数学---湖北省武汉市第一中学2016届高三下学期期末考试(文)

湖北省武汉市第一中学2016届高三下学期期末考试（文）
（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5M =，{}1,2,3N =，则()U M N = ð（ ） A ．{}4,6
B ．{}1,2,3,5
C ．{}2,4,6
D ．{}2,4,5,6
2．若复数z 满足i 34i z =+，则复数z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．函数()1
sin ln f x x x
=+的定义域是（ ） A ．()0,+∞
B ．()e,+∞
C ．()()0,11,+∞
D ．()()1,e e,+∞
4．在△ABC 中，90A ∠=︒，(),1AB k = ，()2,3AC =
，则k 的值是（ ）
A ．23
B ．23
- C ．
32
D ．32
-
5．某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．576 B ．288 C ．192
D ．144
6．如图2是某算法的程序框图，则输出的S =（ ） A ．6
B ．27
C ．124
D ．604
7．已知异面直线a 、b 分别在平面α、β内，且c αβ= ，则直 线c 与a 、b 的位置关系是（ ） A ．c 与a 、b 都相交 B ．c 至多与a 、b 中的一条相交 C ．c 与a 、b 都不相交
D ．c 至少与a 、b 中的一条相交
8．过点()1,1C -和()1,3D ，圆心在x 轴上的圆的方程是（ ）
A ．()2
2210x y +-= B ．()2
2210x y ++= C ．()2
2210x y -+= D ．()2
2210x y ++= 9．小明同学每天下午4:00到5:00之间放学到家学习，小刚同学每天下午4:30到5:30之 间到达小明家给他辅导功课，则小刚到小明家时就能见到小明的概率是（ ） A ．1
B ．0.875
C ．0.65
D ．0.5
10．在直角坐标系平面中，已知点()11,2P ，()222,2P ，()333,2
P ，…，()
,2n n P n ，其中n 是正整数，对于平面上任意一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P
的对称点，…，n A 为1n A -关于点n P 的对称点，则对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A
的 坐标为（ ）
A ．()421,
3n n ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．22,3n n +⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()221,
23n n ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
D ．12,23n n +⎛⎫
⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．已知等差数列{}n a ，满足576a a +=，则此数列的前11项的和11S = ． 12．函数()3239f x x ax x =++-，已知3x =-是函数()x f 的一个极值点，则实数a = ．
13．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0
303x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
给定．若(),P x y 为D
上动点，点A 的坐标为()1,3，则z OP OA =⋅
的最大值是 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(),ρθ（0ρ>，02
θπ
<<
）中，曲线
ρθ=与cos ρθ=的交点的直角坐标系坐标为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一 点，从P 引两圆的切线PC 、PD
，若PC =，则PD = cm ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数()12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．
（1）求712f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）若3cos 5θ=，,02θπ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，求23f θπ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭．
17．（本小题满分12分）
在某中学举行的环保知识竞赛中，随机抽取x 名参赛同学的成绩（得分的整数）进行整理后分成五组，绘制出如图4所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数为40． （1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图，画出频率分布折线图；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本中随机取20人，则第三组和第四组各抽取多少人？ （3）在（2）的条件下，从第三组和第四组抽取的人中任选取2人，则她们不在同一 组别的概率是多少？
18．（本小题满分14分）
如图5,1111ABCD A B C D -是长方体，已知12AA AC ==,AB =O 、1O 分别是上下
底面ABCD 和1111A B C D 的对角线的交点,E 是BC 的中点．
（1）求证：1C E ∥平面1ABO ； （2）求证：BD ⊥平面1ACO ； （3）求点A 到平面1BCO 的距离．
19．（本小题满分14分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满()()
222234230n n S n n S n n -----=，
n ∈*N ．
（1）求1a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令3
2
n n b a =+，证明：对一切正整数n ，有12233411n n b b b b b b b b +++++< ．
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标xOy 中，动点(),P x y 到定直线l ：2x =-的距离比到定点()1,0F 的距离大1，
(),0D a 是x 轴上一动点．
（1）求动点P 的轨迹方程G ；
