高三数学上学期12月试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校静海区二零二零—二零二壹第一学期四校联考试卷
高三数学〔理工类〕试卷
本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷第1页至第2页，第二卷第2页至第4页。

试卷总分值是150分。

考试时间是是120分钟。

第一卷
一、选择题〔一共8题：每一小题5分，一共40分〕
1．集合，那么〔〕
A．B．C．D．
2．x、y满足，那么的最小值为〔〕
A．4B．6 C．12D．16
3．执行如以下图程序框图，输出的S＝〔〕
A．25B．9 C．17D．20
4．“〞是“〞的〔〕
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．，，，那么〔〕
A．B．C．D．
6．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变〕，再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，那么=〔〕
A．B．C．D．
7．双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，假设，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A．B．C．D．
8．在梯形中，∥，，动点和分别在线段和上，且，，那么的最大值为〔〕
A．B．C．D．
第二卷
二、填空题〔一共6题；每一小题5分，一共30分〕
9．假设复数满足，那么z为__________
10．的展开式中的系数为
__________．〔用数字答题〕
11．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的外表积为________.
12．直线的参数方程为为参数〕，圆的参数方程为为参数〕，那么直线被圆截得弦长为__________．
13．正实数a，b，c满足，，那么的取值范围是____________．
14．〔此题5分〕函数假设方程有四个不等的实数根，那么实数的取值
范围是__________．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共80分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕
15．〔本小题13分〕
函数.
〔Ⅰ〕求函数的最小正周期和单调递减区间；
〔Ⅱ〕在中，，，的对边分别为，，，求的值.
16．〔本小题13分〕
某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间是安排生活兴趣数学和校园舞蹈赏析两场讲座.A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.假设A组1人选听生活兴趣数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活兴趣数学，其余3人选听校园舞蹈赏析.
〔1〕假设从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；
〔2〕假设从A 、B 两组中各任选2人，设为选出的4人中选听生活兴趣数学的人数，求的分布列和数学期望.
17．〔本小题13分〕
如图，//AD BC 且AD =2BC ，AD CD ⊥,//EG AD 且EG =AD ，//CD FG 且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2.
〔I 〕假设M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN
CDE 平面；
〔II 〕求二面角E BC F --的正弦值；
〔III 〕假设点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为
60°，求线段DP 的长.
18．〔本小题13分〕 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n +1)(n ∈N*).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；
(3)令(n ∈N*)，求数列{c n }的前n 项和T n .
19．〔本小题14分〕
椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．
20．〔本小题14分〕
函数
〔1〕求函数的单调区间；
〔2〕假设在区间〔0，e ］上的最大值为－3，求m 的值；
〔3〕假设x≥1时，不等式恒成立，务实数k 的取值范围。

答案
一、单项选择题
1．〔此题5分〕集合，那么〔〕
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【详解】
∵集合A={x|x2≤4x}={x|0≤x≤4}，
B={x|3x﹣4＞0}={x|x}，
∴A∩B={x|＜x≤4}=〔]．
应选：C．
【点睛】
此题考察交集的求法，考察交集定义、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．
2．〔此题5分〕x、y满足，那么的最小值为〔〕
A．4B．6 C．12D．16
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的
坐标，代入目的函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A〔2，2〕，
令z=3x﹣y，化为y=3x﹣z，
由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为4．
应选：A．
【点睛】
此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得. 3．〔此题5分〕执行如以下图程序框图，输出的S＝〔〕
A．25B．9 C．17D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用循环构造，计算循环各个变量的值，当，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可．
【详解】
按照程序框图依次执行为，，；
，，；
，，，
退出循环，输出．故应选C．
【点睛】
解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.
4．〔此题5分〕“〞是“〞的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别断定充分性和必要性，得到结果
【详解】
，
，
当时，
，
，那么“〞是“〞的必要不充分条件
应选
【点睛】
此题主要考察了充要条件必要条件的判断，属于根底题。

