2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：圆1(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：圆1（附答案）
1．如图，已知点A 为⊙O 内一点，点B 、C 均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA=3﹣1，则阴影部分的周长为（ ）
A ．43π+23
B ．23π+23
C ．43π+3
D ．23
π+3 2．如图，⊿ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=28°则∠C 的大小为( )
A ．56°
B ．60°
C ．62°
D ．28°
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙ P 的圆心坐标是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙ P 截得的弦AB 的长为23，则a 的值是 ( )
A ．23+
B ．22＋
C ．23
D ．22
4．在直角三角形ABC 中，90C o ∠=，3AC =，4BC = 若以C 为圆心，以2.5为半径做圆C ，则圆C 与AB 所在直线的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
5．如右图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边上一点，以AB 为直径在正方形内作半圆O ，将△DCE 沿DE 翻折，点C 刚好落在半圆O 的点F 处，则CE 的长为( )
2334
6．如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D ，C ，E .若半圆O 的半径为2，梯形的腰AB 长为5，则该梯形的周长是( )
A ．14
B ．12
C ．10
D ．9
7．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC 的长为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
8．已知圆1O 的半径长为6cm ，圆2O 的半径长为4cm ，圆心距123O O cm =，那么圆1O 与圆2O 的位置关系是( )
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）．
A ．95
B ．245
C ．52
D ．185
10．如图，圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则APB ∠的度数是__________．若⊙O 的半径为5，则弧BD 的长度为__________（结果保留π）．
11．一个圆锥的高为4，底面半径为3，它的侧面展开图的面积是__________．
12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B=130°，OA=1，则»AC 的长为__________．
13．若直线l 与圆心O 的距离大于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 的交点个数为______． 14．如图，四边形ABCD 为O e 的内接四边形，若四边形ABCO 为平行四边形，则ADB ∠=________．
15．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 分别是2、3，则BAC ∠的度数为________． 16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B=130°，OA=1，则¶AC 的长为_____．
17．已知扇形AOB 的半径OA =4，圆心角为90°，则扇形AOB 的面积为_________. 18．如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向外作正方形ACDE 、正方形BCFG ，DE 、FG 、弧AC 、弧BC 的中点分别是M 、N 、P 、Q .若14MP NQ +=，18AC BC +=，则AB 的长为______.
19．如图，Rt ABC V 中，BC 4=，AC 8=，Rt ABC V 的斜边在x 轴的正半轴上，点A 与原点重合，随着顶点A 由O 点出发沿y 轴的正半轴方向滑动，点B 也沿着x 轴向点O 滑动，直到与点O 重合时运动结束.在这个运动过程中．
()1AB 中点P 经过的路径长______．
()2点C 运动的路径长是______．
20．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，B是切点，且AB＝8 cm.求⊙O的直径．
21．已知⊙O的半径为5，EF是长为8的弦，OG⊥EF于点G，点A在GO的延长线上，且AO=13．弦EF从图1的位置开始绕点O逆时针旋转，在旋转过程中始终保持OG⊥EF，如图2．
[发现]在旋转过程中，
（1）AG的最小值是，最大值是．
（2）当EF∥AO时，旋转角α=．
[探究]若EF绕点O逆时针旋转120°，如图3，求AG的长．
[拓展]如图4，当AE切⊙O于点E，AG交EO于点C，GH⊥AE于H．
（1）求AE的长．
（2）此时EH=，EC=．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若⊙O 的半径为3，求弧BC 的长.
