中考真题汇编二次函数

2011全国中考真题解析考点汇编☆二次函数的几何应用
一、选择题
1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）
A、B、
C、D、
考点：二次函数综合题。

分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．
解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH
=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，
即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），
抛物线开口向上，对称轴为x=，
故选C．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．
二、填空题
1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=2时，四边形ABCN的面积最大．
考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。

专题：应用题。

分析：设BM=x ，则MC=﹣4x ，当AM ⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM ∽△MCN ，利用相似比求CN ，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：解：设BM=x ，则MC=﹣4x ， ∵∠AMN=90°， ∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC ， ∴△ABM ∽△MCN ，则CN BM MC AB =，即CN
x
x =
-44， 解得CN=
4)4(x x -， ∴S 四边形ABCN =21×4×[4+4
)4(x x -]=﹣21
x 2+2x+8，
∵﹣2
1
＜0，
∴当x=)
2
1(22
-⨯-=2时，S 四边形ABCN 最大．
故答案为：2．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
三、解答题
1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B .
(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标；
(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的．
解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=﹣16+4b+3,得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．
当x=0时，y=3, ∴点B的坐标为（0，3）．
（2）如图：
作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，
则：BP=AP
设BP=AP=x，则OP=4﹣x，
在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2
即：x2=32+（4﹣x）2,解得：x=，∴OP=4﹣=
所以点P的坐标为：（，0）
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标．
2.（2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P
在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC 重叠部分面积为S.
(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；
(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；
(3)直接答出：在整个运动过程中
．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。

专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。

分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S
与t的函数关系式；
（3）当t=5时，面积最大；
解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH的边长是4；
（2）：①当0＜t≤时，S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；
②当＜t≤时，S与t的函数关系式是：y=4t2﹣[2t﹣（2﹣t）]×[2t﹣（2﹣t）] =﹣t2+11t﹣3；
③当＜t≤2时；S与t的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t）（2﹣t）=3t；
（3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=；
点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了
学生运用综合知识解答题目的能力．
3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线2
12
y x x a =
-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上. (1)求a 的值；
(2)求A ,B 两点的坐标;
(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D ´是否在该抛物线上?请说明理由.
考点：二次函数综合题。

分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a 的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x 轴的交点坐标即是A ，B 两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D 点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案． 解答：解：（1）∵抛物线y=x 2﹣x+a 其顶点在直线y=﹣2x 上． ∴抛物线y=x 2﹣x+a=（x 2﹣2x ）+a=（x ﹣1）2﹣+a ， ∴顶点坐标为：（1，﹣+a ），∴y=﹣2x ，﹣+a=﹣2，∴a=﹣； （2）二次函数解析式为：y=x 2﹣x ﹣，
∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3，A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，∴DE=，∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1，D点的坐标为：（2，），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），
代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键．
4.（2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．
（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
考点：二次函数综合题． 分析：（1）本题需先求出抛物线与x 轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO ，从
而求出a ．
（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P 是EF 上任意一点时，可得PC ＞PB ，从而得出PB≠PA ，PB≠PC ，PB≠PD ，即可求出线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． （3）本题需先得出PA=PB ，再由PC=PD ，列出关于t 与a 的方程，从而得出a 的值，即可求出答案．
解答：解：（1）令y ＝0，由
2(68)0a x x -+=解得122,4x x ==； 令x ＝0，解得y ＝8a ．
∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 该抛物线对称轴为直线x ＝3． ∴OA ＝2．
如图①，时抛物线与x 轴交点为M ，则AM ＝1． 由题意得：2O A OA '==． ∴2O A AM '=，∴∠O ’AM ＝60°．
∴323OC AO =⋅=，即823a =．∴
3
4a =
．
（2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论同样成立．
（Ⅰ）如图②，设点P 是边EF 上的任意一点 (不与点E 重合)，连接PM ．∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C 在y 轴上， ∴PB<4，PC ≥4，∴PC>PB ． 又PD>PM>PB ，PA>PM>PB ， ∴PB ≠PA ，PB ≠PC ，PB ≠PD ．
∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． （Ⅱ）设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合)，
B
A y
O
(图②)
x
D
C
E F G
H M
∵点F 的坐标是(4，3)，点G 的坐标是(5，3)． ∴FB ＝3，10GB =，∴3
≤PB<10．
∵PC ≥4，∴PC>PB ． （3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A 、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上， ∴PA ＝PB ．
∴当PC ＝PD 时，线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形．
∵点C 的坐标是(0，8a)，点D 的坐标是(3，－a)． 点P 的坐标是(3，t)，
∴PC2＝32＋(t －8a) 2，PD2＝ (t ＋a) 2． 整理得7a2－2ta ＋1＝0，∴Δ＝4t2－28．
∵t 是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0
∴方程7a2－2ta ＋1＝0有两个不相等的实数根2224287
t t t t a ±-±-==． 显然27
t t a +-=>，满足题意．
∵当t 是一个大于3的常数,存在一个正数27
t t a +-=
，使得线段PA 、PB 、PC 能
构成一个平行四边形．
点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．
5. （2011•江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ=t （0≤t≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ． （1）当t≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ；
（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．
考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。

