2020-2021学年天津市和平区耀华嘉诚国际学校九年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年天津市和平区耀华嘉诚国际学校九年级（上）开
学数学试卷
1.矩形各内角平分线围成的四边形是( )
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
2.把√1.5化成最简二次根式为( )
A. √3
B. √3
2C. √6
3
D. √6
2
3.如图，有一张直角三角形纸片，直角边AC=√3，∠B=30∘，将△ABC
折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A. 1
B. √2
C. √3
3
D. √3
2
4.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A. 24cm2
B. 36cm2
C. 48cm2
D. 60cm2
5.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1
B. k<1且k≠0
C. k≠0
D. k>1
6.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，
如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为( )
A. x(x+1)=1035
B. x(x−1)=1035x2
C. x(x−1)=1035
D. 2x(x+1)=1035
7.对于抛物线y=−1
2
(x+1)2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(−1,3)；④x>1时，y随x的增
大而减小，
其中正确结论的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得抛物线的解析式是( )
A. y=(x−1)2+2
B. y=(x+1)2+2
C. y=x2+1
D. y=x2+3
9.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x与y的对应值如表：
x−7−6−5−4−3−2
y−27−13−3353
则当x=1时，y的值为( )
A. 5
B. −3
C. −13
D. −27
10.二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示．当y<0时，自变量x的取值范围是( )
A. −1<x<3
B. x<−1
C. x>3
D. x<−3或x>3
11.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连
接BF、DE，则图中阴影部分面积是cm2.( )
A. 4
5
B. 2
3
C. 5
6
D. 3
4
12.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、
BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E.若AB=
10，AD=6，AF=8，则BG的长度是( )
A. 2
B. 2√5
C. 4
D. 4√5
13.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个根是−2，则另一个根是______.
14.设函数y=(m−4)x m2−5m+5+m−4，当m=______时，它是一次函数；图象经过______象
限；当y随x增大而______.
15.使√(x−1)2=1−x成立的x的取值范围是______.
16.如图，一次函数y=−2x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、
B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
且∠BAC=90∘，则点C坐标为______.
17.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB
的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=3，AB=CF=
2，则CG的长为__________.
18.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点
C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B1(1,1)，B2(3,2)，则B n的坐标是______.
19.用适当方法解方程：
(1)3x(x−1)=2x−2
(2)x2+4x+3=0
(3)x2+2(√3+1)x+2√3=0
(4)3x2+10x+5=0
20.已知二次函数y=x2−2x−3
(1)请你把已知的二次函数化成y=(x−ℎ)2+k的形式：______，并在平面直角坐标系中画
出它的图象；
(2)如果A(x1,y1)、B(x2,y2)是(1)中图象上的两点，且x1<x2<1，请直接写出y1、y2的大小
关系为______；
(3)利用(1)中的图象表示出方程x2−2x−1=0的根m，n(m<n,画在(1)的图象所在坐标系
中即可，要求保留画图痕迹；
(4)观察(1)中的图象知，当x>0时，y的取值范围是______.
21.下表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式：
收费方式月使用费/元包时上网时间/ℎ超时费/(元/min)
A30250.05
B50500.05
C120不限时
设上网时间为t小时．
(I)根据题意，填写下表：
月费/元上网时间/ℎ超时费/(元)总费用/(元)方式A3040
方式B50100
(II)设选择方式A方案的费用为y1元，选择方式B方案的费用为y2元，分别写出y1、y2与t 的数量关系式；
(III)当75<t<100时，你认为选用A、B、C哪种计费方式省钱(直接写出结果即可)？
x+2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，22.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=−2
3
直线y2=kx+b(k≠0)经过点C(1,0)且与线段AB交于点P，并把△ABO分成两部分．
(1)求△ABO的面积；
(2)若△ABO被直线CP分成的两部分的面积相等，求点P的坐标及直线CP的函数表达式．
23.用总长为60m的篱笆围成矩形场地．
(1)根据题意，填写下表：
矩形一边长/m5101520
矩形面积/m2125__________________
(2)设矩形一边长为l m，矩形面积为Sm2，当l是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩形
场地的最大面积
(3)当矩形的长为______ m，宽为______ m时，矩形场地的面积为216m2
24.如图所示，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半
轴上，连接AC，且AC=4√5，OC
OA =1
2
(1)求AC所在直线的解析式；
(2)将纸片OABC折叠，使点A与点C重合(折痕为EF)，求折叠后纸片重叠部分的面积．
(3)求EF所在的直线的函数解析式．
25.将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(2,0)，点B在第一象
限，∠OAB=90∘，∠B=30∘，点P在边OB上(点P不与点O，B重合).
