江西省宜春市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷含解析

江西省宜春市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若关于x 的不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩
无解，则a 的取值范围是（ ）
A ．a≤﹣3
B ．a ＜﹣3
C ．a ＞3
D ．a≥3
2．抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一．对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（ ）
A ．20，20
B ．30，20
C ．30，30
D ．20，30
3．为了纪念物理学家费米，物理学界以费米（飞米）作为长度单位．已知1飞米等于0.000000000000001米，把0.000000000000001这个数用科学记数法表示为（ ） A ．1×10﹣15
B ．0.1×10﹣14
C ．0.01×10﹣13
D ．0.01×10﹣12
4．如图所示，有一条线段是ABC ∆（AB AC >）的中线，该线段是（ ）.
A ．线段GH
B ．线段AD
C ．线段AE
D ．线段AF
5．计算
33
x x x -+的结果是（ ） A ．6x x
+ B ．6x x -
C ．
1
2
D ．1
6．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为( )
A．30°B．36°C．54°D．72°
8．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（）
A．B．C．D．
9．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×107
10．已知二次函数y=x2 + bx +c 的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P，若S△APB=1，则b与c满足的关系是（）
A．b2 -4c +1=0 B．b2 -4c -1=0 C．b2 -4c +4 =0 D．b2 -4c -4=0
11．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1
12．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若二次函数y＝－x2－4x＋k的最大值是9，则k＝______．
14．正八边形的中心角为______度．
15．某校广播台要招聘一批小主持人，对A、B两名小主持人进行了专业素质、创新能力、外语水平和应变能力进行了测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示：
应聘者专业素质创新能力外语水平应变能力
A 73 85 78 85
B 81 82 80 75
如果只招一名主持人，该选用______；依据是_____．（答案不唯一，理由支撑选项即可）
16．已知∠α=32°，则∠α的余角是_____°．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B 落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
18．早春二月的某一天，大连市南部地区的平均气温为﹣3℃，北部地区的平均气温为﹣6℃，则当天南部地区比北部地区的平均气温高_____℃．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．
（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；
（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
20．（6分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
()1若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？
()2若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖
式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
()3若该工厂新购得65张规格为33m
⨯的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子
.
共______只
21．（6分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分的学生成绩进行统计，绘制统计图如图（不完整）．
类别分数段
A 50.5～60.5
B 60.5～70.5
C 70.5～80.5
D 80.5～90.5
E 90.5～100.5
请你根据上面的信息，解答下列问题．
（1）若A组的频数比B组小24，求频数直方图中的a，b的值；
（2）在扇形统计图中，D部分所对的圆心角为n°，求n的值并补全频数直方图；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
22．（8分）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A，C，E三点在一直线上3 1.732，结果取整数）？
23．（8分）现有两个纸箱,每个纸箱内各装有4个材质、大小都相同的乒乓球,其中一个纸箱内4个小球上分别写有1、2、3、4这4个数，另一个纸箱内4个小球上分别写有5、6、7、8这4个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个纸箱中各随机摸出一个小球，然后把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得1分，若得到积是3的倍数，则乙得2分.完成一次游戏后,将球分别放回各自的纸箱,摇匀后进行下一次游戏,最后得分高者胜出.。

