内蒙古包头四中等比数列高考重点题型及易错点提醒 百度文库

一、等比数列选择题
1．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
2．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n
n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
3．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2±
B ．2
C ．3±
D ．3
4．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
5．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45
B ．54
C ．99
D ．81
6．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）
A ．15
B ．10
C ．5
D ．3
7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）
A ．3
B ．12
C ．24
D ．48
8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
2n n S a n n N =+∈，则3
a
=（ ）
A ．7-
B ．3-
C ．3
D ．7 9．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ）
A ．6
B ．16
C ．32
D ．64
10．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-
，31
4
a =，则q =（ ）
A ．1-
B ．4
C ．12-
D ．1
2
±
11．题目文件丢失！
12．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
13．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
14．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）
A ．
19
B ．9
C ．
13
D ．3
15．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
16．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥
B ．若13a a =，则12a a =
C ．222
1322a a a +≥
D ．若31a a >，则42a a >
17．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11
,,232
n q a ==则项数n 为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
18．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 14a =，则
14
m n +的最小值为（ ） A ．
53
B ．
32
C ．
43
D ．
116
19．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ）
A ．16
B ．16-
C ．20
D ．16或16-
20．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152
B ．142
C ．132
D ．122
二、多选题
21．设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B ．若2
n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列
C ．若()11n
n S =--，则{}n a 是等比数列
D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a <<
B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
23．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，13511121
4
a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．531
4
S =
C ．公比4q =或
14
D ．14a =或
14
24．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列
D ．3a ，6a ，9a 成等比数列
25．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1
13()2
n n a -=⋅-
B ．36n
n S a =+
C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a
3a =，则19p s +的最小值为83
D ．若1n n t S m S ≤-
≤恒成立，则m t -的最小值为116
26．已知集合{
}*
21,A x x n n N
==-∈，{}*
2,n
B x x n N ==∈将A
B 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ）
A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
27．数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值
为（ ） A ．1023
B ．341
C ．1024
D ．342
28．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
29．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件
120192020
1,1a a a >>,
201920201
01
a a -<-,下列结论正确的是（ ） A ．S 2019<S 2020
B ．2019202010a a -<
C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值
D ．数列{}n T 无最大值
30．已知数列{}n a 的首项为4，且满足(
)*
12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（ ）
A ．n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列 B ．{}n a 为递增数列
C ．{}n a 的前n 项和1
(1)24n n S n +=-⋅+
D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
2
n n n T +=
31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a +++
+=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 32．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列
(){}n
f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在
()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）
A ．()2
f x x =
B ．()2x
f x
=
C ．()f x =
D ．()ln f x x =
33．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前
n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）
A ．数列{}1n a +是等差数列
B ．数列{}1n a +是等比数列
C ．数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-
D ．1n T <
34．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m = C ．若
11
16
25n
i i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则
116m n
+的最小值为25
12
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
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一、等比数列选择题 1．C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，
所以2
12021220201011...1a a a a a ====，
因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
2．C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n
a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则11
1121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭
， 所以121n n a =-，故1010
11
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 3．D 【分析】
根据等比数列定义知3
813q =，解得答案.
【详解】
4个数成等比数列，则3
813q =，故3q =.
故选：D. 4．A 【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2
326a a a =，
即2
(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，
故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)
661(2)2422
S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 5．C 【分析】
利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，因为3
41a a q =，所以3q =，所以24
352299a a q q +=+=.
故选C 6．A 【分析】
根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()5
2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+
⋅++=
()2475log 15a a =⋅=.
故选：A. 7．C 【分析】
题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】
根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为
1a ，则有()717
1238112
a S ⋅-=
=-，解得13a =，中间层灯盏数3
4124a a q ==，
故选：C. 8．A 【分析】
先求出1a ，再当2n ≥时，由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-，两式相减后化
简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出
n a ，可求得3a 的值
【详解】
解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-，两式相减得
1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，
所以112(1)n n a a --=-，
所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，
所以1122n n a --=-⨯，所以1
221n n a -=-⨯+，
所以232217a =-⨯+=-，
故选：A 9．C
【分析】
根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q
，
所以55
678123()1232a a a a a a q ++=++⋅=⨯=.