专题：代数几何综合题。

B
A
y O x
D
C
E F G
H P
分析：（1）由四边形ABCD 是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB ，又由∠EQP=∠FMN ，而证得； （2）由点P 是边AB 的中点，AB=2，DQ=AE=t ，又由勾股定理求得PQ ，由△PEQ ≌△NFM 得到PQ 的值，又PQ ⊥MN 求得面积S ，由t 范围得到S 的最小值． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB ， ∵QE ⊥AB ，MF ⊥BC ， ∴∠AEQ=∠MFB=90°，
∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形， ∴MF=AB ，QE=AD ，MF ⊥QE ， 又∵PQ ⊥MN ， ∴∠EQP=∠FMN ，
又∵∠QEP=∠MFN=90°， ∴△PEQ ≌△NFM ；
（2）∵点P 是边AB 的中点，AB ＝2，DQ ＝AE ＝t ∴PA ＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2
由勾股定理，得PQ ＝22PE QE +＝4)1(2+-t ∵△PEQ ≌△NFM ∴MN ＝PQ ＝4)1(2+-t 又∵PQ ⊥MN
∴S ＝
MN PQ ⋅21＝[]
4)1(2
1
2+-t ＝21t 2－t ＋25
∵0≤t ≤2
∴当t ＝1时，S 最小值＝2．
综上：S ＝21
t 2－t ＋2
5，S 的最小值为2．
点评：本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD 是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB ，又由∠EQP=∠FMN ，而证得；（2）由勾股定理求得PQ ，由△PEQ ≌△NFM 得到PQ 的值，又PQ ⊥MN 求得面积S ，由t 范围得到答案．
6.（2011•江苏徐州，28，12）如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，﹣2）． （1）求此函数的关系式；
（2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A ，C ，B ，D ．若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）将顶点坐标C（1，﹣2）代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；
（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得△PEF的面积．解答：解（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，﹣2）．
∴y=（x﹣1）2﹣2，y=x2﹣2x﹣1；
（2）连结CD交AB于点M，
根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,AB⊥CD,
所以四边形ACBD是菱形，
过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，
所以直线PM平分菱形ACBD的面积
因为y=2x2x1
--与y相交于点P（0,－1）, 顶点为点C（1，－2）
所以点M的坐标为（1，0）
设直线PM的解析式为y=kx+b
则
1=b
0=k b
-⎧
⎨
+
⎩
，解之得
k=1
b=1
⎧
⎨
-
⎩
所以直线PM的解析式为y=x－1
解方程组2y=x 1.
y=x 2x 1-⎧⎨--⎩，得x=0y=1⎧⎨-⎩或x=3y=2
⎧⎨⎩
所以点E 的坐标为（3，2）.
（3）过点P 作直线PQ ⊥PM,则直线PQ 的表达式为y =－x －1
解方程组2y=x 1.y=x 2x 1
--⎧⎨--⎩，得x=0y=1⎧⎨-⎩或x=1y=2⎧⎨-⎩ 所以直线PQ 与抛物线的交点F 是抛物线的顶点C （1，－2）.
所以PE=22(30)(21)33-++= ,PC=22(10)(21)2-+-+=
所以△PEF 的面积为13332=622
⨯⨯ 点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
7. （2011南昌，25，10分）如图所示，抛物线m ：y =ax 2+b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、
B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点
C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．
（1）当a =﹣1，b =1时，求抛物线n 的解析式；
（2）四边形AC 1A 1C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；
（3）若四边形AC 1A 1C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．
考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）根据a =﹣1，b =1得出抛物线m 的解析式，再利用C 与C 1关于点B 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；
（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB =BC ，即可求出．
解答：解：（1）当a =﹣1，b =1时，抛物线m 的解析式为：y =﹣x 2+1．
令x =0，得：y =1．∴C （0，1）．令y =0，得：x =±1．∴A （﹣1，0），B （1，0）， ∵C 与C 1关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：y =（x ﹣2）2﹣1=x 2﹣4x +3；