5．〔此题5分〕，，，那么〔〕
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
,
故答案为：D.
6．〔此题5分〕将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变〕，再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，那么=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.
【详解】
函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，
再向左平移后得到，
因为的图象关于于对称，
，解得，
当时，，应选B.
【点睛】
此题考察了三角函数的图象与性质，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.
7．〔此题5分〕双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，假设，那么双曲线的渐近
线方程为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可得，结合条件可得，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得，进而得到渐近线的斜率．【详解】
如图，作于点.于点.因为与圆相切，，所以，，，.又点.整理，得.所以.所以双曲线的渐近线方程为.
应选A.
【点睛】
此题考察双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考察运算才能，属于中档题．
8．〔此题5分〕在梯形中，∥，，动点和分别在线段和上，且，，那么的最大值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用向量的数量积转化为关于λ的表达式；再根据打钩函数的单调性判断最值。

【详解】
因为∥，
所以ABCD是直角梯形，且CM=，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如以下图的平面直角坐标系
因为，，动点和分别在线段和上，那么
所以
令且
由根本不等式可知，当时可获得最大值，那么
所以选D
【点睛】
此题考察了向量数量积和打钩函数的综合应用。

利用坐标法研究向量的关系是非常简便实用的方法；使用根本不等式要注意“一正二定三相等〞这些条件是否满足，属于中档题。

二、填空题
9．〔此题5分〕假设复数满足，那么为__________
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数，再由一共轭复数的定义求解.【详解】
由，
得，
所以，，故答案为.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．〔此题5分〕的展开式中的系数为__________．〔用数字答题〕
【答案】60
【解析】
的展开式的通项公式为
令得
∴的系数为
故答案为60
11．〔此题5分〕如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的外表积为________.
【答案】33π
【解析】
【分析】
由几何体的三视图知，该几何体的下半局部是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，上半局部是半径为3的半球，由此能求出该几何体的外表积.
【详解】
由几何体的三视图知，该几何体的下半局部是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，
上半局部是半径为3的半球，
∴该几何体的外表积，故答案为.
【点睛】
此题考察了由三视图求几何体的体积，关键是对几何体正确复原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，再代入对应的面积公式进展求解，考察了空间想象才能．注意“齐，长对正，宽相等〞原那么. 12．〔此题5分〕直线的参数方程为为参数〕，圆的参数方程为为参数〕，那么直线被圆截得弦长为__________．【答案】3
【解析】
【分析】
先将直线与圆的参数方程化为普通方程，然后求出圆心到直线的间隔，结合弦长与弦心距的关系，即可求出结果.
【详解】
直线的参数方程为为参数〕，消去，
直线的普通方程：
圆的参数方程为为参数〕，消去，
圆的普通方程：，圆心坐标，半径.
圆心到直线的间隔：
根据弦长与弦心距的关系，弦长为.
故答案为3.
【点睛】
此题考察直线与圆的参数方程、相交弦问题，参数方程化为普通方程的关键是消参.
圆的弦长计算常用三种方法：
〔1〕几何法，即根据弦心距〔圆心到直线的间隔〕，圆的半径和弦长的一半满足勾股定理，可以通过弦心距和圆的半径求得弦长.
〔2〕代数法，设交点坐标为，联立直线与圆的方程，整理得一元二次方程，结合韦达定理计算弦长或者〔3〕参数方程法，设交点坐标的参数为，将直线的参数方程代入到圆的普通方程，整理成关于的一元二次方程，结合韦达定理计算弦长.
13．〔此题5分〕正实数a，b，c满足，，那么的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】
由=1，可得，由，得，或者，，，，故答案为.
14．〔此题5分〕函数假设方程有四个不等的实数根，那么实数的取值
范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数图像可知，令，欲使原方程有四个不等根,那么有两个根，分别为，或者，〔舍〕或者，〔舍〕，再令，结合二次函数的图像列不等式求解即可.
【详解】
令那么①欲使原方程有四个不等根,
由图像知方程①两根为，或者，〔舍〕或者，〔舍〕
令那么.
.
此题主要考察分段函数的图象与性质、方程的根与系数之间的关系，数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特成效，大大进步理解题才能与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及纯熟掌握函数图象的几种变换，充分利用数形结合的思想方法可以使问题化难为简，并迎刃而解.
三、解答题
15．〔此题13分〕函数.
〔Ⅰ〕求函数的最小正周期和单调递减区间；
〔Ⅱ〕在中，，，的对边分别为，，，
求的值.
【答案】〔Ⅰ〕，，〔Ⅱ〕，
【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕根据辅助角公式即可求得，即可求得最小正周期及单调递减区间；〔Ⅱ〕由，即可求得，利用余弦定理及正弦定理即可求得和的值．
试题解析：〔Ⅰ〕由
∴周期为，
∵
∴，
∴函数的单减区间为，；
〔Ⅱ〕∵
∴；
又∵
∴，
解得：，，
∴，的值1，2.
16．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间是安排生活兴趣数学和校园舞蹈赏析两场讲座.A、B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.假设A组1人选听生活兴趣数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活兴趣数学，其余3人选听校园舞蹈赏析.
〔1〕假设从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；
〔2〕假设从A、B两组中各任选2人，设为选出的4人中选听生活兴趣数学的人数，求的分布列和数学期望.【答案】〔1〕；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕利用互相HY事件与古典概率计算公式即可得出〔2〕X可能的取值为，利用互相HY事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.
