高考数学复习考点知识讲解与专项练习2---新定义型、创新型、应用型试题突破

2．(2020·新高考卷Ⅰ)基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基
本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新 冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)
的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，
x·L(x)，为使 f(x)达到最大值，则销售单价 x 应为( )
A．1 元
B．2 元
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C．3 元
D．4 元
答案 D
解析 由题意得，当 1≤x≤4 时，L(x)＝2.125；当 x＝20 时，L(x)＝0.205；当 4≤x≤20
时，L(x)＝xa2＋b(a，b 为常数)，
L（4）＝2.125，
最大值为 8.5；当 4<x≤20 时，可知函数 f(x)＝3x2＋8x在区间(4，16]上单调递减，在区间[16，
20]上单调递增，又 f(4)＝8.5，f(20)＝4.1，所以 f(x)的最大值为 8.5.综上，当 x＝4，即当销售
单价为 4 元时，月销售额可以达到最大值，故选 D.
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43 答案 5 5
解析 连接 OO ，在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 b＝4，由图可知∠O′
AB＋∠O BA＝12(∠A AB＋∠B′BA)＝12×180°＝90°，可得∠AO B＝90°，由 O 是中点，
故有球心到椭圆中心的距离是椭圆的长半轴长，在直角三角形 O OE 中，OO′2＝OE2＋O E2
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1 天，则 e0.38(t＋t1) ＝2e0.38t，所以 e0.38t1＝2，所以 0.38t1＝ln 2，所以 t1＝0ln.328≈00..6398≈1.8 天．故选 B.
给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，其中正确的
是( )
A．②
B．①②
C．②③
D．①②③
答案 D
解析 根据运算法则，可知(a*b)*c＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝lg (10a＋10b＋10c)，
所以(a*b)*c＝a*(b*c)，故①正确；结合相应式子的运算律，可知 a*b＝b*a，故②正确；(a*b) ＋c＝lg (10a＋10b)＋c.(a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)＝lg [10c(10a＋10b)]＝lg (10a＋10b)＋
T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2≈
0.69)( )
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
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答案 B
解析 因为 R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以 r＝3.286－1＝0.38，所以 I(t)＝ert＝e0.38t.
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确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化， 将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导 数等工具加以解决).
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热点考向探究
考向 1 新定义型问题
பைடு நூலகம்
例 1 (1)已知集合 M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于∀(x1，y1)∈M，∀(x2，y2)∈M，使得 x1x2 ＋y1y2＝0 成立，则称集合 M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：M1＝{(x，y)|y＝x2＋1}； M2＝{(x，y)|y＝ln x}；M3＝{(x，y)|y＝ex}；M4＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“互垂点集” 集合的为( )
高考数学复习考点知识讲解与专项练习
第 2 讲 新定义型、创新型、应用型试题突破
「考情研析」 本讲内容主要考查学生的阅读理解能力，信息迁移能力，数学探究能力 以及创造性解决问题的能力．高考中一般会以选择题的形式出现，分值 5 分，题目新而不难， 备考时要高度重视．
核心知识回顾 1.新定义型问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根 据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的 透彻理解．对于此类题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质， 它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应 万变才是制胜法宝． 2．创新型问题 创新型试题在命题的立意，背景的取材，情境的设置，设问的方式等方面新颖灵活，解 题时要注意进行文字阅读训练，培养从冗长的或不熟悉的问题情境中获取重要信息的能力， 加强数学语言——符号语言——图形语言相互转换的能力训练，善于把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题来加以解决． 3．实际应用型问题 将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明
实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，2e－1]
B．[e－1，＋∞)
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C． e4－14，＋∞
D．(e，＋∞)
答案 C
解析
f(x)＝ex－x ln x－m2 x2 在(1，4)上为“凸函数”，∴f (x)＝ex－ln x－mx－1，∴f″
(x)＝ex－1x－m<0 在(1，4)上恒成立，∵f″(x)＝ex－1x－m 在(1，4)上单调递增，∴f″(x)<e4
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“⊕”如下：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a<b 时，a⊕b＝b2，则当 x∈[－2，2]时，函数 f(x)
＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值为( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
答案 C
1（x≤1）， 解析 由已知，得 1⊕x＝ x2（x>1），
2（x≤2）， 2⊕x＝ x2（x>2）， 所以 f(x)＝
c，所以(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)，故③正确．所以正确的是①②③，故选 D.