（2）四边形AC 1A 1C 是平行四边形．
理由：∵C 与C 1、A 与A 1都关于点B 中心对称，∴AB =BA 1，BC =BC 1，∴四边形AC 1A 1C 是平行四边形．
（3）令x =0，得：y =b ．∴C （0，b ）．令y =0，得：ax 2+b =0，∴a b y -±=，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--0，a b A ， ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-0，a b B ，a b AB -=2，a b b OB OC BC -=+=222.要使平行四边形AC 1A 1C 是矩形，必须满足AB =BC ，∴a b b a b -=-22，∴a b b a b -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-24，∴ab ＝－3．∴a 、b 应满足关系式ab ＝－3．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 8. （2011内蒙古呼和浩特，25，12）已知抛物线y 1=x 2+4x+1的图象向上平移m 个单位（m ＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．
（1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2=a （x-h ）2+k 的形式；
（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象．请写出这个图象对应的函数y 的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在-3＜x≤32
-时对应的函数值y 的取值范围；
（3）设一次函数y 3=nx+3（n≠0），问是否存在正整数n 使得（2）中函数的函数值y=y 3时，对应的x 的值为-1＜x ＜0，若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据抛物线y 1=x 2+4x+1的图象向上平移m 个单位，可得
y 2=x 2+4x+1+m ，再利用又点（1，8）在图象上，求出m 即可；
（2）根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；
（3）根据当y=y 3且对应的-1＜x ＜0时，x 2+4x+3=nx+3，得出n 取值范围即
可得出答案．
解答：解：（1）由题意可得y 2=x 2+4x+1+m ，
又点（1，8）在图象上，
∴8=1+4×1+1+m ，
∴m=2，
∴y 2=（x+2）2-1；
（2）当3＜x≤32
-时，0＜y≤-1；
（3）不存在，
理由：当y=y 3且对应的-1＜x ＜0时，x 2+4x+3=nx+3，
∴x 1=0，x 2=n-4，
且-1＜n-4＜0得3＜n ＜4，
∴不存在正整数n 满足条件．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
9.（2011•宁夏，26，10分）在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ．
（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？
（2）当MN=x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：（1）首先连接AP ，交MN 于O ，由MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ，即可得△AMN ∽△ABC ，2
1==AP AO BC MN ，则可求得当MN 为何值
时，点P 恰好落在BC 上；
（2）此题需要分为当AO≤21AD 时与当AO ＞2
1AD 时去分析，首先由△AMN ∽△ABC ，求得各线段的长，然后求△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积，即可得关于x 的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案．
解答：解：（1）连接AP ，交MN 于O ， ∵将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ，
∴OA=OP ，AP ⊥MN ，AN=PN ，AM=PM ， ∵MN ∥BC ，
∴△AMN ∽△ABC ，AO ⊥MN ，
∴2
1==AP AO BC MN ， ∵BC=6，
∴MN=3，
∴当MN=3时，点P 恰好落在BC 上；
（3）过点A 作AD ⊥BC 于D ，交MN 于O ，
∵MN ∥BC ，
∴AO ⊥MN ，
∴△AMN ∽△ABC ，
∴AD
AO BC MN =， ∵AB=AC=5，BC=6，AD ⊥BC ， ∴∠ADB=90°，BD=
21BC=3， ∴AD=4，
∴
4
6AO x =， ∴AO=3
2x ， ∴S △AMN =21MN•AO=21•x•32x=3
1x 2， 当AO≤21AD 时， 根据题意得：S △PMN =S △AMN ，
∴△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为S △AMN ，
∴y=31x 2， ∴当AO=21AD 时，即MN=21BC=3时，y 最小，最小值为3； 当AO ＞21AD 时， 连接AP 交MN 于O ，
则AO ⊥MN ，
∵MN ∥BC ，
∴AP ⊥BC ，△AMN ∽△ABC ，△PEF ∽△PMN ∽△AMN ，
∴
AD AO BC MN =，PO
PD MN EF =， 即：46AO x =，AO
PD x EF =， ∴AO=3
