2019年高考数学二轮复习专题训练小题专题练(二) 三角函数与平面向量

小题专题练(二) 三角函数与平面向量
1.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫sin 5π3，cos 5π
3，则sin (π＋α)＝( ) A.－32
B.－12
C.1
2
D.32
2.(2018·石家庄模拟)设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )
A.12
B.13
C.1
D.2
3.若α是第二象限角，且sin α＝3
5，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )
A.－6
5
B.－45
C.45
D.65
4.(2018·洛阳模拟)如图，已知函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜ω＜4，－π
2＜φ＜0的部分图象与x 轴的一个交点为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，与y 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫0，32，那么f ⎝⎛⎭
⎫π
2＝( )
A.3
2 B.12 C.－12
D.－32
5.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，要得到函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3－3
2的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( ) A.向右平移π
2个单位长度
B.向左平移π
2个单位长度
C.向右平移π
4
个单位长度
D.向左平移π
4
个单位长度
6.函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x 在⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的值域是( )
A.⎣⎡⎦⎤－34，32
B.⎣⎡⎦⎤－34，34
C.⎣⎡⎦
⎤34，32 D.⎣⎡⎦
⎤－3
4，1 7.(2018·兰州模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →
，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )
A.－4
9
B.－43
C.43
D.49
8.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b sin A ＝2a cos B ，则cos B ＝( ) A.－
5
5
B.55
C.－255
D.255
9.若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角为π
4，则t 的值为
( )
A.95
B.65
C.45
D.35
10.(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)，若将函数f (x )的图象向右平移π
6
个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( ) A.φ＝5π6
B.⎝⎛⎭⎫π
12，0是f (x )图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2
D.x ＝－π
6
是f (x )图象的一条对称轴
11.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足A ＝π
4，a ＝2，cos 2B －cos 2C
－sin 2A ＝－sin A sin B ，则边长b 的值为( )
A.2＋6
2 B.
6－2
2
C.
32
D.12
12.在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )∶(sin A ＋sin C )∶(sin B ＋sin C )＝4∶5∶6，且该三角
形的面积为153，则△ABC 的最大边长等于( )
A.12
B.14
C.16
D.18
13.在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)是单位圆O 上第一象限内的点，∠xOP ＝α，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－11
13
，则x 0的值为____________. 14.若将函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π
3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为____________
15.(2018·武汉模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π
3
，若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，则A ＝____________. 16.(2018·福州模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠DCA ＝2∠BAC .若BD →＝xBA →＋yBC →
(x ，y ∈R )，则x －y 的值为____________.
参考答案与解析
小题专题练(二) 三角函数与平面向量
1.解析：选B.因为sin 5π3＝－32，cos 5π3＝1
2，
所以P ⎝
⎛⎭
⎫
－
32，12，由三角函数的定义知sin α＝12， 所以sin (π＋α)＝－sin α＝－1
2
，故选B.
2.解析：选C.因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ，m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C.
3.解析：选C.因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α
2
＝－cos α.
又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－4
5.所以1－2sin π＋α2·sin π－α2＝45.故选C.
4.解析：选D.由题意得，⎩
⎨⎧cos ⎝⎛⎭⎫－ωπ
6＋φ＝0，3cos φ＝3
2
，
结合0＜ω＜4，－π
2＜φ＜0，可得ω＝2，
φ＝－π6
，
所以f (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－32
，故选D. 5.解析：选D.法一：f (x )＝2sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝2sin ωx (12cos ωx －3
2sin ωx )＝sin ωx cos ωx －3sin 2ωx ＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3－3
2，又f (x )的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2
，所以f (x )的最小正周期T ＝π，故ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3
2， 又f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π3－32＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32，所以要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32的图象，只需将f (x )的图象向左平移π
4
个单位长度.故选D.
法二：f (x )＝2sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝2sin ωx ⎝⎛⎭
⎫12cos ωx －3
2sin ωx ＝sin ωx cos ωx －3sin 2ωx ＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3－3
2，又f (x )的图象的相邻两条对称轴间的距离为π
2，所以f (x )的最小正周期T ＝π，故ω＝1，所以f (x )＝
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32，根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x 可知，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π3－
32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3－32，故要得到上述函数的图象，只需将函数f (x )的图象向左平移π
4
个
单位长度.故选D.
6.解析：选 A.f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos 2x )＝1
2
⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos 2x ＝12(32sin 2x ＋32cos 2x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈
⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－34≤f (x )≤32
.故选A.