(Ⅰ)如图①，当OP=1时，求点P的坐标；
(Ⅰ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ=OP，
点O的对应点为O′，设OP=t.
①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤t≤3时，求S的取值范围(直接写出结果即可).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵AF ，BE 是矩形的内角平分线．
∴∠ABF =∠BAF −90∘.
故∠1=∠2=90∘.
同理可证四边形GMON 四个内角都是90∘，则四边形GMON 为矩形．
又∵有矩形ABCD 且AF 、BE 、DK 、CJ 为矩形ABCD 四角的平分线， ∴有等腰直角△DOC ，等腰直角△AMD ，等腰直角△BNC ，AD =BC. ∴OD =OC ，△AMD ≌△BNC ， ∴NC =DM ，
∴NC −OC =DM −OD ， 即OM =ON ，
∴矩形GMON 为正方形， 故选：D.
此类题根据矩形性质，三角形内角和定理及角平分线定义得到所求的四边形的各个角为90∘，进而求解．
本题考查的是矩形性质，角平分线定义，联系三角形内角和的知识可求解．
2.【答案】D
【解析】解：原式=√3
2
=√6
4
=
√62
. 故选：D.
先把小数化成分数，根据√a
b =√a
√b
(a ≥0,b >0)化简即可．
本题考查了最简二次根式，掌握√a
b =√a
√
b (a ≥0,b >0)是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由翻折可知：DA=DB，
∵∠C=90∘，AC=√3，∠B=30∘，
∴AB=2AC=2√3，
∴BC=√3AC=3，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，
设CD=x，则AD=BD=3−x，
∴(√3)2+x2=(3−x)2，
解得：x=1，
即CD的长为1，
故选：A.
由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100.根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．
【解答】
∵a+b=14
∴(a+b)2=196
∴2ab=196−(a2+b2)=96
∴1
2
ab=24.
故选：A.
5.【答案】B
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=(−6)2−4×k×9>0，
解得k<1且k≠0.
故选：B.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=(−6)2−4×k×9>0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方
程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x−1)张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x(x−1)=1035.
故选：C.
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
7.【答案】C
<0，
【解析】解：①∵a=−1
2
∴抛物线的开口向下，故正确；
②对称轴为直线x=−1，故错误；
③顶点坐标为(−1,3)，故正确；
④∵x>−1时，y随x的增大而减小，
∴x>1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选：C.
根据二次函数的性质对各结论判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先利用二次函数的性质得到抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，再根据点平移的规律得到点(0,2)平移后所得对应点的坐标为(0,1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】
解：抛物线y=x2+2的顶点坐标为(0,2)，点(0,2)向下平移1个单位长度所得对应点的坐标为(0,1)，所以平移后的抛物线的解析式为y=x2+1，
故选：C.
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，利用二次函数对称性得出x=1与x=−7时对应y的值相等是解题关键．
利用x=−2与x=−4时对应y的值相等得出对称轴，则x=1与x=−7时对应y的值相等，即可
得出答案．
【解答】
解：根据图表得出：当x=−2，−4时，对应y的值为3，故此函数的对称轴为x=−3，
则利用二次函数的对称性得出x=1与x=−7时对应y的值相等，
故当x=1时，y的值为−27，
故选：D.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
先观察图象确定抛物线y=x2−2x−3的图象与x轴的交点，然后根据y<0时，得到所对应的自变量x的取值范围．
本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答.
