数学周测试题(9.23)

4. 二次函数 t
的图象可由 t 的图象怎样平移得到
A. 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B. 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
C. 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D. 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位
. 二次函数 t 与一次函数 t
在同一坐标系中的大致图象可能是
该函数图象与 x 轴交点横坐标必大于 ，小于 ， t．
ἐࣵ证 t ἐࣵ ． ἐࣵ t ἐࣵ，ࣵ证 t ࣵ ，
设函数 t
1 4，
当 t h 时， t 4；当 t 1 时， t
4
h
，
66
h
解得：
．
；当 t 时， t
6；当 t 时， t 6
，
23.【答案】解： 1 设水柱所在抛物线 第一象限部分 的函数表达式为 t
h. （7 分）关于 x 的方程
th
1 有两个不等的实数根，求 a 的取值范围；
若 1、
是方程的两根，且 1
1
1 t 1，求 a．
1. （7 分）某商品的进价为每件 40 元，售价每件不低于 60 元且每件不高于 80 元．当售价为每件 60 元是，每个月可卖出 100 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 2 件．设每件商品的 售价为 x 元 为正整数 ，每个月的销售利润为 y 元． 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 当每件商品定价为多少元使得每个月的利润恰为 2250 元？
h ；请你继续探索；当 t t ἐࣵ 时， ἐt 的度数是______．
16. 我们把 a、b 两个数中较小的数记作 ݅ ݊ t ܽ，直线 t ࣵ ࣵ ࣵ h 与函数 t ݅ ݊ 1、
1ܽ的图象有且只有 2 个交点，则 k 的取值为______ ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分）
1 . （6 分）已知抛物线的顶点坐标是 t ，并且经过点 ht 1 ，求它的解析式．
t 1. ，
解得： 1 t 1， t ， 为了不被淋湿，身高 1. 米的人，站立时必须在离水池中心 7 米以内；
h
ἐt t 6h ．
延长 EC 交 BD 于点 H，
在 ἐࣵ 和 tࣵ 中，
t tἐ tࣵ t ἐࣵ， ࣵ tࣵ
ἐࣵ ≌ ἐࣵ证 砀砀砀 ，
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ἐ ࣵ t t ࣵ， ἐt，ἐ t 1 ἐt．
在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 32 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中 心的立杆上点 T 处汇合，请探究扩建后喷水池水柱的最大高度．
4. （10 分）已知四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且 ἐ t ࣵ ． 1 如图 1，连接 BG、t .求证：ἐ证 t t ； 如图 2，如果正方形 ABCD 的边长为 ，将 正方形 CEFG 绕着点 C 旋转到某一位置时恰好 使得 ࣵ证䁪䁪ἐt，ἐ证 t ἐt． 求 ἐt 的度数； 请直接写出正方形 CEFG 的边长的值．
学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有 157 人，帅童给______个同学发了短信．
1. 若
1t 1 、ἐ
t
、ࣵ
t
为函数
t
1 4
4 图象上的三个点，其中
t4且 1
1h
4，则 1、 、 之间的大小关系是______
1 . 若抛物线 t
与 x 轴只有一个交点，且过点
1t 、ἐ
t ，则 t______．
ἐt h
tἐ
ࣵ≌ ἐ 砀 ，
ࣵ t ，ࣵ t ἐ ，
ࣵ t ࣵt，
ࣵt t ，
ࣵ tt ，
t tἐ ，
ἐt 是等腰直角三角形，
ἐt t tἐ t 4 ，
ἐt t t ἐ tἐ t h 4 t 1 ；
证 t1 ， 1t ，
线段 GH 为
t
1 4
4
1，
与
t
1 4
1
1 4
联立得：1
4
1
1
1
4
4
4 t h，
A. 1
B.
