淇滨区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

淇滨区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =的图象大致是 （ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等． 3． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
4． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，
﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
5． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6． 已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∧（￢q ）是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
7． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2
cos α的值为（ ）
A ．
124+
B ．124
- C. 34 D ．0 8． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8
9． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）
A ．2sin 2cos 2αα-+
B ．sin 3αα+
C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+
10．定义运算
，例如
．若已知
，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）
A.{}|12x x <≤
B.{}|21x x -≤≤
C. {}2,1,1,2--
D. {}1,2 【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
12．函数
的定义域是（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
二、填空题
13．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()1
e e x
x
f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()
2
240f x f x -+-<的解集为________．
15．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．
16．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列
{
}的前10项的和为 ．
17．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 18．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6≥0对一切实数x 恒 成立.
（1）求cos C 的取值范围；
（2）当∠C 取最大值，且△ABC 的周长为6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC 的 形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
20．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=
成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．
21．已知等差数列{a n}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{b n}的第一、第四项．
（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求{c n}的前n项和S n．
22．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为
4．
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：为定值．
（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程；
（2）若点P在该圆上，求线段OP的最大值和最小值．
24．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
淇滨区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，
∴设双曲线的方程为
，（a ＞0，b ＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，
得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A ．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】由||)(x a x f =始终满足1)(≥x f 可知1>a ．由函数3
|
|log x x y a =
是奇函数，排除B ；当)1,0(∈x 时，0||log <x a ，此时0|
|log 3
<=
x
x y a ，排除A ；当+∞→x 时，0→y ，排除D ，因此选C ． 3． 【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为∀x ＞0，lnx ≥x ．
故选：B ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4． 【答案】 A
【解析】解：∵|BC|=1，点B 的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos （
﹣α）=
，﹣sin （
﹣α）=﹣
，
∴sin （
﹣α）=
．
∴cos α=cos[﹣（
﹣α）]=cos
cos （
﹣α）+sin sin （﹣α）
=
+
=，
∴sin α=sin[﹣（﹣α）]=sin
cos （﹣α）﹣cos sin （﹣α）
=﹣=．
∴cos 2
﹣sin cos
﹣=
（2cos 2
﹣1）﹣sin α=cos α﹣sin α
=
﹣
=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
5． 【答案】C 【解析】解：集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2
﹣3x ＜0，x ∈Z}={1，2}，P ∩Q ≠∅，
可得b 的最小值为：2． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
6． 【答案】 C
【解析】解：命题p ：“∀x ∈R ，e x
＞0”，是真命题，
命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02
”，即
﹣x 0+2＜0，
即： +＜0，显然是假命题，
∴p ∨q 真，p ∧q 假，p ∧（￢q ）真，p ∨（￢q ）假，
故选：C ．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
7． 【答案】B 【解析】
考
点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义. 8． 【答案】B
【解析】解：∵f （x+4）=f （x ）， ∴f （2015）=f （504×4﹣1）=f （﹣1）， 又∵f （x ）在R 上是奇函数， ∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2． 故选B ．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=
S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()
αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()
ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到
答案.
10．【答案】D
【解析】解：由新定义可得，
=
=
=
=
．
故选：D ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．
11．【答案】D
【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.
12．【答案】A
【解析】解：由题意得：2x ﹣1≥0，即2x ≥1=20
， 因为2＞1，所以指数函数y=2x
为增函数，则x ≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．二、填空题
13．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
14．【答案】()32-，
【解析】∵()1e ,e x x f x x R =-
∈，∴()()11x
x x x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭，即函数()f x 为奇函数，又∵()0x
x
f x e e
-=+>'恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f x f x -+-<可转化为
()()224f x f x -<-，即224x x -<-，解得：32x -<<，即不等式()()
2240f x f x -+-<的解集为
()32-，
，故答案为()32-，. 15．【答案】
【解析】解析：可行域如图，当直线y ＝－3x ＋z ＋m 与直线y ＝－3x 平行，且在y 轴上的截距最小时，z 才能取最小值，此时l 经过直线2x －y ＋2＝0与x －2y ＋1＝0的交点A （－1，0），z min ＝3×（－1）＋0＋m ＝－3＋m ＝1， ∴m ＝4.
答案：4
16．【答案】
．
【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n =．
∴=2
．
∴数列{}的前n 项的和S n =
=
=
．
∴数列{}的前10项的和为．
故答案为：．
17．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，
又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
18．【答案】．
【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==
故答案为：
【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
20．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]===
===，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f （2）=f[1﹣（﹣1）]=
=，
令x=1，y=﹣2，则f （3）=f[1﹣（﹣2）]=
= =，
∵f （x ﹣2）==，
∴f （x ﹣4）=
， 则函数的周期是4．
先证明f （x ）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x ＜3时，f （x ）＜0，
设2＜x ＜3，则0＜x ﹣2＜1，
则f （x ﹣2）=
，即f （x ）=﹣＜0， 设2≤x 1≤x 2≤3，
则f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，f （x 2﹣x 1）＞0，
则f （x 1）﹣f （x 2）=
， ∴f （x 1）＞f （x 2），
即函数f （x ）在[2，3]上为减函数，
则函数f （x ）在[2，3]上的最大值为f （2）=0，最小值为f （3）=﹣1． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．
21．【答案】
【解析】解：（1）由等差数列通项公式可知：a n =2+（n ﹣1）2=2n ，
当n=1时，2b 1=a 1=2，b 4=a 8=16， (3)
设等比数列{b n }的公比为q ，则
， (4)
∴q=2，...5 ∴ (6)
（2）由（1）可知：log 2b n+1=n …7 ∴
…9 ∴，
∴{c n}的前n项和S n，S n=． (12)
【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．
∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
∴，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b2=a2﹣c2=3．
∴椭圆C的标准方程为．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=﹣x （k≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，
∴=+=为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此=为定值．
（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，
同理可得|OQ|2=，
∴=+=．
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23．【答案】
【解析】解：（1）ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，展开为：ρ2﹣4×ρ（cosθ+sinθ）+6=0．
化为：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．
（2）由x2+y2﹣4x﹣4y+6=0可得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
圆心C（2，2），半径r=．
|OP|==2．
∴线段OP的最大值为2+=3．
最小值为2﹣=．
24．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。