2019年中考数学真题分类汇编—等腰三角形、等边三角形

等腰三角形、等边三角形
一、选择题
1. (山东临沂，12，3分)如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论：
①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】D
【逐步提示】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，先由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，从而得出△ACD是等边三角形，得出①正确；再判断四边形ABCD是菱形，得出②正确；然后根据①结论得出四边形ACED是菱形，得出③正确．
【详细解答】解：∵△ABC、△EDC是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC，故①正确；
由①可得AD=BC=AB=CD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．
综上可得①②③正确，共3个．故选D．
【解后反思】解答本题需掌握以下知识：(1)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；
(2)等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；
(3)菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；
(4)菱形的性质：①菱形是四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的每一条对角线平分一组对角．
【关键词】等边三角形的判定；等边三角形的性质；菱形的判定；菱形的性质
2.（山东泰安，18，3分）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝
BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（
）
B
K
A
第18题图
A．44° B．66° C．88° D．92°
【答案】D
【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．通过题中所给的条件AM＝BK，BN＝AK，以及由PA＝PB，可证∠A＝∠B所以△AKM≌△BNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A与∠MKN相等，最后由三角形的内角和求出∠P的度数．
【详细解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．又∵AM＝BK，BN＝AK，∴△AKM≌△BNK（SAS），∴∠AMK ＝∠BKN，∵∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN，∵∠MKN＝44°，∴∠A＝44°，∴∠P＝180°－2∠A＝180°－2×44°＝92°故答案为D .
【解后反思】本题主要考查全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有SSS、SAS、AAS、ASA，解题时可根据题目已有条件，选择便捷可行的判定方法．
【关键词】等腰三角形的性质；三角形的外角；三角形全等的判定．
4. （四川达州，9，3分）如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为
A.2
B.3
C.4
D.5
第9题图
【答案】B
【逐步提示】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定.解题的关键是根据边角关系得到DE ∥BC ，从而得到△ADE ∽△ABC.解题思路是：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及D 是AB 的中点，可得DF ＝DB ＝5，则∠DBF ＝∠DFB ，又BF 平分∠ABC ，则∠DFB ＝∠CBF ，则DE ∥BC ，易得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例求得DE ，则EF 可求.
【详细解答】解：∵AF ⊥BF ，D 是AB 的中点，∴DF ＝DB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，又∵BF 平分∠ABC ，∴∠CBF ＝∠DBF ，∴∠DFB ＝∠CBF ，∴DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝，∴＝，∴DE ＝8.∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.故选择B .AD AB DE BC 12DE 16
【解后反思】1.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.2.在等腰三角形中，注意用“等边对等角”完成边角关系的转化.
【关键词】直角三角形斜边上的中线与斜边的关系；等腰三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定
5. （ 四川省绵阳市，7，3分）如图，平行四边形ABCD 的周长是26cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥
AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3cm ，则AE 的长度为∙∙∙（ ）C
D
E A B O
A ．3cm
B ．4cm
C ．5m
D ．8cm
【答案】B ．
【逐步提示】本题考查了平行四边形的性质．由□ABCD 的周长是26cm ，得到□ABCD 两邻边的和，即为AD ＋AB ＝13；由△AOD 的周长比△AOB 的周长多3cm ，得到□ABCD 两邻边的差，即AD －AB ＝3．联立方程组解得BC ＝8．最后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AE 长．
【详细解答】解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ＝BC ．因为□ABCD 的周长是26cm ，所以AD ＝BC 且AB ＋BC ＝13①．因为△AOD 的周长比△AOB 的周长多3cm ，所以AD －AB ＝3，即BC －AB ＝3②．①＋②，得2BC ＝16，所以BC ＝8．因为AC ⊥AB ，所以∠BAC ＝90°，又因为E 是BC 中点，所以AE ＝BC ＝×8＝4．，故选择B ．1212
【解后反思】（1）在直角三角形中出现斜边中点时，一般利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求斜边上的中线长．（2）平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．
6. （ 四川南充，7，3分）如图，在Rt ΔABC ，∠A =30°，BC =1，点D ，E 分别直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（
）
D
A ．1
B
．2 C D
．【答案】A 【逐步提示】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形的性质，解题的关键是能根据30°所对的直角边等于斜边的一半推出斜边的长．由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=
AB ．12【详细解答】解：如∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D 、E 分别是AC 、BC 的中点，
∴DE 是△ACB 的中位线，
∴DE=
AB=1．12故选择A ．
【解后反思】遇到条件是中点计算线段的长，常考虑三角形的中位线定理；遇锐角有30°的直角三角形常考虑直角三角形的性质：30度角所对的直角边等于斜边的一半．
【关键词】三角形中位线定理
7. （ 四川省宜宾市，5，3分）如图，在△ABC 中，∠C=900,AC=4,BC=3,将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B 、D 两点间的距离为（
）
A. B.2 C.3 D.21025
【答案】A
【逐步提示】要求两点B 、D 的距离，连接BD ，从图上发现BD 是三角形BDE 的一边，且三角形BDE 是直角三角形，DE=BC=3,如能求出BE 长，则BD 可用勾股定理求出，BE=AB-AE ，AB 是直角三角形ABC 的斜边可求，AE=AC=4,所以问题可解.