C. 1
D. 0
. 观察下列表格，估计一元二次方程
t h 的正数解在
x
1
0
1
2
3
4
1
5
13
23
A. 1 和 0 之间
B. 0 和 1 之间
C. 1 和 2 之间
D. 2 和 3 之间
. 若 t 是关于 x 的方程
t 的解，则 h1
的值为
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. 2019
. （8 分）数学代数知识中，方程、函数、不等式存在着紧密的联系，请阅读两则材料，回答问题：
材料一：利用函数图象找方程
1 t h 解的范围．设函数 t
1，当 t 时， t
h；当 t 1 时， t 1 t h 则函数 t
1 的图象经过两个点 t 与 1t1 ，而点
t 在 x 轴下方，点 1t1 在 x 轴上方，则该函数图象与 x 轴交点横坐标必大于 ，小于 1.
是抛物线的顶点，
tἐ ，
当
t
时，抛物线为
t
1 4
，
令 t h，则14
t h，解得 1 t ， t 6，
6th ，ἐ th ，
ἐt ，
ἐ t 64，
t 4，
t6
h4t ，
ἐt ，
ἐ t ἐ t 64，
ἐ 是等腰直角三角形，
ἐt h ，
ἐ
ࣵt h ，
ࣵ ࣵt，
ࣵ
ࣵt h ，
ࣵt ἐ ，
ࣵt ἐ
在
ࣵ和 ἐ 中 ࣵ t
20.【答案】解： 1 即 a 的取值范围为：
，
4
t．
21.【答案】解： 1 t 4h ሻ1hh 6h h t
t
hh
hh t
4 h，
hh
hh； 6h
h 且 x 为整数
24.【答案】 1 证明： 四边形 ABCD 和 CEFG 为正方形，
ἐࣵ t tࣵ，ࣵ证 t ࣵ ， ἐࣵt t 证ࣵ t h ． ἐࣵt tࣵ证 t 证ࣵ tࣵ证， ἐࣵ证 t tࣵ ．
得到线段 ʹt.要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是
A. 4 B. 5 C. 6
D. 8
. 如图，二次函数 t
的图象经过点
th ，其对称轴为直线 t 1，有下列结论：
h；
t h；
关于 x 的方程
t 有两个不相等的实数根；
若
t 1，
值范围是
t 是抛物线上两点，且 1 t ，则实数 m 的取 ．
22.【答案】解： 1 设函数 t
，当 t
函数 t
的图象经过两个点 t16 与
点 t16 在 x 轴上方， t 1 在 x 轴下方，
时， t 16 t h；当 t t 1，
时， t 1 h，
ἐࣵ证 t ἐࣵt 证ࣵt t h 4 t 1 ．
证ࣵ t h ，
ἐࣵ t 6h ἐࣵ证 证ࣵ t 6h 1
h t1 ．
故，方程
1 t h 有解，且该解的范围为
1．
材料二：解一元二次不等式 1
h.由“异号两数相乘，结果为负”可得：
情况 ，
1 h得 1 ，则 th t
1．
情况
1 t h，得 t 1 ，则无解． 故， h
ห้องสมุดไป่ตู้
1
h 的解集为
1．
1 请根据材料一解决问题：已知方程
t h 有唯一解 h，且
h
1 为整数 ，
求整数 a 的值．
在 ἐࣵ证 和 tࣵ 中， ἐࣵ t tࣵ
ἐࣵ证 t tࣵ ， ࣵ证 t ࣵ
ἐࣵ证≌ tࣵ 砀 砀 ． ἐ证 t t ；
解： 连接 BE． 由 1 可知：ἐ证 t t ．
当 t 时，y 有最大值 2450． 售价为 65 元时，每个月的利润恰为 2250 元．
ࣵ证䁪䁪ἐt， tࣵ证 t ἐtࣵ t 4 ．
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答案和解析
1.ACCAD BCD 9.【答案】 t 或 t 10.【答案】15 11.【答案】12 12.【答案】 1 13.【答案】4 14.【答案】 1 15.【答案】 h 或 1 h 16.【答案】
或 或1
17.【答案】解析式为 t
4 1． 18.【答案】 t 1 ．
19.【答案】人行通道的宽度为 2 米．
A.