【解答】
解：由图象可以看出：
y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3；
故选A.
11.【答案】B
【解析】解：如图，连接CG.
∵正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，
∴△CDE≌△CBF，易得，△BGE≌△DGF，又S△BGE=S△EGC，S△DGF=S△CGF，
于是S△BGE=S△EGC=S△DGF=S△CGF，
又因为S△BFC=1×1
2×1
2
=1
4
cm2，
所以S△BGE=1
3×1
4
=1
12
cm2，
则空白部分的面积为4×1
12=1
3
cm2，
于是阴影部分的面积为1×1−1
3=2
3
cm2.
故选：B.
此题将阴影部分的面积和正方形的性质相结合，有一定的难度．解题的关键是利用同底等高的三角形的面积相等．
连接CG，根据同底等高的三角形面积相等，得出四个三角形：△BEG、△EGC、△GCF、△GFD的面积相等，再求出△BFC的面积，即可求出一个三角形的面积，进而求出空白部分的面积，再利用正方形的面积减去空白部分的面积即可．
12.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠AFD=∠DAF，
∴DF=AD=6，
∴CG=DF=6.
∴CG+DF=12，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴CD=AB=10.
∴10+FG=12，
∴FG=2，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠BAD+∠ABC=180∘，
即2∠BAF+2∠ABG=180∘，
∴∠BAF+∠ABG=90∘.
∴∠AEB=180∘−(∠BAF+∠ABG)=180∘−90∘=90∘，
∴AF⊥BG，
过点B作BH//AF交DC的延长线于点H.
∴∠GBH=∠AEB=90∘.
∵AF//BH，AB//FH，
∴四边形ABHF为平行四边形．
∴BH=AF=8，FH=AB=10，
∴GH=FG+FH=2+10=12，
在Rt△BHG中：BG=√GH2−BH2=4√5.
故选：D.
由平行四边形的性质求出FG=2，证出AF⊥BG，过点B作BH//AF交DC的延长线于点H.得出∠GBH=∠AEB=90∘，由勾股定理求出答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直的定义以及勾股定理等知识．注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
13.【答案】1
【解析】解：把x=−2代入x2+(k+3)x+k=0得到：
(−2)2+(k+3)×(−2)+k=0，
解得k=−2.
设方程的另一根为t，则
−2t=−2，
解得t=1.
故答案是：1.
把方程的一个根−2代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数k的值是解决问题的关键．
14.【答案】1 第二、三、四减小
【解析】解：根据一次函数的定义，得：m2−5m+5=1，
解得m=4或m=1，
又∵m−4≠0，即m≠4，
∴当m=1时，这个函数是一次函数；
将m=1代入函数y=(m−4)x m2−5m+5+m−4，
可得：y=−3x−3，
∵k<0，b<0，
∴图象经过第二、三、四象限，y随x的增大而减小．
故答案为：1，第二、三、四，减小．
根据一次函数的定义，令m2−5m+5=1且m−4≠0即可求出m的值，将m的值代入函数y= (m−4)x m2−5m+5+m−4，根据k、b的取值即可判断图象经过的象限及函数增减性．
本题考查了一次函数的定义，及一次函数y=kx+b的图象性质及函数增减性．
15.【答案】x≤1
【解析】解：∵√(x−1)2=|x−1|，
∴|x−1|=1−x，
∴x−1≤0，即x≤1.
故答案为x≤1.
根据√a2=|a|得到√(x−1)2=|x−1|，则有|x−1|=1−x，根据绝对值的意义即可得到x的取值范围．
本题考查了二次根式的性质与化简：√a2=|a|.
16.【答案】(3,1)
【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
令x=0，得y=2，
令y=0，得x=1，
∴A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠BAO+∠CAD=90∘，
∵∠ACD+∠CAD=90∘，
∴∠BAO=∠ACD，
∵∠BOA=∠ADC=90∘，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴AD=BO=2，CD=AO=1，
∴OD=3，
∴C(3,1)
故答案为(3,1).
