辽宁省大连市辽宁师范大学第二附属中学2019年高一数学文上学期期末试题含解析

辽宁省大连市辽宁师范大学第二附属中学2019年高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知对数函数f（x）过点（2，4），则f（）的值为（）
A．﹣1 B．C．D．1
参考答案：
D
【考点】求对数函数解析式．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】设出对数函数的解析式，求解即可．
【解答】解：设对数函数为：f（x）=log a x，对数函数f（x）过点（2，4），
可得4=log a2，解得a=，
对数函数为：f（x）=log x，
f（）==1．
故选：D．
【点评】本题考查对数函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．
2. 定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[
3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）
A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4
参考答案：
A
【考点】其他不等式的解法．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．
【分析】先化简f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g （x）在0≤x≤3时的解集的长度．
【解答】解：f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1
f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；
当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中当题．
3. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个
面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份面包是
A. 2个
B. 13个
C. 24个
D. 35个
参考答案：
A
【分析】
由题意可设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，然后由已知列式求得a，d的值，则答案可求．
【详解】解：设五个人所分得的面包数为：，，a，，其中，
则有，
，得．
又，
，得．
最小的一份为个，
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
4. 下列六个关系式：①②③④
⑤⑥其中正确的个数为
A.6个
B.5个
C. 4个
D. 少于4个
参考答案：
C
略
5. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则
（）
A．4 B．2 C．
D．
参考答案：
D
略
6. 将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A． B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新
的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到y=sin[
（x+）﹣]，整理后答案可得．
【解答】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin（x﹣），再将所得的图象向左平移个单位，
得函数y=sin[（x+）﹣]，即y=sin（x﹣），
故选：C．
7. 若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F (x)＝f(x)＋的值域是：
A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]
参考答案：
B
8. 已知函数y=使函数值为5的x的值是( )
A．﹣2 B．2或﹣C．2或﹣2 D．2或﹣2或﹣
参考答案：
A
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】分x≤0和x＞0两段解方程即可．x≤0时，x2+1=5；x＞0时，﹣2x=5．
【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=x2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=﹣2；
当x＞0时，f（x）=﹣2x=5，得x=﹣，舍去．
故选A
【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大．
9. 设函数的图象关于直线对称，则的值为（）
A 5
B
C 3 D
参考答案：
A
略
10. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且
，则的单调递增区间是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【详解】因为对任意恒成立，所以，则或，当时，，则
（舍去），当时，，则
，符合题意，即，令
，解得，即的单调递减区间是
；故选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．
参考答案：
﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角
函数的定义cosα=求出结果．
【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，
由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．
故答案为﹣．
12. 当a＞0且a≠1时，函数f (x)=a x－2－3必过定点 .
参考答案：
(2，－2).
13. 不等式的解集为_____▲_____．
参考答案：
(－2,1]
不等式等价于，根据一元二次不等式的解集的特征，可以断定
原不等式的解集为.
14. 在R上定义运算，则不等式的解集为_____．
参考答案：
(－4,1)
【分析】
根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．【详解】因为，所以，
即，得，解得：
故答案为：．
15. 设集合，且，则实数的取值范围是
参考答案：
略
16. 设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=．
参考答案：
{1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】由P与Q，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，
∴P∩Q={1，2}，
故答案为：{1，2}
17. 计算：= _________.
参考答案：
3
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）.已知扇形OAB的圆心角为120,半径长为6.
(1)求弧AB的长; (2)求弓形OAB的面积.
参考答案：
(1)∵rad,r=6, ∴弧AB的长为.
(2)∵,又sin
∴.
19. (本题满分12分)已知数列是一个等差数列，其前项和为，且，
.
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）求数列前项和，并求出的最大值.
（Ⅲ）求数列的前项和.
参考答案：
解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．………4分（Ⅱ）．………6分
所以时，取到最大值．…………8分
（Ⅲ）令，则. ∴
当时，…………10分当时，
综上所述：………12分
略
20. （本小题满分10分）已知函数，
（1）求a的值。

(2) 利用单调性定义证明函数在区间的单调性。

参考答案：
21. 已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为，，. （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列的前n项和T n.
参考答案：
解：（1）设等差数列的公差为，其中，
由，得，即，
由，得，即，
所以，
故.
（2）由（1）得，
则，
所以.
22. 已知函数．
（1）若且a=1时，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若x∈[0，π]且a=﹣1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x1、x2，求b的取值范围及x1+x2的值．
参考答案：
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由x∈[0，]，可求得≤2x+≤，从而可求得）2sin（2x+）的最大值和最小值；
（2）代入a=﹣1，可得，结合该函数在区间[o，π]的图象把方程f（x）=b的根转化为函数图象的交点问题．
【解答】解：（1））若a=1，则f（x）=2sin（2x+）+2，
∵x∈[0，]，
∴≤2x+≤，
∴当2x+=时，2sin（2x+）的取得最大值为2，此时f（x）=2sin（2x+）+2在
∈[0，]的最大值为4，
当2x+=时，2sin（2x+）的取得最小值为2sin=2×=﹣1，此时f
（x）=2sin（2x+）+2在∈[0，]的最小值为﹣1+2=1．
（2）若，
∵0≤x≤π，
∴
∴﹣，
∴﹣1≤f（x）≤2，
当f（x）=b有两不等的根，结合函数的图象可得1＜b＜2或﹣2＜b＜1，
即b∈（﹣2，1）∪（1，2）；
由2x+=，得x=，
由2x+=，得x=，
即函数在[0，π]内的对称性为x=和x=，
次两个根分别关于x=或x=对称，
即．
【点评】本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的性质，也体现了数形结合思想在解题中运用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．。