23．如图，AB 为O e 的直径，C ，E 为O e 上的两 点，AC 平分EAB ∠，CD AE ⊥于D ．
()1求证：CD 为O e 的切线；
()2过点C 作CF AB ⊥于F ，如图2，判断CF 和AF ，DE 之间的数量关系，并证明之；
()3若 1.5AD OA -=，33AC =，求图中阴影部分的面积．
24．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O 为原点建立平面直角坐标系，圆心为 A （3，0）的⊙A 被y 轴截得的弦长BC=8．
解答下列问题：
（1）求⊙A 的半径；
（2）请在图中将⊙A 先向上平移 6 个单位，再向左平移8个单位得到⊙D ，并写出圆心D 的坐标；
（3）观察你所画的图形，对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想，并直接写出你的结论．
25．如图，⊙O过A，C，D三点，过D作DB∥AC，且AC=AD，CD=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若
cosB=
2
5
，求
BD
BC
的值．
26．如图，△ABC是以∠C为直角的直角三角形，且BC=1，AC=3，圆O是△ABC 的外接圆，过△ABC的内角∠C作角平分线交AB于点D，交圆O与点E，连接AE，（1）求AE的长．
（2）求ACD
AED
S
S
V
V
的值．
27．如图所示，已知AB是O
e的直径，直线L与O
e相切于点C，AC AD
=
n n，CD 交AB于E，BF⊥直线L，垂足为F，BF交O
e于C．
()1图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
()2若5
AE=，求AB的值．∠=，4
sin CBF
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
延长AO交BC于点D，连接OB，由∠A＝∠ABC＝45°，得到AD＝BD，∠ADB＝90°，即AD⊥BC．根据垂径定理得到BD＝CD．在Rt△COD中，设OD＝x，∠C＝30°，得到OC＝2x，CD＝3x＝AD，则OA＝AD−OD＝3x−x＝（3−1）x＝3−1，解得x＝1，则OD＝1，OC＝2，然后由弧长公式进行解答即可．
【详解】
延长AO交BC于点D，连接OB，
∵∠A＝∠ABC＝45°，
∴AD＝BD，∠ADB＝90°，即AD⊥BC．
∴BD＝CD．
在Rt△COD中，设OD＝x，
∵∠C＝30°，
∴∠COD＝60°，OC＝2x，CD3x．
∴∠COB＝120°，AD3．
∴OA＝AD−OD3x−x31）x．
而OA31，
∴x＝1，即OD＝1，OC＝2，BC＝2CD＝3．
∴阴影部分的周长为：1202
180
π⨯
＋3
4
3
π
＋3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了弧长的计算．此题实际上是求劣弧BC的长度和弦BC的长度．注意：含30度得直角三角形三边的关系．
2．C
【解析】
【分析】
连接OB，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠AOB的度数，根据圆周角定理即可得出答案.
【详解】
连接OB，
∵OA=OB，∠OAB=28°，
∴∠OBA=∠OAB=28°，
∴∠AOB=180°-28°-28°=124°，
∵∠ACB、∠AOB是»AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠ACB=1
2
∠AOB=62°，
故选C
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握定理并正确添加辅助线是解题关键.
3．B
【解析】
【分析】
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
【详解】
过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵PE⊥AB，AB=23，半径为2，∴AE=1
2
AB=3，PA=2，
根据勾股定理得：PE=1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2．∵⊙P的圆心是（2，a），
∴a=PD+DC=2+2．故选B．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．
4．C
【解析】
【分析】
根据在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，可以求得AB的长，然后根据等积法可以求得斜边AB上的高，然后与2.5比较大小，即可解答本题．
【详解】
∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴22
AC BC
+22
34
+5，
∴斜边AB上的高为：3×4÷5=2.4，
∵2.4＜2.5，
∴圆C与AB所在直线的位置关系是相交．
故选：C．
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系，解题的关键是求出斜边上的高．
5．A
【分析】
通过证明△ODF≌△ODA，可以得到F是⊙O的切线，然后在直角△BOE中利用勾股定理计算出线段CE的长.
【详解】
解：如图：连接OF，OD.
由折叠的性质可得：△EDF≌△EDC，
∴DF=DC, ∠C=90°
在△ODF和△ODA中，
∵OF=OA，DA=DF，DO=DO，
∴△ODF≌△ODA，
∴∠OFD=∠OAD=90°，
∴DF是⊙O的切线。

∵∠DFE=∠C=90°，
∴E，F，O三点共线。

∵EF=EC，
∴在△BEO中，BO=1，BE=2−CE，EO=1+CE，
∴(1+CE)² =1+(2−CE)²，
解得：CE=2 3 .
故选A.
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质，根据三角形全等判定CF是圆的切线,然后由翻折变换对，得到对应的角与对应的边分别相等，利用切线的性质结合直角三角形，运用勾股定理求出线段长.