【详细解答】解：连接BD.因为 ∠C=900,AC=4,BC=3,所以AB= ，AE=AC=4,所以
5342222=+=+BC AC BE=1,又DE=3,∠DEA=∠C=900,所以BD=,故选A.
109122=+=+BE DE 【解后反思】解此类题，要紧扣旋转不改变图形的形状和大小，由此可得出一些线段及角的值，象本题中的AE=AC=4，BC=DE=3,∠DEA=∠C=900,都是解题过程中不可缺少的条件.
【关键词】 旋转；图形旋转的特性；勾股定理；
二、填空题
1. (浙江金华，16，4分)由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF ，相邻两钢管可以转动.已知各钢管
的长度为AB =DE =1米，BC=CD=EF=FA =2米.
(铰接点长度忽略不计
)（第16题图1） （第16题图
D C
E (1)转动钢管得到三角形钢架，如图1,则点A ，E 之间的距离是 米.
(2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A =∠B =∠C =∠D =120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是 米
【答案】(1)；(2)8
3
【逐步提示】(1)连接AE ，根据线段间的比例关系得到AE ∥BD.再由△FAE ∽△FBD ，通过相似三角形的性质求得AE 的长．(2)固定多边形的形状需要通过连接对角线将多边形转化为多个三角形来达到目的，为此需要求得多边形对角线的长度．根据图形特征构造出多个等边三角形，根据图形条件求得相关对角线的长度，通过比较对角线的长度得到三根钢条总长度的最小值．
【解析】(1)连接AE ，因为AF ：AB=FE ：ED=2：1,所以AE ∥BD.所以△FAE ∽△FBD ，所以AF ：FB=AE ：BD ，即2：3=AE ：4,解得AE=．83
(2)作直线AF ，ED ，BC ，三直线相交于点H ，N ，M ，因为∠A =∠B =∠C =∠D =120°，AB =DE =1米，
BC=CD=EF=FA =2米,所以△FEH ，△CDN 均为边长为2的等边三角形，△ABM 为边长1等边三角形，所以EF ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥CD ，连接AE ，则△AEH 为直角三角形，所以
AE=2，
；连接CF ，由平行线分线段成比例可得CF ∥DE ，所以△MCF 为边长3的等边三角形，所以CF=3；连接AC ，作AG ⊥MN 于点G ，由已知条件可得
，GC=,由勾股定理得
,同理可得
，现用三根钢条连接
52
顶点使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是.
【解后反思】固定多边形的形状需要将多边形通过连对角线的方式将多边形转化为多个三角形，根据图形的特征利用相关知识求得相关线段的长度．
【关键词】三角形的稳定性；最小值
3. （ 四川省绵阳市，14，3分）如图，AC ∥BD ，AB 与CD 相交于点O ，若AO ＝AC ，∠A ＝48°，∠D ＝
________．
C D
A
B O
【答案】66°．
【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．由AO ＝AC ，∠A ＝48°得∠C ＝66°．由AC ∥BD 得∠D ＝∠C ＝66°．
【详细解答】解：因为AO ＝AC ，所以∠C ＝∠AOC ＝＝＝66°．因为AC ∥BD ，所以1802A ︒-∠180482
︒-︒∠D ＝∠C ＝66°，故答案为66°．
【解后反思】（1）在等腰三角形中，顶角与底角中知道任一个的度数，就可求出另一个的度数．（2）平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
【关键词】等腰三角形的性质；平行线的性质．三、解答题
1. （山东菏泽，23，10分）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．
（1）如图1，若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，
① 求证：AD ＝BE ；
② 求∠AEB 的度数．
（2）如图2，若∠ACB ＝∠DCE ＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝2CM ＋
BN ．3332A B C D
E
图1 A C D M E N
图2 【逐步提示】（1）①等腰三角形△ACB 和△DCE 的底角相等，则它们的顶角相等，故得∠ACD =∠BCE ，于是易证△ACD ≌△BCE ，则有AD =BE ；②由①中△ACD ≌△BCE ，得∠CAD =∠CBE ，于是∠EAB 与∠ABE 之和等于等腰△ACB 的两底角之和，从而易求∠AEB 的度数；（2）显然AE =DE ＋AD =DE ＋BE ，则在等腰△DCE 中用高CM 表示DE 的长，在Rt △BEN 中用BN 表示BE 的长，结论即可获证．
