2018秋新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.3.1

§3　指数函数
第1课时　指数函数的图像和性质
课时过关·能力提升
1若函数y=(2a 2-5a+4)a x 是指数函数,则a 的值为( )
A.1或
B.1
32C. D.以上均不正确
32解析:由2a 2-5a+4=1,解得a=(a=1舍去).
32答案:C
2若函数y=a x -(b+1)(a>0,a ≠1)的图像在第一、三、四象限,则有( )
A.a>1且b<0
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b>0
D.0<a<1且b<0
答案:B
3已知集合M={-1,1},N=,则M ∩N=( )
{x |12<2x +1
<4,x ∈Z }A.{-1,1} B.{-1}
C.{0}
D.{-1,0}
解析:N={x|2-1<2x+1<22,x ∈Z },又y=2x 在R 上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x ∈Z }={x|-2<x<1,x ∈Z }={-1,0},所以M ∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.答案:B
4函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有(
)
A.f (xy )=f (x )f (y )
B.f (xy )=f (x )+f (y )
C.f (x+y )=f (x )f (y )
D.f (x+y )=f (x )+f (y )
解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C .
答案:C
5设<1,那么( )1
2 016<(12 016)b <(12 016)a
A.a a <b b <b a
B.a a <b b <a
C.a b <b a <a a
D.a b <a a <b a
解析:∵函数f (x )=为减函数,且<1,(1
2 016)x 12 016<(1
2 016)b <(12 016
)a
∴0<a<b<1.
∴函数g (x )=a x 为减函数,即a b <a a ,函数h (x )=x a 为增函数,即a a <b a ,故a b <a a <b a ,故选
D .
答案:D
6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.
答案:C
7已知指数函数y=f (x )的图像过点(1,3),则f (f (1))= .
答案:27
8已知函数f (x )=则f (-3)的值为 .
{
f (x +2),x <2,2-x ,x ≥2,解析:f (-3)=f (-1)=f (1)=f (3)=2-3=.
18答案:189当x ∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为 .
解析:∵x ∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的,
∴3-2+1-2≤y ≤30+1-2,即-≤y ≤1.
53答案:
[-53,1]10若函数f (x )=a x -1(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a 的值.
分析:解答本题的关键是根据函数f (x )的定义域[0,2],确定f (x )的最大值与最小值,要注意底数a 的取值(a>1还是0<a<1)对f (x )最值的影响,然后根据f (x )的最值列出关于a 的方程求解.
解当a>1时,函数f (x )=a x -1在[0,2]上是增加的,
由题意可知,{
a 0-1=0,a 2-1=2,
解得a=(a=-舍去).
33当0<a<1时,函数f (x )=a x -1在[0,2]上是减少的,由题意可知,此时a 无解.
{a 0-1=2,a 2-1=0,综上所述,a=.
3★
11已知函数f (x )=x 2-bx+c 满足f (1+x )=f (1-x ),且f (0)=3,试判断f (b x )与f (c x )的大小关
系.
解由f (1+x )=f (1-x ),可得函数f (x )的对称轴是直线x=1,所以b=2.
所以函数f (x )在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.又f (0)=3,所以c=3.
若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,所以f (3x )≥f (2x );
若x<0,则3x <2x <1,所以f (3x )>f (2x ).
综上所述,f (3x )≥f (2x ),
即f (c x )≥f (b x ).
★12已知函数f (x )=(a>0,a ≠1).
1a x -1+12(1)求函数f (x )的定义域;
(2)判断函数f (x )的奇偶性;
(3)求a 的取值范围,使xf (x )>0在定义域上恒成立.
解(1)由a x -1≠0,解得x ≠0.
∴函数f (x )的定义域为{x|x ≠0}.
(2)f (-x )=1a
-x -1+12=a x 1-a x +12==-=-f (x ),
a x -1+11-a x +12(1
a x -1+12)∴函数f (x )为奇函数.
(3)∵f (x )为奇函数,
∴xf (x )为偶函数.
∴xf (x )>0在定义域上恒成立等价于f (x )>0在(0,+∞)上恒成立,
即>0恒成立,即>0.
1
a x -1+12a x +12(a x -1)∴a x -1>0即a x >1在(0,+∞)上恒成立,
∴a>1.
故实数a 的取值范围是(1,+∞).。