6．A
根据切线长定理，得AD=AE ，BC=BE ，所以梯形的周长是5×2+4=14. 故选A ． 7．B 【解析】 【分析】
连接OA 、OC ，然后根据圆周角定理求得∠AOC 的度数，最后根据弧长公式求解． 【详解】 连接OA 、OC ， ∵∠ADC =60°，
∴∠AOC =2∠ADC =120°， 则劣弧AC 的长为： =4π．
故选B ．
【点睛】
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式180
n r
l π= ． 8．C 【解析】
分析：设两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为d ：
外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+； 内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．
详解：圆1O 的半径长为6cm ，圆2O 的半径长为4cm ，圆心距123O O cm =，
64364,-<<+
圆1O 与圆2O 的位置关系是相交.
点睛：考查圆和圆的位置关系，根据两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为d ： 外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+； 内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．判断即可. 9．D 【解析】
分析：先根据勾股定理求出AB 的长，过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，由垂径定理可知M 为AD 的中点，由三角形的面积可求出CM 的长，在Rt △ACM 中，根据勾股定理可求出AM 的长，进而可得出结论．
详解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=
2222=34AC BC ++=5，
过C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，如图所示，
∵CM ⊥AB ， ∴M 为AD 的中点， ∵S △ABC =
12AC•BC=1
2
AB•CM ，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴CM=
125
， 在Rt △ACM 中，根据勾股定理得：AC 2=AM 2+CM 2，即9=AM 2+（
125
）2
， 解得：AM=95， ∴AD=2AM=18
5
．
故选D ．
点睛：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 10．72︒ 4π
解：在正五边形ABCDE 中，AB BC CD ==，108ABC BCD ∠=∠=︒， ∴180108362
BAC BCA CBD BDC ︒-︒
∠=∠=∠=∠==︒，
∴72APB DBC ACB ∠=∠+∠=︒， ⊙O 半径为5，则圆周长10πC =，
∵正五边形的五个顶点把圆分为相等的五部分， ∴弧BD 长度=
2
4π5
C =． 故答案为：72︒，4π． 11．15π 【解析】
点睛：利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长． 详解：∵圆锥的底面半径是3，高是4， ∴圆锥的母线长为5，
∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π． 故答案为：15π．
点睛：本题考查了圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积的计算公式是解决本题的关键． 12．
5π
9
【解析】 因为∠B=130°，
所以∠D=50°，∠AOC=100°，AC l u u u r =
100π×1180=5π
9
. 故答案为：5π
9
． 13．0 【解析】 【分析】
根据直线和圆的位置关系填空即可． 【详解】
解：∵直线l 与圆心O 的距离大于⊙O 的半径， ∴直线l 与⊙O 相离，
∴直线l与⊙O无交点，
故答案为:0．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，当直线l与圆心O的距离大于⊙O的半径，直线l与⊙O 相离，直线l与⊙O无交点；当直线l与圆心O的距离等于⊙O的半径，直线l与⊙O相切，直线l与⊙O有1个交点；当直线l与圆心O的距离小于⊙O的半径，直线l与⊙O相交，直线l与⊙O有2个交点．
14．30o
【解析】
【分析】
根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°，根据平行四边形的性质的
∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC=1
2
∠AOC，计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ADC=1
2
∠AOC，
∴∠ADC+2∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∵OA=OC，
∴平行四边形ABCO为菱形，∴BA=BC，
∴»»
BA BC
，
∴∠ADB=1
2
∠ADC=30°，
故答案是：30°．
【点睛】
考查的是圆内接三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
15．15o或75o
【解析】
【分析】
根据圆的对称性分两种情况讨论求解．
【详解】
如图一，分别连接OA，OB，OC．做OD⊥AB于D，OE⊥AC．
∴AD=
2
2
，AE=
3
2
．
∵OA=1，
∵
2
2
AD
AO
=，
3
2
AE
AO
=
∴∠AOD=45°，∠AOE=60°．
∴∠AOC=120°，∠AOB=90°．
∴∠BOC=150°，∴∠BAC=75°．（圆周角定理）
如图二，∠BOC=120°-90°=30°，∴∠BAC=15°．
故答案为15°或75°．
【点睛】
本题综合考查了特殊角的三角函数值、垂径定理和圆周角的求法及性质．
16．5 9π
【解析】
∠B=130°,所以∠D=50°，∠AOC=100°，
弧AC=1001
180
π⨯
=
5
9
π
.
故答案为5
9π
.
17．4π【解析】
根据扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为
2
904
4
360
π
π
⨯
=，故答案为4π.