【详细解答】解：（1）①证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC =BC ，CD =CE ．
∵∠CAB =∠CBA =∠CDE =∠CED ，∴∠ACB =∠DCE ，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD =BE ．
②解：由①得△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ．
在△ABE 中，∠AEB =180°―∠EAB ―∠ABE =180°―∠EAB ―∠ABC －∠CBE =180°―∠EAB ―∠ABC －∠CAD =180°―∠CAB －∠ABC =180°－50°－50°=80°
（2）证明：在等腰△DCE 中，∵CD =CE ，∠DCE =120°，CM ⊥DE ，∴∠DCM =
∠DCE =60°，DM =EM ．21在Rt △CDM 中，DM =CM ·tan ∠DCM = CM ·tan60°=CM ，∴DE =2CM ．
33由（1）中②，得∠AEB =180°―∠CAB －∠ABC =180°―(180°－120°)=120°，∴∠BEN =60°．
在Rt △BEN 中，sin ∠BEN =，∴BE =BN ÷sin60°=BN ．BE
BN 332
由（1）中①知AD =BE ，∴AD =BN ．3
32∴AE =DE ＋AD =2CM ＋BN ，即AE =2CM ＋BN ．333233
32【解后反思】（1）含有特殊角的等腰三角形，往往通过作底边上的高转化为解直角三角形的问题．
（2）在解决几何综合题中，相等角与线段的等量转换往往是沟通解证思路的“桥梁”，起着关键作用．
【关键词】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；解直角三角形；直角三角形的性质
2. (山东威海，24，11) (11分)如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC ，CB=CD.延长CA 至
点E ，使AE=AC ；延长CB 至点F ，使BF=BC.连接AD ，AF ，DF ，EF.延长DB 交EF 于点N.
(1)求证：AD=AF ；
(2)求证：BD=EF ；
(3)试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由.
【逐步提示】(1)根据条件可得△ABF ≌△ACD ，则AD=AF ；(2)根据条件可得△AEF ≌△ABD ，则BD=EF ；(3)根据条件可得四边形ABNE 的形状为矩形，再由AE=AB ，可得矩形ABNE 为正方形。

【详细解答】解：(1)∵ AB=AC ，∠BAC=90°，∴ ∠ABC=∠ACB=45°.∴ ∠ABF=135°.
∵ ∠BCD=90°，∴ ∠ACD=135°，∴ ∠ABF=∠ACD.
∵ CB=CD ，CB=BF ，∴ BF=CD.
在△ABF 和△ACD 中，∵ AB=AC ，∠ABF=∠ACD ，BF=CD ，
∴ △ABF ≌△ACD ，∴ AD=AF ；
(2)由(1)知，AF=AD ，△ABF ≌△ACD ，∴ ∠EAB=∠DAC.
∵ ∠BAC=90°，∴ ∠EAB=∠BAC=90°，∴ ∠EAF=∠BAD.
∵ AB=AC ，AC=AE ，∴ AB=AE.
在△AEF 和△ABD 中，∵ AE=AB ，∠EAF=∠BAD ，AF=AD ，
∴ △AEF ≌△ABD ，∴ BD=EF ；
(3)四边形ABNE 是正方形。

∵ CD=CB ，∠BCD=90°，∴ ∠CBD=45°.
∵ ∠ABC=45°，∴ ∠ABD=90°，∴ ∠ABN=90°.
由(2)知，∠EAB=90°，△AEF ≌△ABD ，∴ ∠AEF=∠ABD=90°.
∴ 四边形ABNE 是矩形.
又∵ AE=AB ，∴ 矩形ABNE 是正方形.
【解后反思】(1)要证明两条线段相等的思路有：借助于其所在的两个三角形全等；等角对等边；平行四边形的性质；若，则b=c ；(2)平行四边形、矩形及正方形的判定方法.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边b c a a
=形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.
【关键词】等腰直角三角形的性质；全等三角形的条件和性质；矩形的条件；正方形的条件
3. （ 山东潍坊，24，12分）如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F .
