高考物理 双基突破(二)专题33 电磁感应中的“双杆”模型精练-人教版高三全册物理试题

专题33 电磁感应中的“双杆〞模型
1．一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在磁场内，如下列图，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升〔导体棒ab、cd与导轨接触良好〕，此时cd静止不动，如此ab上升时，如下说法正确的答案是
A．ab受到的拉力大小为2 N
B．ab向上运动的速度为2 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能
D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
【答案】BC
2．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框原先整个置于有界匀强磁场内，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行，现使线框沿四个不同方向以一样速率v匀速平移出磁场，如下列图，线框移出磁场的整个过程
A．四种情况下ab两端的电势差都一样
B．①图中流过线框的电荷量与v的大小无关
C．②图中线框的电功率与v的大小成正比
D．③图中磁场力对线框做的功与v2成正比
【答案】B
【解析】由法拉第电磁感应定律E＝ΔΦ/Δt，闭合电路欧姆定律I＝E/R，电流定义式I＝q/Δt可得q＝ΔΦ/R，线框沿四个不同方向移出磁场，流过线框的电荷量与v的大小无关，选项B正确。

四种情况下ab 两端的电势差不一样，选项A错误。

②图中线框的电功率P＝E2/R，E＝BLv，P与v的二次方大小成正比，选项C错误；③图中磁场力F＝BIL，I＝E/R，E＝BLv，磁场力对线框做功W＝FL，磁场力对线框做的功与v成正比，选项D错误。

7．〔多项选择〕在如下列图的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为ΔE k，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，如下说法中正确的有
A．在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2>v1
B．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框的机械能守恒
C．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，有W1－ΔE k的机械能转化为电能
D．从ab边越过GH到到达MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小ΔE k＝W1－W2【答案】CD
8．〔多项选择〕如图甲所示，光滑绝缘水平面上，虚线MN的右侧存在磁感应强度B＝2 T的匀强磁场，MN的左侧有一质量m＝0.1 kg的矩形线圈abcd，bc边长L1＝0.2 m，电阻R＝2 Ω。

t＝0时，用一恒定拉力F拉线圈，使其由静止开始向右做匀加速运动，经过时间1 s，线圈的bc边到达磁场边界MN，此时立即将拉力F改为变力，又经过1 s，线圈恰好完全进入磁场，整个运动过程中，线圈中感应电流i随时间t 变化的图象如图乙所示。

如此
A．恒定拉力大小为0.05 N
B．线圈在第2 s内的加速度大小为1 m/s2
C．线圈ab边长L2＝0.5 m
D．在第2 s内流过线圈的电荷量为0.2 C
【答案】ABD
9．如下列图，“凸〞字形硬质金属线框质量为m，相邻各边互相垂直，且处于同一竖直平面内，ab 边长为l，cd边长为2l，ab与cd平行，间距为2l。

匀强磁场区域的上下边界均水平，磁场方向垂直于线框所在平面。

开始时，cd边到磁场上边界的距离为2l，线框由静止释放，从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前，线框做匀速运动．在ef、pq边离开磁场后，ab边离开磁场之前，线框又做匀速运动。

线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。

线框在下落过程中始终处于原竖直平面内，且ab、cd边保持水平，重力加速度为g。

求
〔1〕线框ab 边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd 边刚进入磁场时的几倍； 〔2〕磁场上下边界间的距离H 。

【答案】〔1〕4倍 〔2〕Q
mg
＋28l
【解析】〔1〕设磁场的磁感应强度大小为B ，cd 边刚进入磁场时，线框做匀速运动的速度为v 1，cd 边上的感应电动势为E 1，由法拉第电磁感应定律，有E 1＝2Blv 1①
设线框总电阻为R ，此时线框中电流为I 1，由闭合电路欧姆定律，有I 1＝E 1R ②
设此时线框所受安培力为F 1，有F 1＝2I 1lB ③ 由于线框做匀速运动，其受力平衡，有mg ＝F 1④ 由①②③④式得v 1＝mgR
4B 2l
2⑤
设ab 边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v 2，同理可得v 2＝mgR
B 2l 2⑥
由⑤⑥式得v 2＝4v 1⑦
〔2〕线框自释放直到cd 边进入磁场前，由机械能守恒定律，有2mgl ＝1
2mv 21⑧
线框完全穿过磁场的过程中，由能量守恒定律有mg 〔2l ＋H 〕＝12mv 22－12mv 2
1＋Q ⑨
由⑦⑧⑨式得H ＝Q
mg
＋28l
10．如下列图，P 、Q 为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距L 1＝0.5 m ，处在竖直向下、磁感应强度大小B 1＝0.5 T 的匀强磁场中。