18．13
【解析】
解：连接OP，OQ，∵DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，
OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI= 1
2
（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，
MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．故答案为13．
点睛：本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．
195π512
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，确定中点P的运动路径：以O为圆
心，以OP为半径的1
4
圆弧，半径OP=
1
2
5
（2）分为两种情况：
①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，
长是CC′； 分别计算并相加． 【详解】
（1）如图1，∵∠AOB=90°，P 为AB 的中点， ∴OP=
1
2
AB ， ∵AB=228445+=， ∴OP=25，
∴AB 中点P 运动的轨迹是以O 为圆心，以OP 为半径的1
4
圆弧， 即AB 中点P 经过的路径长=
14
×2×25π=5π； （2）①当A 从O 到现在的点A 处时，如图2，此时C′A ⊥y 轴， 点C 运动的路径长是CC′的长，
∴AC′=OC=8， ∵AC′∥OB ， ∴∠AC′O=∠COB ， ∴cos ∠AC′O=cos ∠COB=
OC AC OB OC ='
'
， 845
OC =
'
，
∴OC′=45，
∴CC′=45-8；
②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，
此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，
CC′=OC′-BC=45-4，
综上所述，点C运动的路径长是：45-8+45-4=85-12；
故答案为：(1). 5π(2). 8512
【点睛】本题考查轨迹问题、直角三角形等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度，并利用了数形结合的思想．
20．163
【解析】
分析：连接OE、OA、OB，根据切线长定理和切线性质求出∠OBA=90°，
∠OAE=∠OAB=1
2
∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根据勾股定理
求出OB即可．
详解：设三角尺与⊙O相切于点E，三角尺斜边所在直线为AC，连结OE，OA，OB. ∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，∴∠OBA＝∠OEA＝90°.
又∵OB＝OE，OA＝OA，∴Rt△OBA≌Rt△OEA，∴∠OAB＝∠OAE＝∠BAC. ∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，
∴OA＝2AB＝16(cm)．由勾股定理，得OB＝＝＝8(cm)，
即⊙O的半径是8cm，∴⊙O的直径是16cm.
点睛：
本题考查了勾股定理，切线性质，切线长定理，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出∠OBA 和∠OAB 的度数，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 21．发现：（1）10，16；（2）90°或270°；探究：139（1）AE=12；（2）125
，83． 【解析】
【分析】
发现：（1）根据垂径定理得：142
EG EF ==，在Rt △EOG 中，根据勾股定理求出OG=3，由旋转知，点G 的轨迹是以点O 为圆心，OG=3为半径的圆，即可求出AG 的最大值与最小值.
（2）根据OG ⊥EF ，EF ∥OA ，得出OG ⊥OA ，即可求出旋转角度.
探究：过点G 作GQ ⊥OA 于Q ，在Rt △OQG 中，求出∠GOQ 的度数，根据含30o 角的直角三角形的性质求出3332OQ GQ ==，即可求出AG 的长 拓展：（1）根据切线的性质得到∠OEA=90°，根据勾股定理即可求出AE 的长.
（2）过点G 作GP ⊥OE 于P ，易证四边形EHGP 是矩形，证明△OGE ∽△OPG ，根据相似三角形的性质得到,OG OE EG OP OG PG
==即可求出OP PG ，的长度，即可求出EH 的长度，再根据△AEC ∽△AHG ，求出EC 的长度.
【详解】
发现：（1）如图1，
连接OE ，
∵OG ⊥EF ，
∴142
EG EF ==， 在Rt △EOG 中，OE=5，根据勾股定理得，OG=3，
由旋转知，点G 的轨迹是以点O 为圆心，OG=3为半径的圆， ∴AG 最大=OA+OG=13+3=16，
AG 最小=OA ﹣OG=13﹣3=10，
故答案为：10，16；
（2）∵OG ⊥EF ，EF ∥OA ，
∴OG ⊥OA ，
∴旋转角α=90°或270°，
故答案为90°或270°；
探究：如图3，
过点G 作GQ ⊥OA 于Q ，
在Rt △OQG 中，∠GOQ=180°﹣120°=60°，OG=3，
∴33322
OQ GQ ==， ∴3231322AQ OA OQ =-=-
=， 在Rt △AQG 中， 22139AG AQ GQ =+=；
拓展：（1）∵AE 切⊙O 于E ，
∴∠OEA=90°，
在Rt△AEO中，2212
AE OA OE
=-=；
（2）如图4，
过点G作GP⊥OE于P，
∵HG⊥AE，OE⊥AE，
∴四边形EHGP是矩形，
∴HG=EP，EH=PG，
∵∠OGE=∠OPG=90°，∠GOE=∠POG，
∴△OGE∽△OPG，
∴,
OG OE EG
OP OG PG
==
∴
354
,
4
OP PG
==
∴
912
55
OP PG
==
，，
∴
12
5
EH=，
916
5
55
HG PE OE OP
==-=-=，
∵OE⊥AE，HG⊥AE，
∴CE∥HG，
∴△AEC∽△AHG，
∴,
AE CE
AH HG
=
∴
12
,
1216
12
55
CE
=
+
∴
8
3
CE=，
故答案为：
128
,.