(1)请你通过列表(或树状图)分别计算乘积是2的倍数和3的倍数的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?若你认为不公平,请你修改得分规则,使游戏对双方公平.
24．（10分）某初级中学正在展开“文明城市创建人人参与，志愿服务我当先行”的“创文活动”为了了解该校志愿者参与服务情况，现对该校全体志愿者进行随机抽样调查．根据调查数据绘制了如下所示不完整统计图．条形统计图中七年级、八年级、九年级、教师分别指七年级、八年级、九年级、教师志愿者中被抽到的志愿者，扇形统计图中的百分数指的是该年级被抽到的志愿者数与样本容量的比．
请补全条形统计图；若该
校共有志愿者600人，则该校九年级大约有多少志愿者？
25．（10分）先化简，再求值：
2
22
(2)()
y x y
y x y x y
x y x y
⎛⎫-
-÷--+
⎪
+-
⎝⎭
，其中1
x=-，2
y=.
26．（12分）已知二次函数y=x2-4x-5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．（点B在点A的右侧）（1）当y=0时，求x的值．
（2）点M（6，m）在二次函数y=x2-4x-5的图像上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．
27．（12分）解分式方程：
3
3
x-
-1=
1
3-x
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．A 【解析】
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的取值范围即可．
【详解】∵不等式组324x a x a <+⎧⎨>-⎩
无解，
∴a ﹣4≥3a+2， 解得：a≤﹣3， 故选A ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
2．C 【解析】 【分析】
根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数． 【详解】
捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30， 中间两个数分别为30和30，则中位数是30， 故选C ． 【点睛】
本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握． 3．A 【解析】 【分析】
根据科学记数法的表示方法解答. 【详解】
解：把0.000?000?000?000?001这个数用科学记数法表示为15110-⨯． 故选：A ． 【点睛】
此题重点考查学生对科学记数法的应用，熟练掌握小于0的数用科学记数法表示法是解题的关键. 4．B 【解析】 【分析】
根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 【详解】
根据三角形中线的定义知：线段AD 是△ABC 的中线． 故选B ． 【点睛】
本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 5．D 【解析】 【分析】
根据同分母分式的加法法则计算可得结论． 【详解】
33x x x -+=33x x -+=x
x
=1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则． 6．B 【解析】 【分析】
俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可． 【详解】
由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得
拿掉第一排的小正方形，
拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形． 7．B
【解析】
【分析】
在等腰三角形△ABE中，求出∠A的度数即可解决问题．【详解】
解：在正五边形ABCDE中，∠A=1
5
×（5-2）×180=108°
又知△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，
∴∠ABE=1
2
（180°-108°）=36°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
8．C
【解析】
【分析】
设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】
设，则.
由折叠的性质，得.
因为点是的中点，
所以.
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故线段的长为4.
故选C. 【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键． 9．B 【解析】
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解：0.000000823=8.23×10-1． 故选B ．
点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10．D 【解析】 【分析】
抛物线的顶点坐标为P （−2b ，2
44
c b -），设A 、B 两点的坐标为A （1x ，0）、B （2x ，0）则AB ＝12x x -，
根据根与系数的关系把AB 的长度用b 、c 表示，而S △APB ＝1，然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b 、c 的等式． 【详解】
解：∵1212,x x b x x c +=-=， ∴AB ＝12x x -()
2
2121244x x x x b ac +-=-
∵若S △APB ＝1
∴S △APB ＝12×AB×2
44
c b - ＝1，
22
144124
c b b c -∴--=
∴−12×24b c -×2414
b c -=，
∴(22448b ac
b a
c --=，
24b ac -s ，
s=，
则38
故s＝2，
∴24
b c
-＝2，
∴2440
--=．
b c
故选D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性比较强．
11．D
【解析】
【分析】
先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
12．B
【解析】
【分析】
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：
则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，
故选B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
【详解】
请在此输入详解！
【点睛】
请在此输入点睛！
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．5
【解析】y=−(x−2)2+4+k，
∵二次函数y=−x2−4x+k的最大值是9，
∴4+k=9，解得：k=5，
故答案为：5.
14．45°
【解析】
【分析】
运用正n边形的中心角的计算公式360
n
︒
计算即可.
【详解】
解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为360
45
8
︒
=︒，
故答案为45°.
【点睛】
本题考查了正n边形中心角的计算.
15．A A的平均成绩高于B平均成绩
【解析】
【分析】
根据表格求出A,B的平均成绩,比较大小即可解题.
【详解】
解：A的平均数是80.25,B的平均数是79.5,
∴A比B更优秀,
∴如果只招一名主持人，该选用A；依据是A的平均成绩高于B平均成绩. 【点睛】
本题考查了平均数的实际应用,属于简单题,从表格中找到有用信息是解题关键. 16．58°
【解析】
【分析】
根据余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角可得答案．
【详解】
解：∠α的余角是：90°-32°=58°．
故答案为58°．
【点睛】
本题考查余角，解题关键是掌握互为余角的两个角的和为90度．
17．40°．
【解析】
【详解】
∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为40°．
18．3
【解析】
【分析】
用南部气温减北部的气温，根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”求出它们的差就是高出的温度．【详解】
解：（﹣3）﹣（﹣6）＝﹣3+6＝3℃．
答：当天南部地区比北部地区的平均气温高3℃，故答案为：3.
【点睛】
本题考查了有理数的减法运算法则，减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）见解析（2）不公平。

理由见解析
【解析】
解：（1）画树状图得：
所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，432。