先求出点A ，B 的坐标，再判断出△ABO ≌△CAD ，即可求出AD =2，CD =1，即可得出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是综合题．
17.【答案】3
2
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD =BC ，CD =AB ，DC//AB ，
∵AD =3，AB =CF =2，
∴CD =2，BC =3，
∴BF =BC +CF =5，
∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点，
∴BF =BE =5，DG =EG ，
延长CG 交BE 于点H ，
∵DC//AB ，
∴∠CDG =∠HEG ，
在△DCG 和△EHG 中，{∠CDG =∠HEG
DG =EG ∠DGC =∠EGH
，
∴△DCG ≌△EHG(ASA)，
∴DC =EH ，CG =HG ，
∵CD =2，BE =5，
∴HE =2，BH =3，
∵∠CBH =60∘，BC =BH =3，
∴△CBH 是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG=1
2CH=3
2
，
故答案为：3
2
.
18.【答案】(2n−1,2n−1)
【解析】
【分析】
本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
由图和条件可知A1(0,1)，A2(1,2)，由此可以求出直线为y=x+1，B n的横坐标为A n+1的横坐标，纵坐标为A n的纵坐标，又A n的横坐标为A n=2n−1−1，所以纵坐标为2n−1，然后就可以求出B n的坐标为(A n+1的横坐标，A n的纵坐标).
【解答】
解：∵点B1(1,1)，B2(3,2)，
∴A1(0,1)，A2(1,2)，
∴直线y=kx+b(k>0)为y=x+1，
∴A3(3,4)，
∴B n的横坐标为A n+1的横坐标，纵坐标为A n的纵坐标，
又A n的横坐标为A n=2n−1−1，所以纵坐标为2n−1，
∴B n的坐标为(A n+1的横坐标，A n的纵坐标)=(2n−1,2n−1).
故答案为：(2n−1,2n−1).
19.【答案】解：(1)3x(x−1)=2x−2，
3x(x−1)−2(x−1)=0，
(x−1)(3x−2)=0，
x−1=0或3x−2=0，
所以x1=1，x2=2
3
；
(2)x2+4x+3=0，
(x+3)(x+1)=0，
x+3=0或x+1=0，
所以x1=−3，x2=−1；
(3)x2+2(√3+1)x+2√3=0，
(x+2)(x+√3)=0，
x+2=0或x+√3=0，
所以x 1=−2，x 2=−√3； (4)3x 2+10x +5=0
Δ=102−4×3×5=40>0，
x =−b±√b 2−4ac
2a
=−10±2√52×3=−5±√53， 所以x 1=−5+√5
3，x 2=−5−√5
3.
【解析】(1)先移项得到3x(x −1)−2(x −1)=0，然后利用因式分解法解方程；
(2)利用因式分解法把方程转化为x +3=0或x +1=0，然后解两个一次方程即可；
(3)利用因式分解法把方程转化为x +2=0或x +√3=0，然后解两个一次方程即可；
(4)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
20.【答案】y =(x −1)2−4y 1>y 2 y ≥−4
【解析】解：(1)∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，
∴该抛物线的顶点坐标为(1,−4)，对称
轴为直线x =1；
当y =0时，则x 2−2x −3=0，
解得x 1=−1，x 2=3，
∴该抛物线与x 轴的两个交点的坐标分
别为(−1,0)，(3,0)；
当x =0时，y =−3，
∴该抛物线与y 轴的交点的坐标为
(0,−3)，
故答案为：y =(x −1)2−4，
画出该函数的图象如图所示．
(2)由(1)得，抛物线的对称轴是直线
x =1，
∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，
∵x 1<x 2<1，
∴y 1>y 2，
故答案为：y 1>y 2.