故选：C ． 10．C 【分析】
利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】
()21114
2211
1111
22211121644a a q a q q q q a q a q ⎧⎧=-=--⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎪⎪=⋅=
⎪⎪⎩⎩
， 故选：C.
11．无
12．C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】
第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫
=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
，
由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg 1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 13．B 【分析】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得
515(12)
512a S -==-，解得1
531
a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天． 【详解】
设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，
由题意得515(12)
512a S -==-，解得1531a =
， 5
(12)
3120
12
n n S -∴=-，解得2125n ． 因为6264=，72128=
∴该女子所需的天数至少为7天．
故选：B 14．D 【分析】
利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用2
1
a a 求出公比即可 【详解】
设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈，
则31327a ==，4
2381a ==，2
1
3a q a ∴
==， 故选：D 15．C 【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3
78a =，
所以72a =，因此2
31174a a a ==.
故选：C. 16．C 【分析】
取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】
解：设等比数列的公比为q ，
对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；
对于B 选项，若13a a =，则2
11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222
1313222a a a a a +≥⋅=，故正确；
对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()
1422
1a a a q q -=-，其正负由q 的符
号确定，故D 不确定. 故选：C. 17．C 【分析】
根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】
由题意可得等比数列通项5
1
11122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则5n = 故选：C 18．B 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2
2q q =+，解得2q
，
根据存在两项m a 、n a
14a =
14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】
解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，
22q q ∴=+，
解得2q
，
存在两项m a 、n a
14a =，
∴14a =，
6m n ∴+=，
m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
则
14m n
+的最小值为143242+=．
故选：B ． 19．A 【分析】
根据等比数列的通项公式得出6
18a q =，10
132a q
=且10a >
，再由
819a a q ==.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则6
18a q =，10
132a q
=且10a >
则81916a q a ====
故选：A 20．A 【分析】
根据29T T =得到7
61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由29T T =得：7
61a =， 故61a =，即5
11a q =. 又2
121512a a a q ==，
所以9
1
512
q =， 故12
q =
， 所以()()21112
2
123411...2n n n n n n n T a a a a a a q
--⎛⎫=== ⎪⎝⎭
,
所以n T 的最大值为15
652T T ==.
故选：A.
二、多选题
21．BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;
选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，
12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;
选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*
32()n n S S n N -∈是等差数
列，故对; 故选：BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-， 当n =1
时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k
时，21)2k k ->
21)k k ->， 则当n=k +1
1121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈
，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 23．BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由已知得11121
14
a a ++=，解方程计算即可得答案. 【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，
因为2
153
1a a a ==，2311a a q == ， 所以511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=， 解得1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩或1
142.
a q ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩， 当14a =，12q =时，5514131
21412
S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭==-，数列{}n a 是递减数列；
当11
4
a =
，2q 时，531
4
S =
，数列{}n a 是递增数列； 综上，5314
S =. 故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质，等比数列的基本量计算，考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=，进而解方程计算. 24．AD 【分析】
根据等比数列的定义判断． 【详解】
设{}n a 的公比是q ，则1
1n n a a q -=，
A ．23513
a a
q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32
a q a =，363a
q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；
C ．
24
2a q a =，484
a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．3
6936
a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,
a a a 仍是等比数列，
实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,
n k k k k a a a a 仍是等比
数列． 25．ABD 【分析】
根据等差中项列式求出1
2
q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；
3a =求出15p s =⎧⎨
=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1
p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为
11
4，C 不正确；利用1n n
y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结
果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由13a =，21344a a a -=+得2
43343q q -⨯=+⨯，解得1
2
q =-
，所以11
3()2
n n a -=⋅-，
1
3(1())
1221()121()2
n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；
1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛
⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝
⎭；所以A ，B 正确；
3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，
所以11
4p s q
q
q --=，所以6p s +=，
则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1p s =⎧⎨=⎩
，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，
122,2121()2122,2n
n n n
n S n ⎧⎛⎫
+⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩
为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3
[,2)2
n S ∈，
又1n n y S S =-
关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138
(,]23
n n S S -
∈，当n 为偶数时，153
[,)62n n S S -
∈，所以83
m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】
本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 26．CD 【分析】
由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，利用列举法，结合等差数列
以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，
利用列举法，可得当25n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,2,4,8,16,32，
可得52520(139)2(12)40062462212
S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，
不满足112n n S a +>； 当26n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,2,4,8,16,32，
可得52621(141)2(12)
44162503212
S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，
不满足112n n S a +>； 当27n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,2,4,8,16,32，
可得52722(143)2(12)
48462546212
S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，
满足112n n S a +>； 当28n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，
可得52823(145)2(12)
52962591212
S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，
满足112n n S a +>，
所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．AB 【分析】
首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】
解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为
22a =，48a =，所以2
4
2
4a q a =
=，所以2q =±， 当2q
时11a =，所以10
1012102312
S -==-
当2q =-时11a =-，所以()(
)()
10
1011234112S -⨯--==--
故选：AB 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 28．BD
证明
12
33 BE BA
BC
=+，所以选项B 正确；设BD tBE
=（0
t>），易得
()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，显然
1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A 错误；数列{
1
n n
a a
-
-}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，易得3
21
a=，选项C不正确.