【详解】
⑴设“选出的3人中恰2人选听校园舞蹈赏析〞为事件，
那么，
答：选出的3人中恰2人选听校园舞蹈赏析的概率为.
⑵可能的取值为，
，，
，故.
所以的分布列为： X 0 1 2 3
所以的数学期望
.
【点睛】
此题主要考察了互相HY 事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.
17．〔此题13分〕如图，//AD BC 且AD =2BC ，AD CD ⊥,//EG AD 且EG =AD ，//CD FG 且CD =2FG ，DG ABCD ⊥平面，DA =DC =DG =2. 〔I 〕假设M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE 平面；
〔II 〕求二面角E BC F --的正弦值；
〔III 〕假设点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ10；(Ⅲ3 【解析】分析：依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.
〔Ⅰ〕由题意可得：平面CDE 的一个法向量n 0=〔1，0，–1〕．又MN =〔1，32
-，1〕，故00MN n ⋅=，MN ∥平面CDE ．
〔Ⅱ〕依题意可得平面BCE 的一个法向量n =〔0，1，1〕．平面BCF 的一个法向量为m =〔0，2，1〕．据此计算可得二面角E –BC –F 的正弦值为1010．
〔Ⅲ〕设线段DP 的长为h 〔h ∈［0，2］〕，那么点P 的坐标为〔0，0，h 〕，结合空间向量的结论计算可得线
段DP
详解：依题意，可以建立以D 为原点，
分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系〔如图〕，
可得D 〔0，0，0〕，A 〔2，0，0〕，B 〔1，2，0〕，C 〔0，2，0〕，
E 〔2，0，2〕，
F 〔0，1，2〕，
G 〔0，0，2〕，M 〔0，32
，1〕，N 〔1，0，2〕． 〔Ⅰ〕依题意DC =〔0，2，0〕，DE =〔2，0，2〕．
设n 0=(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，
那么000{ 0DC DE ⋅=⋅=，，n n 即20{ 220y x z =+=，，
不妨令z =–1，可得n 0=〔1，0，–1〕．
又MN =〔1，32
-，1〕，可得00MN n ⋅=， 又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．
〔Ⅱ〕依题意，可得BC =〔–1，0，0〕，()122BE
=-，，，CF =〔0，–1，2〕
． 设n =〔x ，y ，z 〕为平面BCE 的法向量， 那么0{ 0n BC n BE ⋅=⋅=，，即0{ 220x x y z -=-+=，，
不妨令z =1，可得n =〔0，1，1〕．
设m =〔x ，y ，z 〕为平面BCF 的法向量，
那么0{ 0m BC m CF ⋅=⋅=，，即0{ 20x y z -=-+=，，
不妨令z =1，可得m =〔0，2，1〕．
因此有cos <m ，n
>=10⋅=m n m n ，于是sin <m ，n
>=10．
所以，二面角E –BC –F
的正弦值为．
〔Ⅲ〕设线段DP 的长为h 〔h ∈［0，2］〕，那么点P 的坐标为〔0，0，h 〕，
可得()12BP h =--，
，． 易知，DC =〔0，2，0〕为平面ADGE 的一个法向量， 故BP DC cos BP DC BP DC
h ⋅⋅=
=
，
=sin h
0，2］．
所以线段DP 点睛：此题主要考察空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.
18．〔此题13分〕数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n(n+1)(n∈N *
). (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)假设数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；
(3)令(n∈N *
)，求数列{c n }的前n 项和T n . 【答案】〔1〕；(2);〔3〕.
【解析】
【分析】
〔1〕数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 〔n+1〕〔n∈N *
〕，n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1．n=1时，a 1=S 1=2，即可得出;〔2〕数列{b n }满足：a n =，可得n≥2时，a n ﹣a n ﹣1==2．n=1时，=a 1=2，可得b 1;〔3〕c n ===n•3n +n ，令数列{n•3n }的前n 项和为A n ，利用错位相减法即可得出A n ．进而得出数列{c n }的前n 项和T n ．
【详解】
〔1〕∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n〔n+1〕〔n∈N*〕，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n〔n+1〕﹣n〔n﹣1〕=2n．
n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．
∴a n=2n．
〔2〕数列{b n}满足：a n=+++…+，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1==2．
∴b n=2〔3n+1〕．
n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．
∴b n=2〔3n+1〕．
〔3〕c n===n•3n+n，
令数列{n•3n}的前n项和为A n，那么A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3A n=32+2×33+…+〔n﹣1〕•3n+n•3n+1，
∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
可得A n=．
∴数列{c n}的前n项和T n=+．
【点睛】
此题考察了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19．〔此题14分〕椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为.
〔1〕求椭圆的方程；
〔2〕过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由．
【答案】〔1〕；〔2〕见解析
【解析】
【分析】
〔1〕由椭圆定义直接求得即可.
〔2〕假设存在点,使得为定值，当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程通过设而不求得的斜率为的情况代入检验即可.
【详解】
〔1〕由得，∴，那么的方程为；
〔2〕假设存在点,使得为定值，
当直线的斜率不为时，可设直线的方程为，
联立,得
设，那么，
要使上式为定值,即与无关，应有
解得，此时
当直线的斜率为时，不妨设，当的坐标为时
综上，存在点使得为定值．
【点睛】
此题考察椭圆方程及直线与椭圆中的定值问题，设而不求是此类问题中的常规解法，解题中直线方程设为，那么要注意检验直线方程斜率为0的情况.
20．〔此题14分〕函数
〔1〕求函数的单调区间；
〔2〕假设在区间〔0，e］上的最大值为－3，求m的值；
〔3〕假设x≥1时，不等式恒成立，务实数k的取值范围。

