21高考数学理科全国一轮复习考点考法精练：第十一章第二讲二项式定理 含解析

第二讲 二项式定理
1.[2020四川五校联考](3x 3+x 4)(2-1x
)8的展开式中x 2的系数为
( )
A.-1 280
B.4 864
C.-4 864
D.1 280
2.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式(√x +3x
)n 的展开式中,各项系数和为M ,二项式系数和为N ,且
M +N =72,则展开式中常数项为
( )
A.18
B.12
C. 9
D.6
3.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x +x 2)(1-x )10的展开式中x 4的系数为
( )
A.120
B.135
C.140
D.100
4.[2019郑州一中测试]设a =∫ π0sin x d x ,则(a √x √x
)6·(x 2
+2)的展开式中常数项是
( )
A.332
B.-332
C.320
D.-320
5.[2019武汉市高三调研测试]若(x 4-x √x
)n
的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于
( )
A.8
B.10
C.11
D.12
6.[2020重庆南开中学模拟]已知(ax +1)n (n ∈N *)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则
a = .
7.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x √x
3)n 的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项
为 .
8.[2019广东百校联考]在(x +2x
)4的展开式中,含x -2的项的系数是 .
9.[2019唐山市高三摸底考试]在(ax 2-2x
)5的展开式中,x 4的系数为5,则实数a 的值为 .
10.[2020山西忻州高三模拟]设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m +1展开式的
二项式系数的最大值为b.若13a =7b ,则m = ( ) A.5 B.6 C.7 D.8
11.[2020唐山市摸底考试]在(x +y )(x -y )5的展开式中,x 3y 3的系数是
( )
A.-10
B.0
C.10
D.20
12.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+a
x )·(2x -1
x )5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的
常数项为 ( )
A.-80
B.-40
C.40
D.80
13.[2019安徽江淮十校联考]已知(x +1)(2x +a )5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x 3的项的系数
是 ( ) A.-40
B.-20
C.20
D.40
14.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()
A.212
B.211
C.210
D.29
15.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为.
16.[2019南昌市重点中学段考](x-y+2)6的展开式中y4的系数为.
17.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值
为.
18.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2-1
2x
)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是.
19.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+1
x2
)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为.
20.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为()
A.-136 000
B.-136 080
C.-136 160
D.-136 280
21.[交汇题]已知二项式(x+1
2ax )9的展开式中x3的系数为-21
2
,则曲线y=1
x
与直线y=-a,x=-a,x=e所围成图形的
面积是()
A.1
B.e-1
C.e
D.e-2
22.[双空题]若二项式(ax21
√x
)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为,展开式中所有无理项的系数之和为.
23.[双空题]已知(1+x+x2)3(1+2x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,则
a3=,a1+a2+…+a7=.
24.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+b
x
)n(a>0,b>0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为.
第二讲二项式定理
1.A由(2 - 1
x )8的展开式的通项T r+1=C8r28 - r( - 1
x
)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里
取C81×27×( - 1
x ),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C82×26×( - 1
x
)2,故展开式中的x2项为3x3[C81×27×( -
1 x )]+x4[C82×26×( - 1
x
)2],化简得- 1 280x2.故选A.
2.C解法一令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得
n=3.则展开式的通项公式为T k+1=C3k(√x)3 - k(3
x
)k=3k C3k x3 - 3k2,令3 - 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选C.
解法二令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得
n=3.(√x+3
x )3可看作三个(√x+3
x
)相乘,其展开式中的常数项为C31×3
x
×(√x)2=9.故选C.
3.B(1 - x)10的展开式的通项T r+1=C10r( - x)r=( - 1)r C10r x r,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为( - 1)4C104+( - 1)3C103+( - 1)2C102=135.故选B.
4.B因为a=∫π
0sinxdx=- cosx|π
=2,所以(a√x
x
)6·(x2+2)=(2√x
x
)6·(x2+2).因为(2√x
x
)6的展
开式的通项T r+1=C6r(2√x)6 - r·
x
)r=
( - 1)r·26 - r·C6r·x3 - r,所以所求的常数项为( - 1)5×2×C65×1+( - 1)3×23×C63×2= - 332.故选B.
5.C(x41
x√x )n的展开式的通项T r+1=C n r(x4)n - r1
x√x
)r=( - 1)r C n r x4n -112r,当4n - 11
2
r=0,即n=11
8
r时展开式中
含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.
6.2 依题意得,二项式系数和为2n =32,解得n =5.令x =1,得各项系数和为(a +1)5=243,所以a +1=3,所以a =2.
7.8 令x =1,得展开式中所有项系数和为3n =81,解得n =4.(2x +x
3)4的展开式的通项公式为T r +1=C 4r
(2x )4 -
r (√x
3)r =24 - r C 4r x 4 - 43r , 令4 - 4
3
r =0,得r =3,所以展开式中的常数项为24 - 3C 43=8.
