分章节的真题高数答案解析

分章节的真题高数答案解析
高等数学作为大学生学习的一门重要课程，在各个专业中都扮演
着重要的角色。

然而，许多学生都会觉得这门课程难以理解和掌握。

在面对考试的时候，很多学生对于真题的解析会感到困惑。

因此，本
文将根据一些典型的高等数学真题，为大家详细解析答案，帮助大家
更好地应对考试。

第一章：微积分
1. 题目：求函数$f(x)=\frac{e^{2x}}{1+\sin^2x}$在区间$(0,\frac{\pi}{2})$内的最小值。

解析：首先，我们需要对函数进行求导，然后找出导函数的零点
和驻点。

对函数进行求导后，得到
$f'(x)=\frac{2e^{2x}(1+\sin^2x)-2e^{2x}\sin^2x\cos
x}{(1+\sin^2x)^2}$，然后我们令$f'(x)=0$，并求解方程，得到
$x=\frac{\pi}{6}$和$x=\frac{\pi}{2}$。

接着，我们需要将这两个
解代入原函数中，求出对应的函数值。

经过计算，我们得到
$f(\frac{\pi}{6})=e^{\frac{\pi}{3}}$和
$f(\frac{\pi}{2})=e^{\pi}$。

最后，我们将这两个函数值进行比较，得出最小值为$e^{\frac{\pi}{3}}$。

第二章：级数
1. 题目：已知级数
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$的和为$1$，求级数
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3^n}$的和。

解析：首先，我们可以将级数
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3^n}$拆分为
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\times\f rac{2}{3^n}$。

根据级数的性质，我们知道
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$的和为$1$，那么
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$的和为
$1$。

接着，我们需要求解
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}$的和。

根据等比数列的
和公式，我们知道$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}$的和
为$\frac{2}{3-1}=1$。

最后，将这两个和相乘，我们得到
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3^n}$的和为$1\times1=1$。

第三章：多元函数
1. 题目：已知函数$z=e^x\sin y$，求点
$(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4})$处的等高线方程。

解析：等高线是函数在平面上的等高取值的曲线。

对于二元函数$z=e^x\sin y$，我们需要找到等高值为$z_0$的解析式。

首先，我们
将给定的点$(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4})$代入原函数，得到
$z_0=e^{\frac{\pi}{2}}\sin
\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{2}}}{2}$。

然后，我
们将$z_0$代入原函数，得到$z_0=\frac{\sqrt{2}e^{x}}{2}$。

通过
变换，我们得到$e^x=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2}}$，然后取对数，
得到$x=\ln \sqrt{2}-\frac{\pi}{2}$。

最后，将$x$代入等高线方程，得到等高线方程为$z=\frac{\sqrt{2}e^{\ln \sqrt{2}-
\frac{\pi}{2}}}{2}$。

通过以上的几个问题的解析，我们可以看到，对于高等数学的题目，我们需要掌握一定的数学知识和解题技巧。

在学习过程中，我们
可以通过分析典型的真题，并进行详细的答案解析，来加深对知识的
理解和应用能力的培养。

希望这篇文章对大家在应对高等数学考试方面有所帮助。

让我们一起努力，攻克高等数学这一难关！。