导体杆ef 垂直于P 、Q 放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。

质量为m ＝0.1 kg 的正方形金属框abcd 置于竖直平面内，其边长为L 2＝0.1 m ，每边电阻均为r ＝0.1 Ω.线框的两顶点a 、b 通过细导线与导轨相连．磁感应强度大小B 2＝1 T 的匀强磁场垂直金属框abcd 向里，金属框恰好处于静止状态。

不计其余电阻和细导线对a 、b 点的作用力，g 取10 m/s 2，求：
〔1〕通过ab 边的电流I ab ； 〔2〕导体杆ef 的运动速度v 。

【答案】〔1〕7.5 A 〔2〕3 m/s
金属框受重力和安培力，处于静止状态，有mg ＝B 2I ab L 2＋B 2I dc L 2， 联立解得I ＝10 A ，I ab ＝7.5 A 。

〔2〕设导体杆切割磁感线产生的电动势为E ，如此E ＝B 1L 1v ，
设ad 、dc 、cb 三边电阻串联后与ab 边电阻并联的总电阻为R ，如此R ＝r ×3r r ＋3r ＝34r ，
根据闭合电路欧姆定律，有I ＝E
R
，
解得v ＝3mgr 4B 1B 2L 1L 2＝3×0.1×10×0.1
4×0.5×1×0.5×0.1
m/s ＝3 m/s 。

11．如下列图，在高度差为h 的平行虚线区域内有磁感应强度为B ，方向水平向里的匀强磁场。

正方形线框abcd 的质量为m ，边长为L 〔L ＝h 〕，电阻为R ，线框平面与竖直平面平行，静止于位置“Ⅰ〞时，cd 边与磁场下边缘有一段距离H 。

现用一竖直向上的恒力F 提线框，线框由位置“Ⅰ〞无初速度向上运动，穿过磁场区域最后到达位置“Ⅱ〞〔ab 边恰好出磁场〕，线框平面在运动中保持在竖直平面内，且ab 边保持水平。

当cd 边刚进入磁场时，线框恰好开始匀速运动。

空气阻气不计，g ＝10 m/s 2。

求：
〔1〕线框进入磁场前距磁场下边界的距离H ；
〔2〕线框由位置“Ⅰ〞到位置“Ⅱ〞的过程中，恒力F 做的功和线框产生的热量。

【答案】〔1〕mR 2
2B 4L
4〔F －mg 〕〔2〕F 〔H ＋h ＋L 〕 〔F －mg 〕〔L ＋h 〕
〔2〕线框由位置“Ⅰ〞到位置“Ⅱ〞的过程中，恒力F 做的功为W ＝F 〔H ＋h ＋L 〕。

只有线框在穿越磁场的过程中才会产生热量，因此从cd 边进入磁场到ab 边离开磁场的过程中有F 〔L ＋h 〕＝mg 〔L ＋h 〕＋Q ，所以Q ＝〔F －mg 〕〔L ＋h 〕。

12．如下列图，四条水平虚线等间距地分布在同一竖直面上，间距为h ，在Ⅰ、Ⅱ两区间分布着完全一样，方向水平向内的磁场，磁场大小按B －t 图变化〔图中B 0〕。

现有一个长方形金属线框ABCD ，质量为m ，电阻为R ，AB ＝CD ＝L ，AD ＝BC ＝2h .用一轻质的细线把线框ABCD 竖直悬挂着，AB 边恰好在Ⅰ区的中央。

t 0〔未知〕时刻细线恰好松弛，之后剪断细线，当CD 边到达M 3N 3时线框恰好匀速运动。

〔空气阻力不计，g 取10 m/s 2〕
〔1〕求t 0的值；
〔2〕求线框AB 边到达M 2N 2时的速率v ；
〔3〕从剪断细线到整个线框通过两个磁场区的过程中产生的电能为多大？
【答案】〔1〕B 20L 2
h
2mgR
〔2〕
m 2g 2R 2B 40L 4－6gh 〔3〕92mgh －m 3g 2R 2
2B 40
L 4
〔2〕当CD 边到达M 3N 3时线框恰好匀速运动，速度为v ′，对线框受力分析有B 0I ′L ＝mg ，I ′＝E ′
R ，
因CD 棒切割产生的感应电动势E ′＝B 0Lv ′，v ′＝mgR
B 20L
2，
线框AB 到达M 2N 2时一直运动到CD 边到达M 3N 3的过程中线框中无感应电流产生，只受到重力作用。

