多项式根的友矩阵估计方法

多项式根的友矩阵估计方法
徐鑫;郑圣明
【摘要】This paper applied properties of companion matrices and matrix norm for estimating the roots of monadic polynomial with real coefficients .%运用矩阵理论中的友矩阵及矩阵范数等知识，估计了一元实系数多项式根的模的几个上下界。

【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(000)002
【总页数】3页(P310-312)
【关键词】多项式;友矩阵;矩阵范数;谱半径
【作者】徐鑫;郑圣明
【作者单位】安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601
【正文语种】中文
【中图分类】O151.1
0 引言
代数基本定理[1]揭示其在复数域C内至少有一根，然而并没有给出根的具体表达式.实际上，Abel和Galois的工作表明，5次及以上的一般的一元多项式不存在根
式解[6].因此，多项式根的范围的估计便成为了研究的热点，这方面的估计成果十
分丰富，经典的结论有 Sturm[3] 定理，再如[4，5] 等.
矩阵的特征值是基本且重要的概念，其求解问题实质上是多项式的求根问题，在矩阵理论中有着独特的研究方法.对特征值最经典的估计当数Gerschgorin圆盘定理，近年来新的估计层出不穷，如文献[8]等.矩阵是个强有力的工具.本文将用多项式的友矩阵把多项式与矩阵统一起来，主要给出一元实系数多项式根的模的几个上界. 对于一元n次实系数多项式
1 准备知识
为了方便，我们讨论首一多项式
定义多项式(2)的友矩阵为
易知，Af的特征多项式正是f(λ)，即
其中，In为n阶单位阵.由此可见，多项式(2)的根的估计问题等价于其友矩阵Af
的特征值的估计问题.关于矩阵特征值的分布，有以下著名的Gerschgorin圆盘定理.
引理1(Gerschgorin圆盘定理)[3] 给定n阶复方阵A=(aij)n×n，在平面上作闭圆盘:
其中1≤j≤n则方阵A的特征值必落在中.
引理2[2] n阶复矩阵A的谱半径为ρ(A)，‖A‖为A的任一相容的矩阵范数，则
ρ(A)≤‖A‖.
引理3[1] 设A，B分别是n×m，m ×n级矩阵，则
引理4(Weyl定理)[3] 设λ≥ λ ≥ … ≥
12 λn，μ1≥μ2≥…≥μn分别是n阶实对称方阵A和B的n个特征值，
v1≥v2≥…≥vn是A+B的n个特征值，则有λi+μn≤vi≤λi+μ1
2 主要结果
定理1 记
则多项式(2)的根λ0满足
证明: 对于f(λ)的友矩阵应用引理1，则一
方面Af的特征值落在行圆盘的并中，即| λ0|，|λ0+an－1|≤1中至少有一个不等式成立.注意到若| λ0+an－1|≤1 成立，则| λ0|≤1+|an－1|必成立.故知
|λ0|≤max{|a0|，1+|a1|，…，1+|an－1|}，即| λ0|≤ Mf.
另一方面，Af的特征值λ0必落在列圆盘的并中，同样知| λ0|≤ Mf′，从而 |
λ0|≤min{Mf，Mf′}证毕.
推论1 多项式(2)的根λ0满足
证明: 注意到
由定理1即得到(4).
推论1是多项式根模的估计中的一个基本结论，最早由Cauchy得到.而对于一般的多项式(1)，对f(λ)运用定理1有如下的结果:推论2 多项式(1)的根λ0满足
上面利用圆盘定理估计了根模.接下来基于引理2利用矩阵范数估计根模.
矩阵的行范数{与列范数{是相容的矩阵范数[2]，由引理2 知，Af的特征值λ0满足
注意到这是定理1的又一证明.
今Frobenius范数也是相容的矩阵范数[2]，故Af的特征值λ0满足
其实，Carmichael和Mason 给出了优于(6)的界[7]:
下面利用友矩阵给出异于[7]中的方法证明之.
定理2 多项式(2)的根λ0满足Carmichael－Mason界(7).
证明: 记α = [a0，a1，…，an－1]T，
故ααT的特征值从大到小为λ3=… =λn=0.而B的特征值从大到小为μ1=μ2= … = μn－1=1，μn=0，所以根据引理 4 得，A最大特征值满足
现考虑Af的谱范数它是相容的矩阵范数[2]，其中为Af的共轭转置.由引理2及(8)得Af的特征值λ0满足
定理2的证明过程启示我们可以进一步考虑Af的谱范数，为此考虑AH fAf的最大特征值.
定理3 多项式(2)的根λ0满足
其中
证明: 先计算即的特征值.
由于λ2－(a+2)λ+的判别式
故可知Af的特征值为
显然λ1≥ λ2，下证λ1≥1.若a≥1，则λ1≥≥1;若a ＜1，则由4a2≥知(a+1)2－≥(1－ a)2.进一步即得λ1≥1.从而λ1是的最大特征值，所以由引理2便得到|证毕. 从定理2和定理3的证明过程可知，也就是说(9)优于(7).对于界(9)有类似于推论2的结果，在此略去.对前文得到根模的上界稍加处理便能得到根模的下界.
推论3 若多项式(2)的常数项a0≠0，则其根λ0满足
其中
证明: 由于a0≠0，λ0≠0.由等式
的根，从而对g(λ)应用定理3得
其中由(11)即得到(10).
参考文献:
[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2003.
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