§14-7 多元函数的极值与最大(最小)值

§14-7 多元函数的极值与最大(最小)值
一、 多元函数的极值及其判定法
1 极值与极值点的定义（P ：270——271） 定义 设()y x f z ,=在点()000,y x P 的某个领域内有定义，若对于该领域内的任意
点()y x P
,，均有()()()()(),,0
p f p f p f p f ≥≤则称()()0
,y x f p f =为
()y x f z ,=的极大值（或极小值）
，且()000,y x p 为函数的极大值点（或极小值点） 极大值或极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点
例如（1）2
2
y x z +=在（0，0）取到极小值()00,0=f （但在（0，0）处
y
z
x z ∂∂∂∂,都不存在；） (2)()
2
2111---+=y x z
在点
()1,0处取到极大值，()21,0=f （在
()1,0处有()()
01,01,0=∂∂=∂∂y z x z
二、二元函数极值的必要条件和充分条件 定理1 （极值的必要条件）设()y x f z ,=在点()000,y x P 的某个领域内偏导数存
在，且()0
,y x P 是极值点，则必有 ()()0,,0,0
'0
'
==y x f y x f y
x
（6.1）
（切线平行与X 轴，Y 轴）
定理1 结合图形由一元函数极值的必要条件得出：满足（6.1）的点()0
,y x P 叫做
()y x f z ,=的驻点，此定理可以推广到二元以上难道函数，例如，偏导数存在的三元函
数()z y x f u
,,=它在点()000,,z y x 取到极值的必要条件为
()()()0,,,0,,,0,,000'000'000'===z y x f z y x f z y x f z y x 具有偏导数的函数的极
值点一定的驻点，但是驻点不一定是极值点（正如一元函数一样）例如(),,xy y x f =在
点（0，0）处，有
()()00,0,00,0''==y x f f 但()0,0f 既不是极大值，也不是极小值。

进一步判定二元函数的驻点是不是极值点？是极大点还是极小点？给出：
定理2（极值的充分条件）设()y x f z ,=在驻点()000,y x P 的某个领域内具有连续
的二阶偏导数，若记()()()00'
'00''00'',,,,,y x f C y x f B y x f A
yy xy xx
===，那么
（1） 若02
>-AC B ，则()00,y x f 不是极值
（2） 若02
<-AC B
，且当A （或C ）0<时，则()00,y x f 是极大值；当A （或C ）
〉0时，则
()00,y x f 是极小值
（3） 若02
=-AC B ，则()00,y x f 可能是极值，也可能不是极值。

证明不要求
例1 求
()26,33+--=y x xy y x f 的极值
（f R D ,2
=在D 内偏导数都存在）
6.2 最大值，最小值问题
函数的最大（最小）值
（1） 可能在区域内部取得（即为极大或极小值） （2） 可能在区域边界上取得
因此 只要求出所有驻点，偏导数不存在的点和区域边界上的点函数值，进行比较。

在实际问题中，如果在定义域D 的内部只有一个可能取得极值的点0P ，且根据题意最大（小）值一定在D 的内部取得，此时即可断定
()0P f 就是最大（小）值
例2 某企业生产两种型号的产品，两种产品的每件成本分别为0.001元和0.02元，每日需求量,360,212121
p p x p p x -+=-=其中1p 和2p 各为两种产品的销售价
（单元：元/千件）试决定合适的价格使工厂日总利润最大
三、 条件极值与拉格郎日乘数法
多元函数()p f u =的极值有两种：
（1）,D p ∈无附加的约束条件，如例1
（2）
,D p ∈且受附加的约束条件的限制，如例2 （2）中的极值称为条件极值
求条件极值有两种方法
（1） 从约束条件中解出一个变量来，代入函数成为无条件极值问题 （2） 拉格郎日乘数法（以二元函数()y x f z
,=在约束条件()0,=y x ϕ下的极值来
推动无条件极值了，但有时不一定可能解得出，即使可能，有的也很复杂，如例10-——31的解法
（3） 求()y x f z
,=在约束条件()0,=y x ϕ下的极限
这个方法叫做拉格郎日乘数法，F 叫做拉格郎日函数，λ叫做拉格郎日乘数，此法对于多个变量回多个约束条件的情形也适用
例如（1）在()z y x f u
,,=在条件()0,,=z y x ϕ，引入
()()z y x z y x f F ,,,,λϕ+= （2）()w z y x f u ,,,=在条件()0,,,=w z y x ϕ，引入()()()w z y x u w z y x u w z y x f F
,,,,,,,,,,,ϕλϕλ++=，其中u ,λ是拉
格郎日乘数
例3 用拉格郎日乘数法接P ：285例10——30
求原点到曲面
()
122
=+-z y x 的最短距离。

注意：此题把约束条件
()
122
=+-z y x 解出()
2
21y x z --=代入
(),12
222222y x y x z y x d --++=++=转化为求()()
2
221,y x y x y x F --++=的数值，因为
()()⎩⎨⎧=-+==--=0
22022'
'y x y F y x x F y x 解得⎩⎨⎧==00
y x （Z=1±）故解不出 讲解P ：287—288 例 10—32 此例若从122
2222=++c
z b y a x 中解得
2
2
221b
y a x c z --=代入2
2
22188b
y a x cxy xyz V ---==求这个二元函数的
极值也比较麻烦
作业: P76 14,15。