（2）当1a =-时，过D 作直线，交动点P 的轨迹于()11,M x y 、()22,N x y 两点，证 明：12y y 为定值；
（3）设()14,A y 是轨迹方程G 在x 轴上方的点，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ， C 为OB 的中点，以C 为圆心，CO 为半径作圆1C ，讨论直线AD 与圆1C 的位置关系．
21．（本小题满分14分）
已知函数()22ln f x x a x =-（a ∈R 且0a ≠）． （1）当1a =时，求函数()y x f =的极值； （2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值。

参考答案
一、选择题
1．A ．【解析】{}1,2,3,5M N = ，(){}4,6U M N = ð． 2．A ．【解析】由i 34i z =+得34i
43i i
z +=
=-，所以43i z =+对应的点位于第一象限．
3．C ．【解析】由0
1x x >⎧⎨≠⎩可得0x >且1x ≠，于是()()0,11,x ∈+∞ ．
4．D ．【解析】由AB 与AC 垂直，可得230AB AC k ⋅=+= ，所以32
k =-．
5．B ．【解析】由三视图可知，该几何体为一个三棱柱，体积为相对应的长方体的体积一 半，所以体积为1
86122882
V =
⨯⨯⨯=． 6．C ．【解析】第一次执行循环，1S =，2n =；第二次执行循环，6S =，3n =；第三 次执行循环，27S =，4n =；第四次执行循环，124S =，5n =．此时退出循环，输 出124S =．
7．D ．【解析】不能选C ，否则c 与a 、b 分别平行，进而a ∥b ，与a 、b 为异面直线相 矛盾；若c 与a 、b 中一条平行，而与另一条相交，由直观性易知，这是可能的；同样，
c 与a 、b 都相交也是可能的．
8．C ．【解析】线段CD 的垂直平分线方程为2y x -=-，即为2y x =-+．令0y =，得2x =，
即圆心为()2,0．由两点间的距离公式，得r
程为()2
2210x y -+=．
9．B ．【解析】设小明x 时刻到家，则45x <<，小刚y 时刻到 小明家，则4.5 5.5y <<，两人若要相会，需y x ≥，即小刚 在小明到家之后到达．如图所示，由几何概型求得0.875P =．
10．A ．【解析】设n 为任意偶数，则00224n A A A A A A =+++
2n n A A - ，由条件可知2222122k k k k A A P P --= ，所以()
0123412n n n A A PP
P P P P -=+++ ()()()()()3
1
22142121,21,21,2
2,,233n n n n n -⎛⎫⎛⎫
--⎡⎤ ⎪ ⎪=+++==⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 二、填空题
11．填33．【解析】()()1115711111161133
2
2
2
a a a a S +⨯+⨯⨯=
===．
12．填5．【解析】()2323f x x ax '=++，则3x =-为方程23230x ax ++=的根，所以5a =．
13．填12．【解析】3z OP OA x y =⋅=+
，画出不等式组所表示
的平面区域，平移代表直线30x y +=，可得直线过点
()3,3B 时目标函数取得最大值12．
14．填34⎛ ⎝⎭
．【解析】两式相除得tan θ=，所以6θπ=，
cos
6ρπ==3cos 64x ρθπ===，sin 6y ρθπ==，所以
交点的直角坐标系坐标为34⎛ ⎝⎭
．
15．填【解析】由切割线定理可得2PC PA PB =⋅，2PD PA PB =⋅，所以22PC PD =，
即PC PD ==． 三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为()12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
772
12121233f πππππ⎛⎫⎛⎫
=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ……4分
（2）因为3cos 5θ=
，,02θπ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以4sin 5θ===-．
……6分
所以43
24sin 22sin cos 255
25θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，297cos22cos 1212525θθ=-=⨯-=-．
……8分
所以22233124f θθθππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
72431
25252cos2cos sin 2sin 445θθππ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎭⎝⎛⎫
--=- ⎝⎭⎭⎪．……12分
17．（本小题满分12分）
【解析】（1）因为各小组的频率之和为1，第一、三、四、五组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，所以第二小组的频率为()10.300.150.100.050.40-+++=． ……2分
因为第二小组的频率为0.40，所以落在59.569.5-的第二小组的小长方形的高
0.40.0410
=
==频率组距，由此可补全频率分布直方图（图阴影部分）和频率分布折线图如图所
示．
……4分
（2）因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以
40
0.40x
=，得100x =（人）
． ……6分
所以第三组抽取的人数为
20
1000.153100
⨯⨯=（人）
，第四组抽取的人数为20
1000.102100
⨯⨯=（人）
．
……8分
（3）用1a 、2a 、3a 表示第三组抽取的三位学生，第四组抽取的二位学生用1b 、2b 表示，则所有的基本事件为：()12,a a 、()13,a a ，()11,a b 、()12,a b 、()23,a a 、()21,a b 、()22,a b 、
()31,a b 、()32,a b 、()12,b b ，共10种．
……10分
其中满足条件的基本事件为：()11,a b 、()12,a b 、()21,a b 、()22,a b 、()31,a b 、()32,a b ，
共6种．
……11分 所以所求概率为63
105
P =
=．
……12分
18．（本小题满分14分）
【证明】（1）如图，设AB 的中点为F ，连结EF 、1FO ．因 为O 、1O 分别是上下底面ABCD 和1111A B C D 的对角线的交点，E 是BC 的中点，所以EF ∥AC ，且1
=
2
EF AC ． ……1分