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考向 2 创新型问题 例 2 (2020·山东省济南市模拟)已知水平地面上有一半径为 4 的球，球心为 O ，在平行 光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆 C.如图椭圆中心为 O，球与地面的接触点为 E， OE＝3.若光线与地面所成的角为 ，则 sin ＝________，椭圆的离心率 e＝________．
将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r
保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，
将所有存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数为( )
A．a(1＋r)17
B．ar[(1＋r)17－(1＋r)]
C．a(1＋r)18
D．ar[(1＋r)18－(1＋r)]
答案 D
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解析 根据题意，当孩子 18 岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的 a 元产生的本利合 计为 a(1＋r)17，同理，孩子在 2 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1＋r)16，孩子在 3 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1＋r)15，…，孩子在 17 周岁生日时存入的 a 元产生的本利合计为 a(1＋r)，可以看成是以 a(1＋r)为首项，(1＋r)为公比的等比数列的前 17 项的和，此时将存款(含利息)全部取回，则取回的钱的总数 S＝a(1＋r)17＋a(1＋r)16＋ ＋ a(1＋r)＝a（1＋r）1＋[（r1－＋1r）17－1]＝ar[(1＋r)18－(1＋r)].故选 D.
求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，并译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：对结果进行验证或评估，对误差加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释 或验证．
某网店是一家以销售袜子为主的店铺，该网店月销量 L(x)(单位：千双)是关于销售单价
－m－14，∵f″(x)<0 恒成立，∴e4－m－14≤0，∴m≥e4－14.故选 C.
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要 求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项 通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
定义两个实数间的一种新运算：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对任意实数 a，b，c，
x－2（x≤1）， x3－2（1<x≤2）， x3－x2（x>2），
可求出当 x≤1 时，函数 f(x)的最大值是－1；当 1<x≤2 时，函数 f(x)的最大值是 6.所以
当 x∈[－2，2]时，函数 f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)的最大值为 6，选 C.
考向 3 实际应用型问题
例 3 (2020·辽宁省渤大附中、育明高中高三五模)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付
4a2＋b＝2.125，
a＝32，
则 L（20）＝0.205，即 2a02＋b＝0.205，解得 b＝18，
所以 L(x)＝3x22 ＋18，故函数 L(x)的表达式为
2.125，1≤x≤4， L(x)＝ 3x22 ＋18，4<x≤20.
2.125x，1≤x≤4， 故 f(x)＝x·L(x)＝ 3x2＋8x，4<x≤20. 当 1≤x≤4 时，f(x)为增函数，故当 x＝4 时，f(x)的
A，B，C.故选 D.
(2)(2020·湖南省郴州市高三一模)丹麦数学家琴生(Jensen)是 19 世纪对数学分析做出卓越
贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 f(x)在(a，
b)上的导函数为 f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为 f″(x)，若在(a，b)上 f″(x)<0 恒成立， 则称函数 f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知 f(x)＝ex－x ln x－m2 x2 在(1，4)上为“凸函数”．则
A．M1 C．M3 答案 D
B．M2 D．M4
解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线上的两点，对于集合 M1，当 x1＝0 时，y1＝1， x1x2＋y1y2＝y2＝x22＋1＝0 不成立，所以集合 M1 不是“互垂点集”．对于集合 M2，x>0，当 x1＝1 时，y1＝0，x1x2＋y1y2＝x2＝0 不成立，所以集合 M2 不是“互垂点集”．对于集合 M3， 当 x1＝0 时，y1＝1，x1x2＋y1y2＝y2＝ex2＝0 不成立，所以集合 M3 不是“互垂点集”．排除
＝32＋42＝52，即 a＝5，e＝ac＝35，sin
O ＝O
OE＝45.
高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化， 解决创新型问题应注意认真审题，深刻理解题意，开阔思路，发散思维，注意知识的迁移和 综合运用．
在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们补充定义新运算
真题 押题
『真题检验』
1．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t)
K ＝1＋e－0.23（t－53），其中
K
为最大确诊病例数．当
I(t*)＝0.95K
时，标志着已初步遏制疫情，
则 t*约为(ln 19≈3)( )
A．60
B．63
C．66
D．69
答案 C 解析 因为 I(t)＝1＋e－0K.23（t－53），所以 I(t*)＝1＋e－0.K23（t*－53）＝0.95K，则 e0.23(t*－53)＝19，
所以 0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得 t*≈0.323＋53≈66.故选 C.
x(单位：元)的函数．已知销售单价不低于 1 元．当月销售量最少为 0.205 千双时，该店才会
正常营业，否则会亏本停业；当销售单价为 20 元时，月销售量恰好可以保证该店正常营业；
当销售单价不超过 4 元时，月销售量为 2.125 千双．研究表明：当 4≤x≤20 时，月销售量 L(x)与销售单价 x 的函数关系为 L(x)＝xa2＋b(a，b 为常数).记月销售额(单位：千元)为 f(x)＝