甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题 Word版含解析

数学试题
第I 卷
一.选择题(本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1.设集合{}
1A x Q x =∈-，则（）A.A ∅∉ B.A
C.
A
D.
A
⊆
【答案】B 【解析】
试题分析：本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系．元素与集合讨论属于和不属于
的关系，集合与集合讨论包含或不包含的关系.
为无理数，A 为一个有理数的集合，所以
，选B.
考点：元素与集合的关系，集合与集合的关系.
2.已知集合A 到B 的映射f ：x→y=2x+1，那么集合A 中元素2在B 中的象是（）A.5 B.2
C.6
D.8
【答案】A 【解析】【详解】2x = ,
21y x =+,
所以2215y =⨯+=,
集合A 中元素2在B 中的象是5，故选A.
3.设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（）
A.2a ≥
B.1
a ≤ C.1
a ≥ D.2
a ≤【答案】A 【解析】【分析】
根据A B ⊆确定集合A 与集合B 区间端点的大小关系求解.【详解】若A B ⊆，则只需满足2a ≥，故选：A.
【点睛】本题考查利用集合间的关系求参数的取值范围，属于简单题.
4.函数y =）
A.1(,) 2
+∞ B.1 [,)
2+∞ C.1(,2
-∞ D.1(,2
-∞【答案】D 【解析】【分析】
根据函数的解析式有意义即可求解.
【详解】函数y =则120x -≥，解得12
x ≤
，所以函数的定义域为1
(,2
-∞，故选：D
【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数的定义域，属于容易题.5.设集合{}0,1,3,5,6,8U =，{}A 1,5,8B {2}==，，则()
U A B = ð（
）A.
{}
0,2,3,6 B.
{}
0,3,6 C.
{}
1,2,5,8 D.∅
【答案】A 【解析】【分析】
根据集合的补集、并集运算即可得到结论．
【详解】解：{}0,1,3,5,6,8U = ，{}1,5,8A =，{2}B =，
{}0,3,6U A ∴=ð(){}
0,2,3,6U A B ∴= ð故选：A ．
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
6.已知集合{}{}
13,25A x x B x x =-≤<=<≤，则A B = （）
A.(2，3)
B.[-1，5]
C.(-1，5)
D.(-1，5]
【答案】B 【解析】【分析】
利用数轴法求解出两个集合的并集.
【详解】因为{}
13,A x x =-≤<{}
25
B x x =<≤，如图，根据数轴法，所以
{}15A B x x ⋃=-≤≤.
故选：B
【点睛】本题考查了集合并集的运算，属于简单题，解题中可以借助数轴法求解，利用数轴法求解更加直观，降低错误的可能性.7.已知集合(){},2M x y x y =
+=，集合(){},4N x y x y =-=，则M N ⋂是（
）
A.3x =，1y =-
B.()
3,1-C.{} 3,1- D.
(){}
3,1-【答案】D 【解析】【分析】
根据题意，联立方程组，求得两直线的交点坐标，结合集合交集的概念，即可求解.【详解】由题意，集合(){},2M x y x y =
+=，集合(){},4N x y x y =-=，
联立方程组24x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31
x y =⎧⎨=-⎩，所以(){}3,1M N ⋂=-.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，属于容易题.8.下列四组函数中，两函数是同一函数的是（）
A.ƒ(x ƒ(x )=x
B.ƒ(x )=2与ƒ(x )=x
C.ƒ(x )=x 与ƒ(x
D.ƒ(x )=x 0与ƒ(x )=
x x
【答案】D 【解析】【分析】
结合定义域和化简之后表达式是否相同进行判断即可
【详解】对A ，()f x x ==，与()f x x =表达式不同，故不是同一函数；
对B ，()[)2
,0,f x x x ==∈+∞，与()f x x =定义域不同，故不是同一函数；
对C ，()f x x =
=，由A 知错误；
对D ，()0
1,0f x x x ==≠，()1,0x
f x x x
==≠，显然是同一函数，故选：D
【点睛】本题考查同一函数的判断，属于基础题
9.设集合{}|22M x x =-≤≤，{}|02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以集合
为定义域，
为值域的函数关系的是（）
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】
试题分析：选项A 中定义域为[]
2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，
考点：函数的概念
10.已知集合{
}
2
|210A x ax x =++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是（）
A.1
B.-1
C.0或1
D.-1，0或1
【答案】C 【解析】
集合A 有且仅有2个子集，则集合A 中有且仅有1个元素，即使得2210ax x ++=成立的x 值只有1个，当a =0时，1
2
x =-，满足题意，当0a ≠时，44a 0 =-=,a=1综上，a=0或a=1故选C
11.已知()2,0,00,0x x f x x x π⎧>⎪
==⎨⎪<⎩
，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（
）．
A.0
B.
π
C.
2
π D.9
【答案】B 【解析】【分析】
根据分段函数的定义，先求()3f -，再求()3f f -⎡⎤⎣⎦．
【详解】解：∵()2,0
,00,0x x f x x x π⎧>⎪
==⎨⎪<⎩
，
∴()30f -=，
∴()()30f f f π⎡⎤-==⎣⎦，故选：B ．
【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题．
12.已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图像上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是()
A.(－3,0)
C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】B 【解析】【分析】
先化不等式－1＜f(x)＜1为f(0)＜f(x)＜f(3)，再利用函数的单调性解不等式得解.【详解】由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1＜f(x)＜1，即f(0)＜f(x)＜f(3)，∵f(x)在R 上递增，∴0＜x＜3，
∴－1＜f(x)＜1的解集为(0,3)．故答案为B
【点睛】本题主要考查函数的单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
第II 卷
二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知()21,0
2,0
x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f a =，则a =
________.
【答案】3-【解析】【分析】
分类讨论0,0a a ≤>，代入不同函数解析式，即可求得参数值.