而11111
=
2
C O AC ，又因为
AC ∥11AC ，且11AC AC =，所以 EF ∥11C O ，且11EF C O =，所以四边形11EFO C 是平行四边形，所以1C E ∥1FO ．
……3分
又因为1FO ⊂平面1ABO ，1C E ⊂/平面1ABO ，所以1C E ∥平面1ABO ． ……4分
（2）因为1111ABCD A B C D -是长方体，且12AA AC == ，AB
BC ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥．
……6分
连结1OO ，因为O 、1O 分别是上下底面ABCD 和1111A B C D 的对角线的交点，所以1OO ⊥
平面ABCD ，从而有1BD OO ⊥．
……7分
因为AC 、1OO ⊂平面1ACO ，且1AC OO O = ，所以BD ⊥平面1ACO ．……8分
【解析】（3）因为1CO ，1BO =△1BCO 是等腰三角形，
连结1EO ，1EO BC ⊥，且1EO ==
． ……9分
所以11113222
BCO S BC EO =
⋅==△． ……10分
设点A 到平面1BCO 的距离为h ，则三棱锥1A BCO -的体积
111133322
A BCO BCO h
V S h h -=⋅=⨯=△．
……11分
又三棱锥1O ABC -的体积111
112
23323
O ABC ABC V S OO -=⋅=⨯=△．……12分 因为11A BCO O ABC V V --=，即
223h =，所以4
3
h =，即点A 到平面1BCO 的距离为43．
……14分
19．（本小题满分14分）
【解析】（1）令1n =，得21120S S +-=，即()()11210S S +-=． ……1分 因为10S >，所以11S =，即11a =．
……2分
（2）由()()2
22234230n n S n n S n n -----=得()()
22230n n S S n n ⎡⎤+--=⎣⎦．
……4分
因为0n a >，n ∈*N ，所以0n S >，从而20n S +>，所以()2
132
n S n n =
-． ……6分
当2n ≥时，()()()2
211133113222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=
-----=-⎣
⎦． ……8分 当1n =时，11a =上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-．……9分 【证明】（3）因为3312322n n b a n n =
==+-+，所以()111111
n n b b n n n n +==-++． ……11分
所以1223341111111122334n n n n b b b b b b b b b b -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
111111111n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
．
……14分
20．（本小题满分14分）
【解析】（1）依题意得，动点(),P x y 到定直线l ：1x =-的距离与到定点()1,0F 的距离相等，所以动点(),P x y 的轨迹是以直线l ：1x =-为准线，定点()1,0F 为焦点的抛物线．
……2分
因为
12
p
=，所以24p =，所以动点P 的轨迹方程为24y x =． ……4分
【证明】（2）当1a =-时，设过()11,M x y 、()22,N x y 的直线方程为()1y k x =+．
……5分
由()2
14y k x y x
⎧=+⎪⎨=⎪⎩，可得2440ky y k -+=，于是1244k y y k ==，即12y y 为定值． ……8分
【解析】（3）由（1）和条件得14y =，所以A 、B 的坐标分别为()4,4A 、()0,4B ，所以圆1C 的圆心是点()0,2C ，半径为2．
……9分 当4a =时，直线AD 的方程为4x =，此时直线AD 与圆1C 相离． ……10分 当4a ≠时，直线AD 的方程为()4
4y x a a
=--，
即()4440x a y a ---=，圆心()
0,2C 到直线AD 的距离
d =令2d >，解得1a >；令2d =，解得1a =；令2d <，
解得1a <．
……12分
综上所述，当1a >时，直线AD 与圆1C 相离；当1a =时，直线AD 与圆1C 相切；当1a <时，直线AD 与圆1C 相交．
……14分
21．（本小题满分14分）
【解析】（1）函数()22ln f x x a x =-（a ∈R 且0a ≠）的定义域为()0,+∞．当1a =时，
()22ln f x x x =-．
……2分 令()()()211220x x f x x x x
+-'=-
==，解得1x =±．
……4分
当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()y x f =在1x =处取得极小值，极小值为()11f =．
……6分
（2）因为函数()2
2ln f x x a x =-的定义域为()0,+∞，且()()2
222x a a f x x x x
-'=-=． ……7分
①若0a <，则有()()220x a f x x
-'=
>，所以函数()y x f =在定义域为()0,+∞内为增
函数，所以函数()22ln f x x a x =-在区间[]1,2上为增函数，所以函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()11f =．
……9分
②若0a >，
由于(
)(2222x x x a f x x x
-'==
，所以函数()
f x 在区间(
上为减函数，在区间)+∞上为增函数． ……10分
（i 1，即01a <≤时，[])1,2⊂+∞，函数()22ln f x x a x =-在区间[]
1,2上为增函数，所以函数()f x 在[]1,2的最小值为()11f =．
……11分
（ii ）若12，即14a <≤时，函数()22ln f x x a x =-在区间(为减函数，
在)上为增函数，所以函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为ln f a a a =-．
……12分
（iii 2，即4a >时，[](1,2⊂，函数()f x 在区间[]1,2上为减函数，所以函数()f x 在[]1,2的最小值为(2)42ln 2f a =-． ……13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,2上的最小值为()11f =；当
14a <≤时，函数()f x 在区间[]1,2的最小值为ln f a a a =-；当4a >时，函数()
f x 在区间[]1,2上的最小值为(2)42ln 2f a =-．
……14分。