53
【点睛】
属于圆的综合题，考查圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定
与性质等，综合性比较强，难度较大.
22．(1) 35°;(2) 4
3π.
【解析】
分析：
（1）由已知易得»»»
==2
AB AC AD，由此可得∠ACB=2∠ACD，由∠DAE=105°，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形易得∠BCD=105°，由此可得3∠ACD=105°，从而可得∠ACD=35°；（2）由（1）中结论易得∠ABC=∠ACB=70°，由此可得∠BAC=40°，连接OB、OC，则可得∠BOC=80°，这样由弧长计算公式即可求出»BC的长度了.
详解：
(1)∵AB=AC，
∴»»
AB AC
=，
∵D是»AC的中点，
∴»»»»
11
22
AD CD AC AB ===，
∴»»
=2
AB AD，
∴∠ACB=2∠ACD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=∠EAD=105°
∴∠ACB+∠ACD=105°，即3∠ACD=105°，∴∠CAD=∠ACD=35°
(2)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=40°，
连结OB，OC，则∠BOC=2∠BAC =80°，
∴»BC的长
8034
1803
l
π
π
⨯⨯
==.
点睛：（1）“能由已知证得∠ACB=2∠ACD，由圆内接四边形的性质得到
∠BCD=∠DAE=105°”是解答第1小题的关键；（2）“作出如图所示的辅助线，能由（1）中结论求得∠BAC的度数，进而得到∠BOC的度数”是解答第2小题的关键.
23．(1)见解析;(2)见解析;(3)393 2
π-.
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，则有AD⊥CD可判断OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O 的切线；
（2）连结CE，如图2，根据角平分线的性质得CD=CF，再证明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接着证明Rt△DEC∽Rt△DCA，由相似的性质得DE：DC=DC：DA，然后利用等线段代换即可得到CF2=DE•AF；
（3）设⊙O的半径为r，由AD=AF，AD﹣OA=1.5可得到OF=1.5，再证明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可计算出r=3，接着在Rt△FCO中，利用余弦的定义可求出∠COB=60°，然后根据扇形的面积公式和等边三角形面积公式和S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC进行计算即可．
【详解】
（1）连接OC，如图1．
∵AC平分∠EAB，∴∠1=∠2．
∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OC∥AD．
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线；
（2）CF2=AF•DE．理由如下：
连结CE，如图2．
∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，∴CD=CF．在Rt△ACD和△ACF中，
AC AC CD CF
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△ACD≌△ACF，∴AD=AF．
∵四边形CEAB内接于⊙O，∴∠DEC=∠B．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠2=90°，而∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，∴∠DEC=∠ACD，∴Rt△DEC∽Rt△DCA，∴DE：DC=DC：DA，∴DC2=DE•DA，
∴CF2=DE•AF；
（3）设⊙O的半径为r．
∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．
∵∠CAB=∠F AC，∴Rt△ACF∽Rt△ABC，∴AC
AB
=
AF
AC
，即
33
=
33
，解得：r=3
或r=﹣9
2
（舍去）．
在Rt△FCO中，∵cos∠COF=OF
OC
=
1.5
3
=
1
2
，∴∠COB=60°，∴S阴影部分=S扇形BOC﹣S△BOC
=
2
603
360
π⋅⋅
﹣
3
×32=
3
2
π﹣
93
．
【点睛】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
24．（1）⊙A的半径是5；（2）图详见解析，圆心D的坐标是（﹣5，6）；（3）⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．
【解析】
【分析】
（1）连接AB，根据垂径定理求出BO，根据勾股定理求出AB即可；
（2）根据已知画出图形即可，根据平移规律求出D的坐标即可；
（3）根据图形即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵x轴⊥y轴，A在x轴上，
∴BO=CO=4，
连接AB，由勾股定理得：AB==5，
答：⊙A的半径是5．
（2）解：如图：
圆心D的坐标是（﹣5，6）．
（3）解：⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．
【点睛】
