河北大学量子力学2006 2007 2009--2014年考研专业课初试真题汇编
河北大学(已有10试题)
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量子力学(甲)A卷真题2006年
量子力学(甲)A卷真题2006年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、(总题数：1，分数：30.00)两个线性算符和满足下列关系：（分数：30.00）(1).求证[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：。
)解析：(2).求在[*]表象中[*]和[*]的表达式。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设，则能得到λ2-λ=0，所以λ=1，0。
因此有。
设，因为，所以以a22，a21：0。
又，所以a11=0。
因此推得。
)解析：二、(总题数：1，分数：30.00)1.粒子在一维势场 V(x) =A|x|n (-∞＜x（分数：30.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(利用测不准关系，对△x取极小：。
)解析：三、(总题数：1，分数：30.00)λ，又设体系处于某一束缚定态，其能量和本征函数分别记为E n 和ψn(r) 。
（分数：30.00）(1).证明费尔曼-海尔曼定理：[*]；（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：(2).利用费曼-海尔曼定理，求氢原子各束缚态的平均动能(提示：氢原子能级公式为[*]) 。
（分数：15.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由上题定理，。
(NEW)河北大学物理科学与技术学院《836量子力学》历年考研真题汇编
2015年河北大学836量子力学考研真题 2014年河北大学836量子力学考研真题 2013年河北大学836量子力学考研真题 2012年河北大学836量子力学考研真题 2011年河北大学824量子力学考研真题 2010年河北大学824量子力学考研真题 2009年河北大学824量子力学考研真题 2008年河北大学量子力学考研真题 2007年河北大学821量子力学考研真题 2006年河北大学量子力学考研真题 2005年河北大学量子力学考研真题
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(NEW)中国科学技术大学《828量子力学》历年考研真题汇编(含部分答案)
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
5．（30分）假设自由空间中有两个质量为m、自旋为 /2的粒子，它们 按如下自旋相关势
相互作用，其中r为两粒子之间的距离，g>0为常量，而 （i=l，2）为 分别作用于第1个粒子自旋的Pauli矩阵。
。算符 ， 与升降算符之间的关系为：
其中
。对于体系基态，相关的平均值为：
所以，
，
最终得到：
。 4．（20分〉设有2维空间中的如下矩阵
（a）请考察A的厄米性；
（b）请写出A用 阵；
展开的表达式，其中
为著名的Pauli矩
（c）请求解A的本征方程，得出本征值和相应本征态。
解：（a）矩阵A的转置共轭为：
因此，矩阵A为厄米矩阵。 （b）Pauli矩阵分别为：
令
，则 ， 与哈密顿量对易。对于 ，此结果是显然的。对
于，
体系的角动量 显然也与哈密顿量及自旋对易。因此力学量组 即为体系的一组可对易力学量完全集。
（b）为考虑体系的束缚态，需要在质心系中考查，哈密顿量可改写 为：
其中 为质心动量。由于质心的运动相当于一自由粒子，体系的波函数 首先可分离为空间部分和自旋部分，空间部分可以进一步分解为质心部 分和与体系内部结构相关的部分。略去质心部分，将波函数写成力学量 完全集的本征函数：
目 录
2014年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2013年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2012年中国科学技术大学828量子力学 考研真题
2011年中国科学技术大学809量子力学 考研真题
2006中科院量子力学试题甲A试题+答案
故 x Ae
i 2 m x
,
f t Be
t i t V t dt 0
。 。
若取 V (t ) V0 cos t ，那么 f t Be 于是得到 x, t Ne i
2 m x
解： x, t x f t 。 因为 i
2 d 2 V t x f t ，所以 x f t 2 t 2m dx
2 2 d x d x , i ln f t 2 V t 。 2m dx dt
参考答案：2006 量子力学（甲）A
第3页
共3页
0 ei ˆA ˆ ，所以 a 2 1 。因此推得 A BA 。 12 0 0
二、（共 30 分）粒子在势场 V ( x) A | x |n 关系估算基态能量。
( x , A 0) 中运动，试用不确定度
2
p A x n ， 解：利用测不准关系 x p ，由 E 2 2m 2 dE n2 对 x 取最极小： 。 0 ，得 x 4mnA d x
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ˆ ，则得到 2 0 。所以 1, 0 。因此有 B 0 0 。 2) 设 B 0 1 a12 a ˆˆ ˆ ˆˆ 设 A 11 ，因为 BA 0 ，所以 a22 , a21 0 。 AB A ，所以 a11 0 。 a21 a22
中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案：量子力学（甲）A 卷
量子力学习题分析
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。
求其定态能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。
在不含时微扰H'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=**21100E E E H βαβα。
求受微扰后的能量至一级。
五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。
A —1—1河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷— 学年第 学期 级 专业（类）考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）一、概念题：（共20分，每小题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态),(t rψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,)r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？4、简述定态微扰理论。
河北大学研究生入学考试量子力学题库
河北⼤学研究⽣⼊学考试量⼦⼒学题库考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 A⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电⼦云”的概念，量⼦⼒学的解释是什么？3、⼒学量G在⾃⾝表象中的矩阵表⽰有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电⼦在位置和⾃旋z S ?表象下，波函数=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归⼀化？解释各项的⼏率意义。
⼆（20分）设⼀粒⼦在⼀维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。
求其定态能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒⼦处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒⼦的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在⼀个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。
在不含时微扰H'?作⽤下，总哈密顿算符H在)0(?H 表象下为=**21100E E E H βαβα。
求受微扰后的能量⾄⼀级。
五（20分）对电⼦，求在x S ?表象下的xS ?、y S ?、z S ?的矩阵表⽰。
考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 B⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归⼀化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量⼒学量F 的可能值及其⼏率的⽅法。
3、设粒⼦在位置表象中处于态),(t r ψ,采⽤Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采⽤Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表⽰？ 4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？⼆（20分）设粒⼦在三维势场()ax a z y x U <>??∞=x 0,,中运动，求粒⼦定态能量和波函数。
三（20分）⼀维运动的粒⼦在态()00<>=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中0>λ。
河北大学研究生入学考试量子力学题库答案
河北大学课程考核参考答案及评分标准（ — 学年第 学期）考核科目 量子力学 课程类别 必修 考核方式 闭卷 卷别 A一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。
1. 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2. 电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。
轨道：电子径向分布几率最大之处。
3. 力学量Gˆ在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G ˆ的本征值。
4. 能量测不准关系的数学表示式为E t /2∆∙∆≥ ，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
5. 利用()()()2212x,y,z x,y,z d 1ψψτ+=⎰进行归一化，其中：()21x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z =的几率密度，()22x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z -=的几率密度。
二、20分，主要考察定态问题的求解。
解：()222b b x ax bxc a x c 2a 4a U ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ 体系的定态薛定谔方程为：()()()x E x c 4a b 2a b x a x 222222ϕϕϕμ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 整理得,()()()x c 4a b E x 2a b x a x 222222ϕϕϕμ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 令2a b x X +=, 221a μϖ=, c 4ab E E 2-+='则： ()()()22222X 1X X E X 22X d d ϕμϖϕϕμ'-+= 此为一维线性谐振子的定态薛定谔方程，其定态波函数为：()()X H e 2X n 2X 21n 21n 22απαϕα-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=!n 其中，μϖα=，其定态能级为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='3210n 21n E n ,,,ϖ代入2b b X x ,E Ec 2a 4aϖ'=+==+-得系统的定态波函数与能级为：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a b x 2H e !22x 412n 22a b x 221n 21412n 2212 μπμϕμa n a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3210n 4a b c 21n E 2n ,,,ϖ 。