2x ， ∴AO AD AO x EF -=2， ∴EF=2x ﹣6，OD=AD ﹣AO=4﹣
3
2x ， ∴y=S 梯形MNFE =21（EF+MN ）•OD=21×（2x ﹣6+x ）×（4﹣32x ）=﹣（x ﹣4）2+4， ∴当x=4时，y 有最大值，最大值为4，
综上所述：当x=4时，y 的值最大，最大值是4．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
10. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）与双曲线y=x
k 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（﹣2，﹣2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx=4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．
（1）求双曲线和抛物线的解析式；
（2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）根据已知条件可以推出A 点的坐标，把A 、B 两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a 、b 、k 的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；
（2）根据A 、B 抛物线解析式，可以确定C 点的坐标，即可去顶AC 和AC 边上的高的长度，就可以计算出△ABC 的面积了；
（3）根据题意画出图形，根据A 、B 两点坐标出去直线AB 相应的一次函数结合C 点的坐标，CD ∥AB ，得出直线CD 相应的一次函数，然后结合D 点也在抛物线上，解方程组，求D 点坐标
解答：解：（1）把点B （﹣2，﹣2）的坐标，代入y=
x k ， 得：﹣2=2
-k ，∴k=4． 即双曲线的解析式为：y=
x 4．（2分） 设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn=4．①
又∵tan ∠AOx=4，∴n
m =4，即m=4n ．② 又①，②，得：n 2=1，∴n=±1．
∵A 点在第一象限，∴n=1，m=4，∴A 点的坐标为（1，4）
把A 、B 点的坐标代入y=ax 2+bx ，得：⎩⎨⎧-=-+=b
a b a 2424解得a=1，b=3；
∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（4分）
（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y=4，
代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x ﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2=1（舍去）．
∴C 点的坐标为（﹣4，4），且AC=5，（6分）
又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=2
1×5×6=15；（7分）
（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．
过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ． 因为直线AB 相应的一次函数是：y=2x+2，且C 点的坐标为（﹣4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y=2x+12．（9分）
解方程组⎩⎨⎧+=+=12232x y x x y 得⎩⎨⎧==18
3y x 所以点D 的坐标是（3，18）（10分）
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法．关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式．
11. （2011山西，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，
直线l 经过O 、C 两点，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A B C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O —C —B 相交于点M ，当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒（t > 0），△MP Q 的面积为S ．
（1）点C 的坐标为____________，直线l 的解析式为_____________；
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
（3）试求题（2）中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．
（4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段BC 上运动时，设PM 的延长线与直线l
相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值．
考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论
专题：压轴题
分析：⑴由题意不难得出点C 的坐标为(3，4)．因为直线l 经过O 、C 两点，所以设其解析式为y kx =，将点C (3，4)代入，解得43k =
，所以直线l 的解析式为43
y x =． ⑵求 S 与t 的函数关系式，关键是确定MP 及点Q 到MP 的距离．根据题意，得OP
＝t ， AQ ＝2t ， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论．