【答案】〔1〕见解析；〔2〕；〔3〕
【解析】
【分析】
〔1〕先求出函数的定义域，求出导函数后根据导函数的符号可得单调区间；〔2〕根据题意求出，然后根据的取值范围讨论得到函数的单调性，根据的单调性求出函数的最值；〔3〕利用别离参数的方法，转化成求函数的最值的问题求解，然后根据函数的单调性求解即可．
【详解】
〔1〕由题意得函数的的定义域为．
∵，
∴，
由，得；
由，得．
∴函数的增区间为．
〔2〕由题意得，
∴，，
①当，即时，那么，在上是增函数，
∴，不合题意；
②当，即时，那么由，得，
假设，那么在上是增函数，由①知不合题意；
假设，那么在上是增函数；在上为减函数，
∴，
∴，
解得，满足题意．
综上可得．
〔3〕∵当时，恒成立，
∴当时恒成立，
令，，
那么恒成立，
∴在上为增函数，
∴，
∴．
∴实数k的取值范围为．
【点睛】
〔1〕用导数解决函数的问题时，可先根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的极值或者最值．对于解析式中含有参数的问题，求解时注意分类讨论的运用．
〔2〕解答恒成立问题时，常用的方法是别离参数法，通过别离参数将问题转化成求详细函数的最值的问题处理，表达了转化思想方法的运用．。