【详解】若0a ≤，则()2
110f a a =+=，解得3a =-或3a =（舍去）；
若0a >，则()210f a a =-=，解得5a =-（舍去），综上，3a =-.故答案为：3-.
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.
14.已知2(1)f x x -=，则f (1)=__________.【答案】4【解析】【分析】
先求出函数的解析式，再求解x =1时的函数值即可.
【详解】因为2(1)f x x -=，令1t x =-，1x t =+则2()(1)f t t =+，所以2()(1)f x x =+，
(1)4f =.
故答案为：4
【点睛】本题考查了求解函数解析式，属于简单题,解题中应用换元的思想方法..
15.函数()2
25f x x x =+-，则函数()f x 在区间[]22-,
上的值域是___________【答案】[6,3]-【解析】【分析】
结合二次函数的图象与性质，求得函数在区间[]22-,
上的最大值与最小值，即可求解.【详解】由题意，函数()2
25f x x x =+-，开口向上，且对称轴的方程为1x =-，
根据二次函数的图象与性质，
可得当1x =-时，函数()f x 取得最小值，最小值为(1)6f -=-；当2x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为(2)3f =，所以函数()f x 的值域为[6,3]-.故答案为：[6,3]-.
【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
16.已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________．
【答案】m ≤2
【解析】
∵函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，
∴m ＋3≤5，∴m ≤2故答案为m ≤2
三、解答题：(本大题6小题，共70分.每题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求
(1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．
【答案】（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}．【解析】
试题分析：（1）先求集合AB,C；再求B ∩C，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B )∪(∁U C )．
试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．
18.如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x cm ，面积为y cm 2，把y 表示成x 的函数，并指出自变量的范围.
【答案】y x =，050x <<【解析】【分析】
根据圆的半径可知直径，然后在直角三角形中根据勾股定理表示出矩形的另外一边，即可表示出矩形的面积，由于矩形内接于圆，所以可知矩形的边长大于零小于圆的直径.
【详解】因为半径为25cm ,矩形的一边长为x cm
,则矩形另一边为
积y x =由于矩形内接于圆，所以其边长的范围是：050x <<，把y 表示成x 的
函数为:y x =，050x <<.
【点睛】本题考查了的函数的应用，其中主要是将实际问题转化为数学问题也即数学建模，属于基本题型，解题的关键是根据矩形内接于圆这个条件得到自变量的范围.
19.设A ={x |-3≤x ≤4}，B ={x |2m -1<x <m +1}，其中x ∈R ，如果A ∩B =B ，求实数m 的取值范围.
【答案】[1,)-+∞【解析】【分析】
由A ∩B =B 可转化为B A ⊆，分类讨论，建立不等式求解即可.【详解】因为A ∩B =B ，所以B A ⊆，
因为A ={x |-3≤x ≤4}，B ={x |2m -1<x <m +1}，（1）若211m m -≥+时，即2m ≥时，B φ=,满足B A ⊆，
（2）当B φ≠时，由B A ⊆，
可得：2321
14m m m <⎧⎪
-≤-⎨⎪+≤⎩
解得12
m -≤<综上，实数m 的取值范围为[1,)-+∞.
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数取值问题，分类讨论思想，属于基础题.
20.已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+．（1）当3a =时，求A B ；
（2）若0a >，且A B =∅ ，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{|11A B x x ⋂=-或45}x ；（2）01a <<【解析】【分析】
（1）当3a =时，我们先分别化简集合A ，B ，再求A B ；
（2）A B =∅ ，也就是，集合A ，B 没有公共元素，这样，就可以建立不等关系，从而可求实数a 的取值范围．
【详解】（1）当3a =时，{|15}A x x =-，{|1B x x =或4}
x {|11A B x x ∴⋂=-或45}
x （2）A B =∅ ，{|22}(0)A x a x a a =-+>，{|1B x x =或4}
x ∴2124a a ->⎧⎨
+<⎩1a ∴<0
a > 01
a ∴<<【点睛】解答集合之间的关系的关键是理解集合的运算，建立不等关系，属于基础题．21.已知函数()y f x =是定义域为()1,1-上的函数，并且在()1,1-上是增函数，求满足
(1)(21)f a f a -<-的实数a 的取值范围．
【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】【分析】
结合定义域与函数的单调性，比较自变量的大小即可解出答案．
【详解】解：()f x 在定义域(1,1)-上是增函数，且(1)(21)f a f a -<-，
∴11211121
a
a a a -<-⎧⎪
-<⎨⎪-<-⎩
，解得213a <<．
∴实数a 的取值范围是2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题．
22.已知二次函数()f x 满足条件()01f =，及()()12f x f x x +-=.
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]1,1-上的最值.
【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）()min 34
f x =，()max 3f x =【解析】
【分析】
（1）设2()f x ax bx c =++，()0a ≠，代入求解(1)()2f x f x x +-=，化简求解系数．（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】解：（1）设()2
f x ax bx c =++，()0a ≠，则()()()()()2
21112f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++-++=++，∴由题1c =，22ax a b x ++=恒成立
∴22a =，0a b +=，1c =得1a =，1b =-，1c =，
∴()2
1f x x x =-+.（2）由（1）可得()2
213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在11,2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增，且()13f -=，()11f =∴()min 1324
f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 13f x f =-=.【点睛】本题考查了二次函数的性质，及待定系数法求解析式，利用等式恒成立解决，属于基础题．。