① 当0＜t≤
52时； 如图第26题（2）图1，由题意可证△AEQ ∽△ODC ，得65
t AE =，85EQ t =．∴Q 点的坐标是（685t +，85t ）．∴618855
PE t t t =+-=+． ∴2114121682235153
S MP PE t t t t ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭． ②当52＜t≤3时； 如图第26题（2）图2，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ．
∴Q 点的坐标是（16－2t ，4）．∴PF ＝16－2t －t ＝16－3t ． ∴()21143216322233
S MP PF t t t t =
⋅⋅=⋅⋅-=-+． ③当3＜t ＜163时，如图第26题（2）图3，当点Q 与点M 相遇时，16－2t ＝t ，解得163
t =． 当3＜t ＜163
时，如图3，MQ ＝16－2t －t ＝16－3t ，MP ＝4． ∴()11416363222
S MP MQ t t =⋅⋅=⋅⋅-=-+ ⑶根据题（2）中S 与t 的函数关系，先分别求出①当0＜t≤52时；②当52
＜t≤3时；③当3＜t ＜163时， t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值．最后综合上述各情况判断得出t 为何值时， S 的最大值．
①当0＜t≤
52时，()22216216020153153S t t t =+=+-． ∵a ＝215
＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝－20， ∴当0＜t≤52
时，S 随t 的增大而增大． ∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为856
． ②当52＜t≤3时， 2232812822339S t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭． ∵a ＝－2＜0．抛物线开口向下，
∴当83t =时，S 有最大值，最大值为1289
． ③当3＜t ＜163
时，632S t =-+，∵k ＝－6＜0，∴S 随t 的增大而减小． 又∵当t ＝3时，S ＝14．当t ＝163
时，S ＝0，∴0＜S ＜14．
综上所述，当83t =
时，S 有最大值，最大值为1289
． ⑷如图第26图（4），当NM ＝MQ 时，即416343t t -=-，△QMN 为等腰三角形．
解答：（1）（3，4）；x y 34=． （2）根据题意，得OP ＝ t ，AQ ＝2 t ，分三种情况讨论：
①当0<t ≤25时，如图1，M 点的坐标是⎪⎭
⎫ ⎝⎛t t 34，， 过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过点Q 作QE ⊥x 轴于E ，可得△AEQ ∽△ODC ，
∴
CD QE OD AE OC AQ ==，∴4
352QE AE t ==，∴AE ＝56t ，EQ ＝t 58， ∴Q 点的坐标是⎪⎭⎫ ⎝
⎛+t t 58568，，∴PE ＝8＋56t －t ＝8＋t 51，∴t t t t PE MP S 3
161525183421212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=⋅⋅=． ②当25< t ≤3时，如图2，过点Q 作QF ⊥x 轴于F ，∵BQ ＝2t －5，∴OF ＝11－(2t －5)＝16－2t ，
∴Q 点的坐标是（16－2t ，4），∴PF ＝16－2－t ＝16－3 t ．
∴()t t t t PF MP S 3322-3-163421212+=⋅⋅=⋅⋅=
． ③当点Q 与点M 相遇时，16－2 t ＝ t ，解得t ＝3
16． 当3< t <3
16时，如图3，MQ ＝16－2t － t ＝16－3t ，MP ＝4， ∴()326-3-1642
121+=⋅⋅=⋅⋅=t t MQ MP S ． （3）①当0 < t ≤25时，()3
160-2015231615222+=+=t t t S ． ∵a ＝15
2>0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝－20， 当0< t ≤25时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝25时，S 有最大值．最大值为685．
②当25< t ≤3时，912838-t 2-3322-2
2+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=t t S ，∵a ＝－2<0，抛物线开口向下，∴当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9
128． ③当3< t <316时，S ＝ －6t ＋32，∵k ＝－6<0，∴S 随着t 的增大而减小，又∵当t ＝3时，S ＝14，当t ＝3
16时，S ＝0，所以0<S <14． 综上所述，当t ＝38时，S 有最大值，最大值为9
128． （4）当t ＝13
60时，△QMN 为等腰三角形． 点评：根据题意合理分类，是学生解题中遇到的难点，也是易错点．用分类讨论的思想来研究动态型题是解此类问题常用的方法．
12. （2011陕西，24，10分）如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ．
（1）求A 、B 的坐标；
（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？
②能否将抛物线x x y 3
1322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．
抛物线的解析式；若不能，说明理由．
考点：二次函数综合题。