(3)当y =−2时，则x 2−2x −3=−2，
∴x 2−2x −1=0，
该方程的两个根即为抛物线y =x 2−2x −3与直线y =−2的交点的横坐标，
如图，点M 、N 的横坐标即为m 、n 的值．
(4)由函数图象可知，当x >0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，
∴y 的取值范围是y ≥−4，
故答案为：y ≥−4.
(1)将y =x 2−2x −3配成顶点式得y =(x −1)2−4，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可；
(2)由(1)得抛物线的对称轴为直线x =1，由图象可知，当x <1时，y 随x 的增大而减小，所以当x 1<x 2<1时，则y 1>y 2；
(3)当y =−2时，则x 2−2x −3=−2，整理得x 2−2x −1=0，可知该方程的两个根即为抛物线y =x 2−2x −3与直线y =−2的交点的横坐标，画出这两个交点即可；
(4)由函数图象可知，当x >0时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以y ≥−4.
此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键．
21.【答案】解：(I)当t =40ℎ时，方式A 超时费：0.05×60(40−25)=45，总费用：30+45=75， 当t =100ℎ时，方式B 超时费：0.05×60(100−50)=150，总费用：50+150=200. 填表如下：
1当t >25时，y 1=30+0.05×60(t −25)=3t −45，
所以y 1={30(0≤t ≤25)3t −45(t >25)
； 当0≤t ≤50时，y 2=50，
当t >50时，y 2=50+0.05×60(t −50)=3t −100，
所以y 2={50(0≤t ≤50)3t −100(t >50)
；
(III)当75<t <100时，选用C 种计费方式省钱．理由如下：
当75<t <100时，y 1=3t −45，y 2=3t −100，y 3=120，
当t =75时，y 1=180，y 2=125，y 3=120，
所以当75<t <100时，选用C 种计费方式省钱．
【解析】(I)根据两种方式的收费标准分别计算，填表即可；
(II)根据表中给出A，B两种上宽带网的收费方式，分别写出y1、y2与t的数量关系式即可；(III)计算出三种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．
本题考查了一次函数的应用，解答时理解三种上宽带网的收费标准进而求出函数的解析式是解题的关键．
22.【答案】解：
(1)在直线y1=−2
3
x+2中，令x=0，得y1=2，
∴B(0,2)，
令y1=0，得x=3，
∴A(3,0)，
∴S△ABO=1
2AO⋅BO=1
2
×3×2=3；
(2)1
2S△ABO=1
2
×3=3
2
，
∵点P在第一象限，
∴S△APC=1
2AC⋅y p=1
2
×(3−1)×y p=3
2
，
解得y p=3
2
，
而点P又在直线y1上，
∴3
2=−2
3
x+2，
解得x=3
4
，
∴P(3
4,3
2 )，
将点C(1,0)、P(34,32)，代入y =kx +b 中，有{0=k +b 32=34
k +b ， ∴{k =−6b =6
. ∴直线CP 的函数表达式为y =−6x +6.
【解析】本题考查的是一次函数的性质以及三角形面积的综合运用，难度中等．
(1)已知直线y 1的解析式，分别令x =0，y =0求出A ，B 的坐标，继而求出S △ABO .
(2)由(1)得S △ABO ，推出S △APC 的面积为32，求出y p =3
2，继而求出点P 的坐标，依题意可知点C ，P 的坐标，联立方程组求出k ，b 的值后求出函数解析式．
23.【答案】200 225 200 18 12
【解析】解：(1)补全表格如下：
矩形一边长/m 5
10 15 20 矩形面积/m 2 125 200 225 200
故答案为：200、225、200；
(2)根据题意知，S =l(30−l)
=−(l −15)2+125，
当l =15时，S max =125，
答：当l 是15m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为125m 2；
(3)设矩形的长为xm 时场地面积为216m 2，此时矩形的宽为(30−x)m ，
根据题意，得：x(30−x)=216，
解得：x =18或x =12，
答：当矩形的长为18m ，宽为12m 时，矩形场地的面积为216m 2.
故答案为：18、12.
