos AEF 2 4
点 P 是棱 AC 上的动点，直线 PM 与平面 BCD 所成角为 ，则 sin 的最大值为 ▲ .
三、解答题：本大题共 5 小题,共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（满分 14 分）已知 p : x2 8x 15 0 ， q : x2 2x 1 a2 0 (a 0) ． （Ⅰ）若 p 为真命题，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）若 p 为 q 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
y2 t x2
kx1 3 t x1
kx2
3t x2
2kx1x2
(
3 t)(x1 x2 ) x1x2
=
k
2k 2
4
(
3
t)
2 k2
3k 4
2k
1( 3 t)
x1x2
k2 4
x1x2
3
2k k2
4
4 3t x1x2
0
----------------------
-13 分
只需 t 4 3 即可满足. 3
在△DBE 中，由余弦定理可求得 BE= 7 .由面积法可求得 DG 21 . 7
DE
C
G
tan AGD AD 1 21
∴
DG 21 3 .
B
7
∴二面角 A-BE-C 的正切值为 21 . ------------------------15 分 3
22.
解：（Ⅰ）依题意得，
3
a
2
1 4b2
分
1 a 3 ∴ 1 a 5 且等号不同时取到 ，得 a≥4. ∴实数 a 的取值范围是[4,+)
------------------------14 分
------------------------11
19. 解：（Ⅰ）证明： AD / /BC, BC 平面PBC, AD 平面PBC
分
圆.
∴ Γ 的方程为 x2 y2 1. 43
-----------------------6 分
（Ⅱ）（点差法）设 A(x1, y1), B(x2, y2 ), ∵A、B 是 Γ 上的点，
由 33xx1222
4 y12 4 y22
12 12
作差得， 3(x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
19. （满分 15 分）如图 4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面
PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，且平面 PAD 平面 ABCD . （Ⅰ）求证： AD// 平面 PBC ；（Ⅱ）求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.
图4
20. （满分 15 分）已知 F1(1, 0), F2 (1, 0), 动点 P 满足 |PF1 | | PF2 | 4 ，动点 P 的轨迹为曲
则这样的直线 l
A.不存在
B. 2 条
C.4 条
D. 无数条
9.如图 2 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 是棱 BC 的中点，点 P 是平面 DCC1D1 内的动
点，若直线 AP 与平面 DCC1D1 所成的角等于直线 MP 与平面 DCC1D1 所成的角，
则点 P 的轨迹是 A. 圆
-3-
线Γ .
（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线 l 与曲线 Γ 交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为 M（1,1），求直线 l 的方程.
21.（满分 15 分）如图 5 所示，在三棱锥 D-ABC 中， AD 平面DBC ， BDC 120o ，且
DA=1，DB=DC=2，E 是 DC 的中点 .
若存在求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.
-4-
2020 学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考
高二数学卷评分标准与参考答案
一、选择题(4×10=40 分)
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 D
D
C
A
B
B
D
C
A
B
9. A【解析】∠APD=∠MPC，从而 PD=2PC，所以点 P 的轨迹是一个圆。（阿波罗尼斯圆）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
7.方程 |x| 1 1 ( y 2) 2 所表示的曲线是
D. 既不充分也不必要条件
A.一个圆
B. 两个圆
C.一个半圆
D.两个半圆
8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，过点 C 做直线 l，使得直线 l 与直线 BA1 和 B1D1 所成的角均为 70o ，
C．异面
D．相交或异面
A． 2,0 ， 2,0
C． 0, 2 ， 0, 2
B． 2,0 ， 2,0
D． 0, 2 ， 0,2
4．原命题“若实数 a, b, c 成等比数列，则 b2 ac ”，则
A．逆命题与否命题假，逆否命题真
B．逆命题假，否命题和逆否命题真
C．逆命题和否命题真，逆否命题假
10.
B【解析】设内切圆半径为
r，则
S1
1 2
2r
r
1 S, 3
S2
1 3
S
，故选
B.
二、填空题.（本大题有 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11. 5，6 ； 3
12．
2
，2 3
;
13. x2 y2 1 ； 82
14． 2， 2 2 ；
15．
(, 1] ； 4
B. 椭圆
C. 直线
D. 射线
图2
x2 10.已知椭圆 C： 4
+
y2 3
1
的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 M 是椭圆 C 在第二象限内的点，
若 I 是 △MF1F2 的内心，G 是 △MF1F2 的重心，记 △I F1F2 与 △GF2M 的面积分别为 S1 ，S2 ， 则
A． S1 S2 确定