（2）这个游戏不公平。

理由如下：
∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为。

∵甲胜的概率≠乙胜的概率，∴这个游戏不公平。

（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数。

（2）由（1），可求得甲胜和乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案。

20．（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或1．
【解析】
【分析】
()1表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，利用A 型板材65张、B 型板材110张，得出方程组求出答案；()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，进而得出方程组求出符合题意的答案．
【详解】
解：()1设最多可制作竖式箱子x 只，则A 型板材x 张，B 型板材4x 张，根据题意得
3090410000x x +⨯≤ 解得252539
x ≤． 答：最多可以做25只竖式箱子．
()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，根据题意，
得26543110a b a b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：530a b =⎧⎨=⎩
． 答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．
()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，由题意得：
2659343a b m a b m
+=⨯-⎧⎨+=⎩， 整理得，1311659a b +=⨯，()111345b a =-．
Q 竖式箱子不少于20只，
4511a ∴-=或22，这时34a =，13b =或23a =，26b =．
则能制作两种箱子共：341347+=或232649+=．
故答案为47或1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式． 21．（1）40（2）126°，1（3）940名
【解析】
【分析】
（1）根据若A 组的频数比B 组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a 、b 的值；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【详解】
（1）学生总数是24÷（20%﹣8%）=200（人），
则a=200×
8%=16，b=200×20%=40； （2）n=360×70200
=126°． C 组的人数是：200×25%=1．
；
（3）样本D 、E 两组的百分数的和为1﹣25%﹣20%﹣8%=47%，
∴2000×47%=940（名）
答估计成绩优秀的学生有940名．
【点睛】
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．450m.
【解析】
【分析】
若要使A 、C 、E 三点共线，则三角形BDE 是以∠E 为直角的三角形，利用三角函数即可解得DE 的长．
【详解】
解：ABD 120∠=︒Q ，D 30∠=︒，
AED 1203090∠∴=︒-︒=︒，
在Rt ΔBDE 中，BD 520m =，D 30∠=︒， 1BE BD 260m 2
∴==， ()22DE BD BE 2603450m ∴=-=≈．
答：另一边开挖点E 离D450m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．
【点睛】
本题考查的知识点是解直角三角形的应用和勾股定理的运用，解题关键是是熟记含30°的直角三角形的性质.
23．（1）
（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是3的倍数，则乙得12分
【解析】
试题分析：（1）列表如下：
共有16种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中，乘积是2的倍数的有12种，乘积是3的倍数的有7种.
∴Ｐ（两数乘积是2的倍数）
Ｐ（两数乘积是3的倍数）
（2）游戏不公平，修改得分规则为：把两个小球上的数字相乘，若得到的积是2的倍数，则甲得7分，若得到的积是3的倍数，则乙得12分
考点：概率的计算
点评：题目难度不大，考查基本概率的计算，属于基础题。

本题主要是第二问有点难度，对游戏规则的确定，需要一概率为基础。

24．（1）作图见解析；（2）1．
【解析】
试题分析：（1）根据百分比=计算即可解决问题，求出八年级、九年级、被抽到的志愿者人数画出条形图即可；
（2）用样本估计总体的思想，即可解决问题；
试题解析：解：（1）由题意总人数=20÷40%=50人，八年级被抽到的志愿者：50×30%=15人
九年级被抽到的志愿者：50×20%=10人，条形图如图所示：
（2）该校共有志愿者600人，则该校九年级大约有600×
20%=1人． 答：该校九年级大约有1名志愿者．
25．1
【解析】
分析：先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式的除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 详解：原式()()()()222,x y x y y xy y x y x y x y x y x y -+⎛⎫+=-⋅--+ ⎪++-⎝⎭
()()()
222,x y x y xy x xy y x y x y -+-=⋅---+- 222,xy x xy y =--++
222x y =-+，
当x=-1、y=2时，
原式=-（-1）2+2×
22 =-1+8
=1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
26．（1）15=x ，21x =-；（2）1cot 2
MCB ∠=
【解析】
【分析】
（1）当y=0，则x 2-4x-5=0，解方程即可得到x 的值.
(2) 由题意易求M ，P 点坐标，再求出MP 的直线方程，可得cot ∠MCB.
【详解】
（1）把0y =代入函数解析式得2450x x --=，
即()()510x x -+=，
解得：15x =，21x =-.
（2）把()6,M m 代入245y x x =--得7m =，即得()6,7M ， ∵二次函数245y x x =--，与y 轴的交点为P ，∴P 点坐标为()0,5P -.
设直线MP 的解析式为y kx b =+，代入()0,5P -，()6,7M 得576b k b -=⎧⎨=+⎩解得=5=2b k -⎧⎨⎩
， ∴25y x =-，
∴点C 坐标为5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 在Rt POC ∆中1cot 2OC OCP OP ∠=
=,又∵OCP MCB ∠=∠ ∴1cot 2
MCB ∠=
. 【点睛】 本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质.
27．7
【解析】
【分析】
根据分式的性质及等式的性质进行去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1即可.
【详解】
33x - -1=13x
- 3-(x-3)=-1
3-x+3=-1
x=7
【点睛】
此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是正确去掉分母.。