（1）如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：；13
MN AC =（2）如图2，将∠EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE ′、DF ′分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接
GP ，当△DGP 的面积等于时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【逐步提示】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似、全等、旋转等方法来证明题目中的线段和角的关系．
（1）连接BD ，设BD 交AC 于O ，先证明△ABD 是等边三角形，根据三线合一的性质，得到AE =
AB ，从而12AE =DC ，再根据平行线分线段成比例可得，同理可得，则M 、N 是AC 的三等分点，1212AM AE MC DC ==12
CN AN =结论可证；（2）先解Rt △DAE 和Rt △DCF ，得到DE =DF ，然后根据垂直和旋转得到角的关系，利用ASA ，证明
△DEG ≌△DFP ，从而DG =DP ，而∠GDP =∠EDF =60°，故可得△DGP 为等边三角形；利用面积等于DG 的长度，再解Rt △DGE 求出旋转角∠EDG 的大小，同理可得逆时针旋转时结论同样存在．
【详细解答】（1）证明：连接BD ，设BD 交AC 于O ，
∵在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，AD =AB ，
∴△ABD 为等边三角形
∵DE ⊥AB ，
∴E 为AB 中点，
∵AE ∥CD ，
∴，12
AM AE CM CD ==同理：，12CN AN =∴M 、N 是线段AC 的三等分点，∴.13
MN AC =（2）解：∵AB ∥CD ，∠BAD =60°，
∴∠ADC =120°，
又∵∠ADE =∠CDF =30°，
∴∠EDF =60°.
当∠EDF 顺时针旋转时，由旋转的性质知∠EDG =∠FDP ，∠GDP =∠EDF =60°，
∵DE =DF ∠DEG =∠DFP =90°，
∴△DEG ≌△DFP ，
∴DG =DP ，
∴△DGP 是等边三角形，
则，2DGP S ∆=
DG ＞0，解得DG =，
2=
∴cos ∠EDG =
，12DE DG ==∴∠EDG =60°．
所以，当顺时针旋转60°时，△DGP 的面积也是
综上所述，当∠EDF 以点D 为旋转中心顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积是．
【解后反思】此类问题容易出错的地方是：不能正确的利用图形的旋转变换找到边角之间的关系并使之对应起来．解答本题时需利用菱形的性质，结合已知条件，仔细观察图形，找出图中的等边三角形、全等三角形、直角三角形，结合三角形的边角关系解直角三角形是解决此类问题的一般思路．
【关键词】菱形的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质；旋转；解直角三角形；平行线分线段成比
例；分类讨论思想；
4. (浙江宁波，25，12分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图 1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A = 40°，∠B = 60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线.
(2)在△ABC 中，∠A = 48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数.
(3)如图2，在△ABC 中，AC = 2，，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以 CD 为底边的等腰三角形.求完美分割线CD 的长.
【逐步提示】本题考查了等腰三角形、相似三角形、分类讨论思想，解题的关键是正确理解新定义的概念“三角形的完美分割线”.
(1)只要证明△ACD 为等腰三角形，且△BCD 与△BAC 相似，可得CD 是△ABC 的完美分割线；(2)分三种情况进行讨论：①AD=CD 时，②AD=AC 时，③AC=CD 时，对每一种情况分别求出∠ACD ，再根据△BCD 与△BAC 相似，求出∠BCD ，∠ACD 与∠BCD 的和即为∠ACB 的度数；
(3)由题意AC=AD=2，△BCD ∽△BAC ，利用相似三角形对应边成比例即可求得CD 的长.
【解析】(1) ∵∠A=40°，∠B=60°,
∴∠ACB=80°, ∴△ABC 不是等腰三角形，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB =40°12
∴∠ACD=∠A=40°,
∴△ACD 为等腰三角形.
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC ，
∴△BCD ∽△BAC. ∴CD 是△ABC 的完美分割线.
(2)当 AD=CD 时(如图①)，∠ACD=∠A=48°
∵△BDC ∽△BCA
∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
当 AD=AC 时(如图②)，∠ACD=∠ADC== 66°.00
180482
∵△BDC ∽△BCA ，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD= 114°.
当AC=CD 时(如图③)，∠ADC=∠A=48°
∵△BDC ∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°, ∵∠ADC>∠BCD ，矛盾，舍去.
∴∠ACB=96°或 114°.
(3)由已知 AC=AD=2，
∵△BCD ∽△BAC,∴,BC BD BA BC
=设BD=x ，
∴2(2)
x x =⋅+
解得：,
1x =-±∵x>0,
∴,
1x =-∵△BCD ∽△BAC,
∴,CD BD AC BC ==
∴.21)CD =
=-=【解后反思】本题属于新定义题型，对新定义题目，一定要读懂、理解新定义的内容.解答本题时要牢牢抓住三角形的完美分割线含义：从非等腰三角形的一个顶点引一条射线把三角形分割成两个小三角形，其中一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似，还要注意分类讨论思想的运用.
【关键词】等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；分类讨论思想；新定义题型。