B.
C.
D.
6. 抛物线 t ࣵ
的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是
A. ࣵ t 4
B. ࣵ
且
4
ࣵ
h
C. ࣵ 4
D. ࣵ t
且
4
ࣵ
h
. 如图，在等边 ἐࣵ 中，点 O 在 AC 上，且 ʹ t ，ࣵʹ t 6，点
P 是 AB 上一动点，连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 6h
请结合材料一与材料二解决问题：若关于 x 的方程
且 1 1 h，
，求 m 的取值范围．
1 4 t h 的解分别为 1、 ，
. （14 分）在平面直角坐标系中，抛物线
t
1 4
1
1 4
顶点为 M．
1 点坐标为______ 结果用 m 表示 ．
当 t 时，如图所示，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点．P 为抛物线第二象限一点，过 A 作
1 . （6 分）当 x 满足条件
1 −4
− −4
时，求出方程
4 t h 的根．
1 . （6 分）如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空
地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和
为 4 h ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则
人行通道的宽度为多少米？
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令
t
1 4
1
1
1
4
4
，
4
若抛物线
t
1 4
1
1
1
4
4
与线段
4
GH
只有
1
个公共点，
即函数 y 在
1 范围内只有一个零点，
当t
时，
t
1 4
t h，
1
4 t h，
此种情况不存在，
当 t 1 时， t 1
4
解得 4
h，
4
4．
第 4页，共 4页
h，
将 th 代入 t
，得：
t h，
解得： t 1，
在 ἐࣵ证 和 ἐࣵ 中，
ἐࣵ t ἐࣵ ἐࣵ证 t ἐࣵ ，
证ࣵ t ࣵ ἐࣵ证≌ ἐࣵ 砀 砀 ．
ἐ证 t ἐ ．
ἐ证 t ἐt t t ，
ἐt t ἐ t t ．
ἐt 为等边三角形．
水柱所在抛物线 第一象限部分 的函数表达式为 t 1
h
．
当 t 1. 时，有 1
数学周测试题（9.23）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1. 一元二次方程
t h 的二次项系数是 3，它的一次项系数是
ἐࣵ t ࣵt t ，在 t ἐࣵt 中由勾股定理，得
ἐt t ἐࣵ ࣵt t
t．
ἐ t 1．
ࣵ t 1．
在 t ἐ 中，由勾股定理，得
t，
ࣵt
1．
正方形 CEFG 的边长为 1．
25.【答案】 t
【解析】解： 1
抛物线
t
1 4
1
1 4
t
1 4
，
顶点为 M 为 t
，
故答案为 t
；
过 B 点作 ἐ ࣵt，交 CD 的延长线于 N，连接 BM、AM，
14. 二次函数 t 1
1 的图象经过原点，则 a 的值为
．
1 . 小南利用几何画板画图，探索结论，他先画
t h ，在射线 AM 上取
一点 B，在射线 AN 上取一点 C，连接 BC，再作点 A 关于直线 BC 的对称点
D，连接 AD、BD，得到如图形，移动点 C，小南发现：当 t t ἐࣵ 时， ἐt t
MP 的垂线，垂足为 C，D 为射线 CM 上一点，若 ࣵ t ࣵt，求 ἐt ；
证 t1 ， 1t ，若该抛物线与线段 GH 只有一个公共点，求 m 的取值范围．
. （8 分）有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在 距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的立杆上点 T 处 汇合．如图所示为截面图，以水平方向为 x 轴，喷水池中 心为原点建立直角坐标系． 1 求水柱所在抛物线 第一象限部分 的函数解析式； 正在喷水时，身高 1. 米的人，应站在离水池中心多 远的地方就能不被淋湿？
其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
. 方程
t
的根为______．
1h. 方程
1 t h 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．
11. 10 月 8 号到校前，帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学，每个收到的同学又给相同数量的同