材料力学第五章弯曲应力

若梁在某段内各横截面的弯矩为 常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
A C a
D
B
a
称为纯弯曲.
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
F
+ +
Fa
F
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
(Stresses in Beams)
§5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )
h
z y D d
3 π D 空心圆截面 W (1 4 ) 32
z y
(Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
yc max
M
σ t max
观察变形， 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
应力的分布规律
static relationship
Establish the formula
建立公式
(Stresses in Beams) 一、实验（ Experiment）
1.变形现象（Deformation phenomenon ) 纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，
A 1m
a
1 2
120
B 2m
30
z
180
y
M
qL2/8
x
qLx qx2 Ma ( ) 2 2 Mmax qL2 / 8
x 1
60kNm
60 32 / 8 67.5kNm
a
(Stresses in Beams)
q=60 kN/m
求应力
A 1m
a
1 2 120
B
2m
30
2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h 5 3.平面弯曲（Plane bending） 4.直梁（Straight beams）
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式（Mathematical formula)
A A
（1）
My
y
M iy dM y zσdA 0 （2）
dFN σdA
dM y z dA dM z y dA
M iz dM z yσdA M （3） A A
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（1）式，得
FN E dA 0
y dA M A
2
E

Iz M
M E Iz
(Stresses in Beams)
将
M y 代入 σ E EI z My σ Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
1
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
一、弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)
§5-1 引言 (Introduction)
m
(Stresses in Beams)
M
当梁上有横向外力作用时，一般情况下， 梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS. 剪力FS 切应力
m FS m
弯矩M 正应力 只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩.
中性层 横截面对称轴
(Stresses in Beams) 二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
O
d
O
x O y
b
z b 图（a）
y
O’
z b’ y
O’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( y )d
应变分布规律：
( y )d d y d bb dx OO O' O' d
a
(Stresses in Beams)
q=60 kN/m
a—a 截面上最大正应力∶
A 1m
a
1 2 120
B
1max
M1 Wz
2m
30
60 104 92.6 MPa 6.48
全梁最大正应力∶
z
180
max
M
y
M max Wz
qL2/8
67.5 104 104.2 MPa 6.48
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
(Stresses in Beams) 三、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以 σ E
σ Eε
? ?
M
O
z
y
x

y
应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
σmax
M max [σ ] W
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
（1） 强度校核
M max [σ ] W
M max （2）设计截面 W [σ ]
（3）确定许可载荷 M max W [σ ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σ t ] [σc ]
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
σ t max σ c max（两者有时并不发生在同一横截面上）
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σ t max [σ t ]
σ c max [σc ]
(Stresses in Beams)
a q=60 kN/m 例 1:均布载荷作用的简支梁如图所 示，试求： （1）a—a截面上1、2两点正应力 （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求a—a截面 的曲率半径。 解：求弯矩画M图∶
W z [σ ] F 3kN a
仍与变形后的纵向弧线垂直.
(Stresses in Beams)
2.提出假设 ( Assumptions） （a）平面假设：变形前为平面的横截面
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤
压，只受单向拉压.
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
(Stresses in Beams)
如右图结构，用公式计算正应力误差如下表 ：
P
h
L
L/ h %
1 26
2 6.67
3 2.96
4 1.96
5 1.05
6 0.74
8 0.42
10 0.27
剪力为主
弹力计算区
材力求解区
(Stresses in Beams)
讨论 （1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情 况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M
Mz
z
内力与外力相平衡可得
O
y
dA
x σdA
FN
σ dA 0 FN A dFN A
计算横力弯曲时横截面上的正应力.
等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ M ( x )
W
(Stresses in Beams) 二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula )
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
x
a
(Stresses in Beams)
q=60 kN/m a—a截面上曲率半径
A 1m
a
1 2
B 2m
30
EI z 1 M1 200 5.832 10 60 194.4m
x
120
M
qL2/8
180
(Stresses in Beams)
例题2 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板 材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允 F F F R B 许压紧力F. RA 解：（1）作出弯矩图的最大弯
deformation geometric relationship physical relationship
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
A
y
E

A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy zE dA 0
A
y
E

A
yzdA 0
I yz A yzdA 0
自然满足 将应力表达式代入(3)式，得
M iz yE dA M
A
y
E Iz
I 引用记号 W z —抗弯截面系数 ymax M σmax 则公式改写为 W
(Stresses in Beams)
（1）当中性轴为对称轴时
Iz πd / 64 πd 实心圆截面 W d /2 d /2 32
4
3
d z
y
b
矩形截面
Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6 d α D
z
My t max Iz Myc max Iz
yt max
y
σ c max
σ tmax
(Stresses in Beams)
§5-3 横力弯曲时的正应力
(Normal stresses of the beam in nonuniform bending) 一、横力弯曲(Nonuniform bending)
(Stresses in Beams)
第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
矩为Fa；
A
B
C a
2a
（2）求惯性矩，抗弯截面系数
( 3cm )( 2cm )3 (1.4cm )( 2cm )3 Iz 1.07cm 4 12 12 Iz 1.07cm 4 Wz 1.07cm 3 ymax 1cm Fa Wz [σ ]
（3）求许可载荷
+
M max Wz [σ ]
bh3 120 1803 Iz 1012 12 12 5.832 10 5 m 4
Wz I z /( h / 2) 6.48 10 m
M1 y 1 2 Iz
x
4 3
z
180
a—a 截面上1、2两点正应力∶
M
y
qL2/8
60 60 105 61.7 MPa 5.832
当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在 横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力 使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压 此种情况下的弯曲称为横力弯曲.
应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
内力
m m
FS
M
m
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) F F
(Stresses in Beams) 二、分析方法 (Analysis method)
三、纯弯曲（Pure bending)