线框下落高度为3h ，根据动能定理得mg 3h ＝12mv ′2－1
2mv 2，
线框AB 边到达M 2N 2时的速率为v ＝
m 2g 2R 2
B 40
L 4－6gh 。

〔3〕线框由静止开始下落到CD 边刚离开M 4N 4的过程中线框中产生电能为E 电，线框下落高度为4.5h ， 根据能量守恒得重力势能减少量等于线框动能与电能之和为mg ·4.5h ＝E 电＋1
2mv ′2，
如此E 电＝92mgh －m 3g 2R 2
2B 40L
4。

13．如下列图，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°放置，在斜面上虚线aa ′和bb ′与斜面底边平行，在aa ′、b ′b 围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g 、总电阻为R ＝1 Ω、边长d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNPQ ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。

线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，〔取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8〕求：
〔1〕线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小； 〔2〕线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离；
〔3〕整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

【答案】〔1〕2×10－
2 N 〔2〕1 m 〔3〕4×10－
3 J
〔3〕由于线圈刚好匀速穿过磁场，如此磁场宽度等于d ＝0.1 m Q ＝W 安＝F 安·2d 解得：Q ＝4×10－
3 J 。

14．如图，ab 和cd 是两条竖直放置的长直光滑金属导轨，MN 和M ′N ′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m 和2m 。

竖直向上的外力F 作用在杆MN 上，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触；两杆的总电阻为R ，导轨间距为l 。

整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直。

导轨电阻可忽略，重力加速度为g 。

在t ＝0时刻将细线烧断，保持F 不变，金属杆和导轨始终接触良好。

求：
〔1〕细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比； 〔2〕两杆分别达到的最大速度。

【答案】〔1〕2∶1 〔2〕4mgR 3B 2l 22mgR 3B 2l
2
某时刻MN 的加速度a 1＝3mg －mg m －BIl m ＝2g －BIl
m ，
同时刻M ′N ′的加速度a 2＝2mg 2m －BIl 2m ＝g －BIl
2m ，
因为任意时刻两杆加速度之比总为a 1a 2＝2
1，
所以v 1v 2＝a 1t a 2t ＝21。

〔2〕当MN 和M ′N ′的加速度为零时，速度最大。

M ′N ′受力平衡有BIl ＝2mg ，I ＝E
R ，E ＝Blv 1＋Blv 2，
联立得v 1＝4mgR 3B 2l 2，v 2＝2mgR
3B 2l
2。

15．如图甲所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd ，线圈平面与磁场方向垂直。

线圈的匝数N ＝100，边长ab ＝1.0 m 、bc ＝0.5 m ，电阻r ＝2 Ω。

磁感应强度B 随时间变化的规律如图乙所示，取垂直纸面向里为磁场的正方向。

求：
〔1〕3 s 时线圈内感应电动势的大小和感应电流的方向； 〔2〕在1～5 s 内通过线圈的电荷量q ； 〔3〕在0～5 s 内线圈产生的焦耳热Q 。

【答案】〔1〕5 V a →b →c →d →a 〔2〕10 C 〔3〕100 J
〔2〕在1～5 s 内线圈中的感应电动势E 2＝N ΔΦ2Δt 2＝N ΔB 2S
Δt 2
感应电流I 2＝E 2
r ，电荷量q ＝I 2Δt 2
解得q ＝N ΔB 2S
r ，代入数据解得q ＝10 C 。

〔3〕0～1 s 内线圈中的感应电动势 E 3＝N ΔΦ3Δt 3＝N ΔB 3S Δt 3
＝10 V
0～1 s 内线圈中的感应电流I 3＝E 3
r ＝5 A
0～1 s 内线圈产生的焦耳热Q 1＝I 23r Δt 3＝50 J 1～5 s 内线圈产生的焦耳热Q 2＝I 22r Δt 2＝50 J Q ＝Q 1＋Q 2＝100 J 。

16．如下列图，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m 。

导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T 。

在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg 、电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑。

然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg 、电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑。

cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2。

问：
〔1〕cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； 〔2〕ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
〔3〕从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少。

【答案】〔1〕a 流向b 〔2〕5 m/s 〔3〕1.3J
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