专题：代数几何综合题。

分析：（1）把A （﹣1，m ）代入函数式而解得m 的值，同理解得n 值，从而得到A ，B 的
坐标；（2）①由题意可知：这样的C 点有3个，②能，分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．
解答：解：（1）∵x x y 31322-=
的图象过点A （﹣1，m ）,∴)1(31)1(322-⨯--⨯=m ,即m=1 同理： n n n 3
1322-= 解之，得n=0（舍）或n=2
∴A （﹣1，1），B （2，2）
（2）①由题意可知：这样的C 点有3个
②能
当平移后的抛物线经过A 、C 1两点时，将B 点向左平移3个单位再向下平移1个单位．使点B 移到A 点，这时点O 随着原抛物线平移到C 1点． ∴经过A 、C 1两点的抛物线的解析式为)3
(3
1
)3(3212+-+=+x x y ． 即43
11
322++=
x x y ． 附：另两条平移后抛物线的解析式分别为： 1）经过A 、C 2两点的抛物线的解析式为3
4
322++=
x x y ． 2）设经过A 、C 3两点的抛物线的解析式为c bx x y ++=
2
3
2．OC 3可看作线段AB 向右平移1个单位再向下平移1个单位得到．∴C 3(3,1) ．
依题意,得⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
++⨯=+--⨯=c b c b 333
21)1(3
2
12
2 解之,得⎪⎩⎪⎨⎧
-=-=.
1,34c b
经过A 、C 3两点的抛物线的解析式为13
4
322--=
x x y ．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）把A （﹣1，m ）代入函数式而解得；（2）①
由题意可知点C 有几个，②分别考虑函数图象经过三个点，从而得到函数方程．也从而确定能．本题有一定难度，在图象上做好辅助线，考虑全面，而不至于漏解． 13. 已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数
的图象与y 轴交于点A ，点
M 在正比例函数
的图象上，且MO=MA ．二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点A 、
M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在
一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长；
（2）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）可设D（a，a+3），根据菱形的性质得出c（-a，a+3）且点C在二次函数y=x2_ x+3上，得到方程求解即可．
解答：解：（1）在一次函数y= x+3中，
当x=0时，y=3．
∴A（0，3）．
∵MO=MA，
∴M为OA垂直平分线上的点，
可求OA垂直平分线上的解析式为y= ，
又∵点M在正比例函数，
∴M（1，），
又∵A（0，3）．
∴AM= ；
（2）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．可得
，
解得，
∴y=x2_ x+3；
（3）∵点D在一次函数的图象上，
则可设D（a，a+3），
∵四边形ABDC是菱形，
∴c（-a，a+3）且点C在二次函数y=x2_ x+3上，
∴（-a）2- （-a）+3= a+3，
解得a=- 或0（舍去）．
∴c（，）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大．
14.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥
AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，
．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y 关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
专题：几何综合题．
分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值．
（2）本题需先根据EN ，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出= ，求出a的值，即可得出y关于x的函数
关系式，并且能求出函数的定义域．
（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．解答：解：∵∠ACB=90°
∴AC=
=
=40
∵CP⊥AB
∴=
∴=
∴CP=24
∴CM=
=
=26
（2）∵
∴设EP=12a
则EM=13a，PM=5a
∵EM=EN
∴EN=13a，PN=5a
∵△AEP∽△ABC
∴=
∴
∴x=16a
∴a=
∴BP=50-16a
∴y=50-21a
=50-21×
=50- x
∴函数的定义域是：（0＜x＜）
（3）设EP=12a，则EM=13a，MP=12a
∵△AEP∽△ABC
∴
∴
∴AP=16a
∴AM=11a
∴BN=50-16a-5a=50-21a
∵△AME∽△ENB
∴
∴=
∴a=
∴AP=16×=22
点评：本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．
15.（2011四川广安，30，12分）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直
角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B(－1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有QE QC
最大？并求出最大值．
考点：抛物线，存在，动态，压轴 专题：压轴题、综合题 分析：（1）由题意可知点M 的坐标为（0，2），根据平移可知线段DM 是向左平移3个单位得到线段NO 的，由此可知N （－3，2），把D 、M 、N 三点的坐标代入2
y ax bx c =++即可得到抛物线的解析式．
（2）由题意可知点P 应该是线段AC 的垂直平分线与抛物线的交点，为此需要确定AC 的垂直平分线所在的直线的函数解析式，然后通过解方程组确定交点坐标，若能求得，则说明存在，否则说明不存在．
（3）由题意可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，所以QE ＝QD ，所以
QE QC QD QC -=-，延长DC 交抛物线的对称轴相交，当点Q 在交点上时，QD －QC
＝CD ，此时QE QC -的值最大，恰好为线段CD 的长．
解答：（1）解：由题意可得M （0，2），N （－3，2），
∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,
32.
a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
∴y ＝211
2
93x --+
（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1．
根据题意可列方程组21,11
2.93y x y x x =-+⎧⎪
⎨=--+⎪⎩
解得：1132232x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩22332232x y ⎧=-⎪⎨
=-+⎪⎩∴P 1（332,232+--）、P 2（332,232--+．
（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．。