(1)根据矩形的面积公式计算即可；
(2)根据题意得出S =l(30−l)=−(l −15)2+125，再利用二次函数的性质可得答案；
(3)设矩形的长为xm 时场地面积为216m 2，此时矩形的宽为(30−x)m ，根据矩形的面积公式列出关于x 的方程，解之即可．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
24.【答案】解：(1)∵OC OA =1
2，
∴可设OC =x ，则OA =2x ，
在Rt △AOC 中，由勾股定理可得OC 2+OA 2=AC 2，
∴x 2+(2x)2=(4√5)2，解得x =4(x =−4舍去)，
∴OC =4，OA =8，
∴A(8,0)，C(0,4)，
设直线AC 解析式为y =kx +b ，
∴{8k +b =0b =4，解得{k =−12b =4
， ∴直线AC 解析式为y =−12x +4； (2)由折叠的性质可知AE =CE ，
设AE =CE =y ，则OE =8−y ，
在Rt △OCE 中，由勾股定理可得OE 2+OC 2=CE 2，
∴(8−y)2+42=y 2，解得y =5，
∴AE =CE =5，
∵∠AEF =∠CEF ，∠CFE =∠AEF ，
∴∠CFE =∠CEF ，
∴CE =CF =5，
∴S △CEF =12CF ⋅OC =12×5×4=10，
即重叠部分的面积为10；
(3)由(2)可知OE =3，CF =5，
∴E(3,0)，F(5,4)，
设直线EF 的解析式为y =k′x +b′，
∴{3k′+b′=05k′+b′=4，解得{k′=2b′=−6
， ∴直线EF 的解析式为y =2x −6.
【解析】本题为一次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及方程思想等知识．在(1)中求得A 、C 的坐标是解题的关键，在(2)中求得CF 的长是解题的关键，在(3)中确定出E 、F 的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
(1)设OC =x ，由条件可得OA =2x ，在Rt △OAC 中，由勾股定理可列方程，则可求得OC 的长，可得出A 、C 的坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；
(2)可设AE =CE =y ，则有OE =8−x ，在Rt △OEC 中，可求得x 的值，再由矩形的性质可证得CE =CF ，则可求得△CEF 的面积；
(3)由(2)可求得E 、F 的坐标，利用待定系数法即可求得直线EF 的函数解析式．
25.【答案】解：(Ⅰ)如图①中，过点P作PH⊥OA于H.
∵∠OAB=90∘，∠B=30∘，
∴∠BOA=90∘−30∘=60∘，
∴∠OPH=90∘−60∘=30∘，
∵OP=1，
∴OH=1
2OP=1
2
，PH=OP⋅cos30∘=√3
2
，
∴P(
1
2
,
√3
2
).
(Ⅰ)①如图②中，
由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，
∴OP=O′P，OQ=O′Q，
∵OP=OQ=t，
∴OP=OQ=O′P=O′Q，
∴四边形OPO′Q是菱形，
∴QO′//OB，
∴∠ADQ=∠B=30∘，
∵A(2,0)，
∴OA=2，QA=2−t，
在Rt△AQD中，DQ=2QA=4−2t，∵O′D=O′Q−QD=3t−4，
∴43
<t <2. ②当点O′落在AB 上时，重叠部分是△PQO′，此时t =43，S =
√34×(43)2=4√39， 当43<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S =√34t 2−√38(3t −4)2=−7√38t 2+3√3t −2√3， 当t =√3
2×(−7√38)=127
时，S 有最大值，最大值=4√37， 当t =1时，S =
√34，当t =3时，S =12×12×√32=√38， 综上所述，√38≤S ≤4√37
. 【解析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
(Ⅰ)如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H.解直角三角形求出OH ，PH 即可．
(Ⅰ)①解直角三角形求出DQ ，DO′即可．
②先求出点O′落在AB 上时S 的值．当43<t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，求出S =−7√38t 2+3√3t −2√3，根据二次函数的性质求出此时S 的最大值；再求出当t =1或3时，S 的值即可判断．。