复变函数论1-2

解 (1) 当 z x iy 时,
Re( z ) x y ,
2 2 2
Re( z 2 ) 1 x 2 y 2 1,
无界的单连通闭域(如图).
( 2) arg z 3 arg z arg z , 3 3 3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
有界的单连通域.
例2 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?
y
解 (1) Im z 3, 是一条平行于实轴的直线, 不是区域.
( 2) Re z 2,
-3 -2 -1
6 5 4 3 2 1 x
1
2
3
以 Re z 2 为左界的半平面 (不包括直线Re z 2 ),
( 不 必 属 于E ), 如 果 对z0 的 任 意 一 个 邻 域 ,都有E （或极限点） 的无穷多点 , 那 末 z0 称 为 E 的 聚 点 .
如果z0属于E ，但不是E 的聚点，则称z0为E的孤立点. z0为E的孤立点>0: N(z0)E={z0} 如果z0不属于E ，又不是 E的聚点，则称z0为E的外点. z0为E的外点>0: N(z0)E=
定义1.3 内点:
设 E 为一平面点集 , z0 为 E 中 任 意 一 点 .如果 存 在 z0 的 一 个 邻 域 , 该 邻 域 内 的 所 有 点 都于 属E , 那 末 z0 称 为 E 的 内 点 . z0为E的内点>0: N(z0)E
如果 E 内每一点都是它的内点,那末E 称 为开集.
C终点z()
平面曲线C的复数表示: z z(t ) x(t ) iy(t ). ( t )
y
C
z x
C的复参数方程
C的正向：起点终点 起点z()
o
对于满足 t1 , t 2 的 t1 与 t 2 , 当 t1 t 2 而 有 z( t1 ) z( t 2 ) 时, 点 z( t1 ) 称 为 曲 线C 重点 的重点 .
区域
1
0 arg( z 1) 4; 2 Re z 3
不是区域也不是闭域
arg( z 1)

4
1 2
3
课堂练习 判断下列区域是否有界? (1) 圆环域: r1 z z0 r2 ; (2) 上半平面: Im z 0;
r1 r2
z 0
y
(3) 角形域: arg z ;
1 ( 3) 3 z
1 1 3 z , z 3 1 是以原点为中心 , 半径为 3 的圆的外部, 无界的多连通域.
(4) z 1 z 1 4 z 1 z 1 4
表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹,
是椭圆,
z 1 z 1 4表示该椭圆内部 ,
单连通域
多连通域
连续点集：至少含两个点，且不能划分成 两个无公共点的非空闭集的集合。 退化连续点集：空集与只含一个点的集合。 区域D边界为一个连续点集（包括退化）， 则称D为单连通区域。
区域D边界为互不相交的两个、三个、…、n个连续点集， 则称D为二连通、三连通、 …、n连通的区域。
如：r
z R，
单连通域.
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i ) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘,
是多连通域.
(4) arg( z i ) , 4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线
(不包括端点i ),
不是区域.
zi (5) 0 arg , zi 4
当 z x iy 时,
x2 y2 1 2x zi 2 i 2 , 2 2 x ( y 1) z i x ( y 1)
zi 由 0 arg 知 zi 4
x2 y2 1 0, 2 2 x ( y 1)
2x 0, 2 2 x ( y 1)
单连通域.
小结与思考
应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域.
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第二节 复平面上的点集
1.2.1 复平面点集的几个基本概念
1.2.2 区域与约当(Jordan)曲线
1.2.3 典型例题 1.2.4 小结与思考
一、 平面点集的几个基本概念
定义1.1 邻域:
平 面 上 以z0 为 中 心 , (任 意 的 正 数 )为 半 径 的 圆: z z0 内 部 的 点 的 集 合 称 为 z0 的 邻 域 .
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立 的点所组成的.
边界
z
C3
C1
以上基 本概念 的图示
区域

z 0
邻域
z 1
z 2
P 边界点
课堂练习
判断下列点集是否是区域?
区域
z R
z R;
闭域
z 1 1; z 1
区域
即 z 1 z 1 表示右半平面
Im z 0 ; z 1
0 z R,
r z ,
0 z 都表示二连通区域
三、典型例题
例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有 界的还是无界的,单连通的还是多连通的. 1 2 (1) Re( z ) 1; (2) arg z ; (3) 3; 3 z
(4) z 1 z 1 4;
因为 x 2 ( y 1)2 0,
2 x 0, 2 于是 x y 2 1 0, 2 x x 2 y 2 1, x 0, 2 2 x y 1, ( x 1)2 y 2 2.
表示在圆( x 1)2 y 2 2 的外 部且属于左半平面的点 集,
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线 点 （2）光滑曲线可以求长 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为逐段光滑曲线.
y y
o
x
o
x
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲 线 C 将复平面唯一地分 成C,I(C),E(C) 三个互不相 交的点集.满足：
边界
y
I(C) E(C)
o
x
（1）I(C) 是一个有界区域 （称为C的内部）. （2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）. （3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个 端点属于E(C) ，则P必与C相交. （4）C是I(C)，E(C) 的公共边界.
重点
没有重点的曲线 C 称为 简单曲线(或若尔当曲线).
即 z( ) z( ) , 那末称C 为简单闭曲线 .
重点
如果简单曲线 C 的起点和终点重合 ,
换句话说, 简单曲线自身不相交.
定义1.9 光滑曲线:
如果在 t 上, x( t ) 和 y( t ) 都是连续的 , 且对于t 的每一个值 , 有 [ x( t )]2 [ y( t )]2 0, 那末 称这曲线为光滑的 .
记作:N(z0)
N(z0)={z | |z-z0|<}
称由不等式 0 z z0 所 确定的点的集合为 z0 的 去 心 邻 域 .
记作：N(z0)-{z0}={z | 0<|z-z0|<}
定义1.2 聚点、外点、孤立点 设 E 为一平面点集 , z0 为 复 平 面 中 任 意 一 点
足 z M, 那末 E 称为有界的 ,否则称为无界的 .
y
z x
有界！
z
o
以下五种说法彼此等价：
z0为E的聚点或极限点
z0的任一邻域含有E的无穷多个点（ z0 不必属于E）
z0的任一邻域含有异于z0而属于E的一个点
z0的任一邻域含有E的两个点
存在E的一个点列 z1 , z2 ,, zn ,， 以z0为极限
如果在z0的任意一个邻域内,都有属于 E 的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界 点。 点集E的全体边界组成的集合称为E的边 界.记为：E
定义1.4 有界集和无界集: 如果一个 点集E可 以 被 包 含 在 一 个 以 点 原为中 心的圆里面 , 即 存 在M 0, 使 区 域 的 每 一 个 点 都 满
二、 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称 它为一个区域. (1) D是一个开集；
(2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一 条折线连结起来.
z1

D z2

D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+C
说明
不包含边界！
C2
(1) 区域都是开的.
(4) 带形域: a Im z b.
o x
答案
(1)有界;
(2) (3) (4)无界.
C的实参数方程 定义1.7 连续曲线: 如 果 x ( t ) 和 y( t ) 是 两 个 连 续 的 实 变 函 , 数
那 末 方 程 组x x( t ) , y y( t ), ( t ) 代 表一条平面曲线 , 称为连续曲线 .
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z(a ) z(a ) z(b)
答 案 简 单 闭 简 ) z(a )
不 简 单 不 简 单 不 闭
z(b)
闭
定义1.11 单连通域与多连通域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.