浅谈对小学除法运算一致性和阶段性的理解

浅谈对小学除法运算一致性和阶段性的
理解
数学是一个统一体，数学运算也是一个统一体。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》以核心素养为导向，对小学数学内容提出主题结构化，要求在日
常教学中，需将本质上相同的内容进行整合，体现数学内容的整体性、一致性和
阶段性，帮助学生形成结构化知识体系，利于学生知识的掌握，能力的发展，思
维的提升。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：在小学“数与
代数”领域，要让学生初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念的一致性，形
成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算的一致性，形成运算能力和初步的推理意识[1]。

因此，只有教师深入理解数运算的一致性和
阶段性才能更好的帮助学生理解数学本质，结构化的建立数学知识体系。

本文聚
焦除法教学，谈一谈对小学除法运算一致性和阶段性的认识。

一、对除法运算的整体认识
《小学数学教学基本概念解读》中对除法是这样描述的：除法是数学中的基
本运算之一，已知两个数a，b(b≠0)，要求一个数q，使q与b的积等于a，这
种运算称为除法，记为a÷b=q或a∶b=q。

除法可以定义为:已知两数的积与其中
一个因数，求另一个因数的运算。

因此，除法还是乘法的逆运算。

除法还可以看
作从被除数中连续减去除数，求减去除数的次数的算法[2]。

小学生对除法意义的学习是一个循序渐进，逐渐加深的过程。

二年级学生通
过操作等动作表征理解平均分和包含除的含义，中年级在总结归纳的基础上通过
数学化的过程理解除法是乘法的逆运算，高年级要理解掌握除法与比、分数的关系。

对于学生来说学习除法最大的困难再于除法竖式和加减乘竖式书写方式不一样，理解除法竖式每一步的具体含义能帮助学生理解算理，掌握算法，提高学生
的运算能力。

首先，要明确竖式是思维的一种外显，是对计算过程的记录，能够减轻思维过程中的记忆负担。

其次，要知道现在简洁规范的除法竖式，是历史传承演变而来的，这些方法并非是最自然的，书写的简约和工整隐藏了应当有的一些思考过程，对学生来说理解起来是有困难的。

了解除法竖式的演变历史能有效帮助学生理解除法算理掌握算法。

1.公元980年出现了与现代除法比较接近的一种Gerbert方法以及由些方法演变而来的方法[3]。

1.《御制数理精蕴》中的以乘算除
数学课堂教学中，老师适当呈现一些看似不够简捷，但更为容易让学生理解的竖式作为过渡，对于帮助学生理解算理掌握算法会大有裨益。

二、对小学除法运算一致性的认识
（一）从除法运算意义上理解除法运算的一致性：所有的运算都可以还原为加法，加法是所有运算的基础。

我们知道，除法是乘法的逆运算。

除法运算可以看作是连续减去一个相同的数，那么我们可以将一个除法算式转化为相同减数乘
减数的个数，而乘法是加法的简便运算，所以加法是所有运算的基础，加法运算
是四则运算的核心。

（二）从除法运算的计算方法上可以得到：无论整数、小数还是分数除法都
是关于计数单位的运算。

1.整数、小数还是分数除法都是细分计数单位的过程；如整数48÷3，先分4个十，每份1个十，商写在十位上，余下1个十，与个位的8合并得18
个一，再分18个一，每份6个一正好分完，商为16；小数4.8÷5，4个一不够
分商0占位，再将4个一与8个0.1合并为48个为0.1，每份是9个0.1，商写
在十分位上，余3个0.1，看作30个0.01，每份可以分6个0.01商写在百分位上，最后商是0.96。

÷3，就是把4个平均分成3份，4不能平均分成3份，所以把转化为，12个平均分成3份，每份是。

2.所有的除法运算都可以看作是计数单位除以计数单位，计数单位上的数字
除以计数单位上的数字。

如：
3.整数、分数、小数除法计算方法上的一致性，即除以一个数等于乘这个数
的倒数。

三、对小学除法运算阶段性的认识
1.人教版教材除法教学内容编排
2.除法教学的阶段性
在整体把握除法运算在小学阶段的编排顺序基础上，更要掌握各个年级除法教学的阶段性目标。

这样在教学中，教师才能抓住重点，有针对性的完成各阶段教学应承担的任务，提高教学效果。

二年级乘法口诀求商，学生重点要理解除法
平均分与包含除的意义；有余数除法学生要理解除法竖式的合理性，除法竖式为
什么与加、减、乘法的竖式不一样？三年级除数是一位数除法重点是让学生理解
为什么从高位除起？为什么要分两（三）层算？更要明确竖式每一步所表达的意义，即每一步是在分什么？分了多少份？分走了多少？还余多少？余下的怎么分？这样将竖式的记录活动与算理统一起来。

四年级除法要解决的是计算的技巧试商
调商的问题？对于小数除法要进一步理解计数单位细分的过程，重点解决小数点
移动的问题。

分数除法理解算理掌握算法的基础上体会分数除法与其它除法运算
的一致性。

四、结论
只有教师自身对除法运算的整体性和一致性有深刻的认识与理解，才是在教
学中设计出符合学生学习路径的驱动任务，才能从根本上更好的帮助学生理解算理，掌握算法，提高学生的运算能力和推理意识，促进学生核心素养的达成。

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2022.4.
[2]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M]. 北京：教育科
学出版社，2014.9（2016.7重印）
[3] 郜舒竹.小学数学这样教.[M].上海：华东师范大学出版社，2015.7。