本题考查了对勾股定理，垂径定理，圆与圆的位置关系，坐标与图形变化-平移等知识点的应用，解此题的关键是根据题意画出图形，培养了学生分析问题的能力，同时也培养了学生观察图形的能力，题型较好，难度适中．
25．（1）证明见解析（2）4 5
【解析】
【分析】
（1）连接OC，OD根据AC∥BD，可证∠ACD=∠CDB，通过AC=AD，CD=CB可证
∠ACD=∠ADC，∠CDB=∠CBD，进而可证∠DCB=∠A，∠DOC=2∠A，∠DOC=2∠DCB 求出∠OCD+∠DCB=90°即可，
（2）作CM⊥BD，由BC=CD可证BM=DM再由cos∠B=
2
5 BM
BC
=
【详解】
（1）连接OC、OD，
∵AC∥BD，
∴∠ACD=∠CDB，
∵AC=AD，CD=CB，
∴∠ACD=∠ADC，∠CDB=∠CBD，
∴∠DCB=∠A，
∵∠DOC=2∠A，
∴∠DOC=2∠DCB，
设∠DCB=x，∠OCD=y，则∠DOC=2x，
△OCD中，2x+2y=180，
x+y=90，
即∠OCD+∠DCB=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：过C作CM⊥BD于M，则BM=DM，
cos∠B=
2
5 BM
BC
=，
设BM=2x，BC=5x，
∴
4
5
BD x
BC x
==
4
5
．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，圆周角与圆心角的关系，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键.
26．（12；（2
3
【解析】
【分析】
（1）连接BE，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AB的长，由CE平分∠ACB结合圆周角定理可得出∠BAE＝∠BCE＝45°，进而可得出△ABE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合AB的长度即可求出AE的长度；
（2）连接OE，过点C作CF⊥AB于点F，利用面积法可求出CF的长度，利用等腰直角三
角形的性质可得出OE的长度，再利用三角形的面积公式即可求出ACD
AED
S
S
V
V
的值．
【详解】
（1）连接BE，如图1所示．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，3，
∴22
BC AC
．
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=
1
2
∠ACB=45°
∴∠BAE=∠BCE=45°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴
2
2．
（2）连接OE，过点C作CF⊥AB于点F，如图2所示．
∵∠ACB=90°，BC =1，AC=3，AB=2， ∴CF=AC BC AB ⋅3 ∵△ABE 为等腰直角三角形，AB=2， ∴OE=12
AB=1，OE ⊥AB ， ∴ACD AED
S S V V =1212AD CF AD OE ⋅⋅3 【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理、圆周角定理、角平分线的性质、等腰直角三角形以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理找出△ABE 为等腰直角三角形；（2）利用面积法及等腰直角三角形的性质，求出CF 、OE 的长度． 27．(1)见解析;(2)20.
【解析】
【分析】
（1）观察图象知：只有FG 的长度与AE 相当，可猜想AE=FG ，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC 、CG ，然后证△AEC ≌△GCF ；连接BD ，由于弧AC=弧AD ，那么BA ⊥CD ，根据垂径定理知∠D=∠BCE ；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB ，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC ，那么弧CG=弧AC ，即AC=CG ，再由角平分线的性质得CF=CE ，根据HL 即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．
（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC ，它们的正弦值也相等，即可在Rt △FCG 中，求得CG 的长，也就得到了AC 的长，在Rt △ACB 中，CE ⊥AB ，由射影定理即可得到AB 的长．
【详解】
解：（1）FG=AE，理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵»»
AC AD
=，
∴BA⊥CD，
∴»»
BC BD
=，即∠D=∠BCD；
∵直线L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴»»
CG AC
=，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．
（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠
；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠
∴
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC2=AE•AB，即AB=AC2÷AE=20．
【点睛】
此题主要涉及到：圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、弦切角定理、解直角三角形等知识点；通过构造全等三角形来求得AE=FG是解决此题的关键．。