【详解】
因为2
AE EC
=，所以
2
3
AE AC
=，
所以
2
()
3
AB BE AB BC
+=+,
所以
12
33
BE BA BC
=+，所以选项B正确；
设BD tBE
=（0
t>），
则当n≥2时，由()()
11
23
n n n n
BD tBE a a BA a a BC
-+
==-+-，所以
()()
11
11
23
n n n n
BE a a BA a a BC
t t
-+
=-+-，
所以()1
11
2
3
n n
a a
t-
-=，()
1
12
3
3
n n
a a
t+
-=，
所以()
11
322
n n n n
a a a a
+-
-=-，
易得()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，
显然1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A错误；
因为2a-1a=4，1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-，
所以数列{1
n n
a a
-
-}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，
易得321
a=，显然选项C不正确.
故选：BD
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 29．AB 【分析】
由已知确定0q <和1q ≥均不符合题意，只有01q <<，数列{}n a 递减，从而确定
20191a >,202001a <<，从可判断各选项．
【详解】
当0q <时，2
2019202020190a a a q =<，不成立；
当1q ≥时，201920201,1a a >>，
201920201
01
a a -<-不成立；
故01q <<，且20191a >,202001a <<，故20202019S S >，A 正确；
2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；
因为20191a >,202001a <<，所以2019T 是数列{}n T 中的最大值，C ，D 错误； 故选：AB 【点睛】
本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定20191a >,202001a <<． 30．BD 【分析】
由12(1)0n n n a na ++-=得
121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于
1
1
1222
n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】
由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的
等比数列，故A 错误；因为11422n n n
a n
-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；
因为23
112222n n S n +=⨯+⨯+
+⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以 2
3
1
2
1222
2
n n n S n ++-=⨯++
+-⋅(
)222122
12
n
n n +-=
-⋅-，故
2(1)24n n S n +=-⨯+，
故C 错误；因为1
11
222
n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2
(1)22n n n n n T ++==，
故选：BD 【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 31．ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，2
20192019202020192018a a a a a =-，可得222
12201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 32．AC 【分析】
直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q .
对于A ，则
2
2
211
12()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则
1
11()22()2
n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B
不是“保等比数列函数”； 对于C
，则
1()
()
n n f a f a +==
=，故C 是“保等比数列函数”；
对于D ，则
11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n n
a a q a q
q f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 33．BCD 【分析】
由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公
式可得n a ，1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】
解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，
可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
则12n
n a +=，即21n n a =-，
又1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得2
2311111111
111212*********
n n n n T ++=-
+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 34．AB 【分析】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫
- ⎪-+⎝⎭
,通过裂项求和可求得
11
1
n
i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002
+.所以A 正确;
1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为
11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以11
11111116=1=455494132451n i i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以
()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45
n m =不成立,故选项D 错误.
故选:AB.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 35．BC
【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，
()
11515815152a a S a +==为定值，但()
()11616891682a a S a a +==+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。