7.解析：选A.如图，因为AP →＝2PM →，所以AP →＝PB →＋PC →
，
所以P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2，
因为AM ＝1且AP →＝2PM →，所以|P A →|＝23，所以P A →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.
8.解析：选B.由b sin A ＝2a cos B 及正弦定理，得sin B sin A ＝2sin A cos
B.因为sin A
≠0，所以tan B ＝2，所以0＜B ＜π2，所以cos B ＝5
5
，故选B.
9.解析：选A.由a 与b 的夹角为π4可得cos π4＝a ·b |a ||b |＝a ·b
2|a |2，故a ·b ＝|a |2.由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得(a ＋2b )(3a －t b )＝0，即3a 2＋(6－t )a 2－4t a 2＝0，又a 为非零向量，所以3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95
.
10.解析：选C.由题意得：变换后的函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin(2x －π
3＋φ)的图象关于y 轴对称，则－π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，因为0＜φ＜π，所以φ＝5π
6，故A 正确;f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，由2x ＋5π6＝k π，k ∈Z ，得对称中心的横坐标为－5π12＋k π2，k ∈Z ，故⎝⎛⎭⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，故B 正确;f (φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π3＋5π6＝2sin 5π2＝2，故C 不正确;由2x ＋5π6＝π
2＋k π，k ∈Z ，得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，则x ＝－π
6
是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.
11.解析：选A.在△ABC 中，cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝－sin A sin B ， 所以(1－sin 2B )－(1－sin 2C )－sin 2A ＝－sin A sin B ， 所以sin 2C －sin 2B －sin 2A ＝－sin A sin B ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，
所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π
3，
又A ＝π4，所以B ＝π－π3－π4＝5π
12.
根据正弦定理a sin A ＝b sin B
，
得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π
12＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝6＋22
，故选A. 12.解析：选B.依题意可得sin A ＋sin B sin A ＋sin C ＝45，sin A ＋sin B sin B ＋sin C ＝46，根据正弦定理可得a ＋b
a ＋c
＝
45，a ＋b b ＋c ＝46，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝4c 6a ＋2b ＝4c
，解得b ＝53a ，c ＝7
3a ，故△ABC 的最大边长为c .由cos C ＝a 2
＋b 2
－c 2
2ab ＝a 2＋259a 2－49
9a 2
2a ×53
a
＝－1
2
，可得sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，依题意可得12ab sin C ＝
12
a ×53a ×32＝153，a 2＝36，解得a ＝6，故c ＝73a ＝7
3
×6＝14，选B. 13.解析：法一：由三角函数的定义，得x 0＝cos α，y 0＝sin α＝1－x 20
，所以cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π3
＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12x 0－32·1－x 2
0＝－1113，解得x 0＝126或x 0＝－2326
(舍去).
法二：由三角函数的定义，得x 0＝cos α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π
6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝4313，所以cos α＝x 0
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－1113×12＋4313×32＝126
. 答案：126
14.解析：将函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上的每一个点都向左平移π
3个单位长度，得到函数g (x )＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＝12sin(2x ＋π)＝－12sin 2x 的图象，令π2＋2k π≤2x ≤3π
2＋2k π(k ∈Z )，
可得π4＋k π≤x ≤3π
4
＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ). 答案：⎣
⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3
4π，k ∈Z 15.解析：在△ABC 中，由sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 可得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin 2A ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝4sin A cos A ，所以cos A sin B ＝2sin A cos A ，即cos A (sin B －2sin A )＝0，即cos A ＝0或sin B ＝2sin A ，
①当cos A ＝0时，A ＝π
2
;
②当sin B ＝2sin A 时，根据正弦定理得b ＝2a ，
由余弦定理c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ，结合c ＝2，C ＝π3，得a 2＋b 2－ab ＝4，所以a ＝23
3，
b ＝433，所以b 2＝a 2＋
c 2，所以B ＝π2，所以A ＝π
6
.
综上可得，A ＝π2或π6.
答案：π2或π6
16.解析：如图，延长DC ，AB 交于点E ，
因为∠DCA ＝2∠BAC ，所以∠BAC ＝∠CEA .又∠ABC ＝90°，所以BA →＝－BE →.因为BD →
＝xBA →＋yBC →，所以BD →＝－xBE →＋yBC →
.因为C ，D ，E 三点共线，所以－x ＋y ＝1，即x －y ＝－1.
答案：－1。