8.32 (x +2x
)4的展开式的通项T r +1=C 4r x 4 - r (2
x
)r =C 4r ·2r x 4 - 2r ,令4 - 2r = - 2,得r =3,所以含x - 2的项的系数为
C 43·23=32. 9.12
由条件可知(ax 2 - 2
x
)5的展开式的通项T r +1=C 5r (ax 2)5 - r ·( - 2
x
)r =( - 2)r C 5r ·a 5 - r x 10 - 3r ,令10 - 3r =4,解得r =2,
故( - 2)2C 52·a 3=5,解得a =12
.
10.B 根据二项式系数的性质知,(x +y )2m 的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C 2m m =a ,(x +y )2m +1的展
开式中二项式系数最大的项有两项,易知C 2m+1m =C 2m+1m+1=b.
又13a =7b ,所以13C 2m m =7C 2m+1m ,将各选项中m 的取值逐个代入验证,知m =6满足等式,故选B .
11.B 解法一 (x - y )5展开式的通项T k +1=C k 5x 5 - k ( - y )k =( - 1)k C 5k x
5 - k y k ,所以(x +y )(x - y )5的展开式的通项为( - 1)k C 5k x
6 - k y k 或( - 1)k C 5k x 5 - k y k +1,则当k =3时,有( - 1)k C 5k x 6 - k y k = - 10x 3y 3,当k =2时,有( - 1)k C 5
k x 5 - k y k +1=10x 3y 3,所以x 3y 3的系数为0,故选B.
解法二 (x +y )(x - y )5=(x +y )(x - y )(x - y )(x - y )(x - y )(x - y ),要想出现x 3y 3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x ,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x ,最后在余下的三个多项式中取 - y ,所以
有x C 52x 2( - y )3= - 10x 3y 3;(2)先在第一个多项式中取y ,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式
中取x ,最后在余下的两个多项式中取 - y ,所以有y C 53x 3( - y )2=10x 3y 3.所以x 3y 3的系数为0,故选B .
12.D 令x =1,得展开式中各项系数和为(1+a 1
)(2 - 11
)5=1+a , 所以1+a =2,所以a =1,
所以(1+a
x
)(2x - 1
x
)5=(1+1
x
)(2x - 1
x
)5=(2x - 1
x
)5+1
x
(2x - 1
x
)5,
所求展开式中常数项为(2x - 1
x
)5的展开式中的常数项与含x 的项的系数和,
(2x - 1
x
)5的展开式的通项T r +1=C 5r (2x )5 - r ·( - 1)r (1
x
)r =( - 1)r 25 - r C 5r x 5 - 2r .
令5 - 2r =1,得r =2;令5 - 2r =0,无整数解.
所以展开式中的常数项为8C 52
=80.故选D .
13.D 已知(x +1)(2x +a )5的展开式中各项系数和为2, 令x =1,得2(2+a )5=2,解得a = - 1.
解法一 因为(x +1)(2x +a )5=(x +1)(2x - 1)5=(x +1)(32x 5 - 80x 4+80x 3 - 40x 2+10x - 1), 故展开式中含x 3的项的系数为80 - 40=40.故选D .
解法二 由(x +1)(2x +a )5=(x +1)(2x - 1)5,易知(2x - 1)5的展开式的通项T r +1=C 5r (2x )5 - r ( - 1)r =( - 1)r C 5r 25 - r x 5 - r
.
①当x +1中取x 时,令r =3,则含x 3的项的系数为1×( - 1)3×C 53×22= - 40.
②当x +1中取1时,令r =2,则含x 3的项的系数为1×( - 1)2×C 52×23=80.
故展开式中含x 3的项的系数为80 - 40=40.故选D .
14.D 因为(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以C n 3=C n 7,解得n =10.从而C 100+C 101+
C 102+…+C 1010=210,所以奇数项的二项式系数和为C 100+C 102+…+C 1010=29.故选
D .
15. - 320 (x - 2y +1)(2x +y )6=x (2x +y )6 - 2y (2x +y )6+(2x +y )6,(2x +y )6的展开式的通项T r +1=C 6r (2x )6 - r y r =C 6r 2
6 - r ·x 6 - r y r .x (2x +y )6的展开式中
x 4y 3的系数为C 6323=160; - 2y (2x +y )6的展开式中x 4y 3的系数为 - 2×C 62
×24= -
480;(2x +y )6的展开式中无x 4y 3项.综上,(x - 2y +1)(2x +y )6的展开式中x 4y 3的系数为 - 320.
16.60 解法一 因为(x - y +2)6=[(x +2) - y ]6,所以展开式中含y 4的项为C 64
(x +2)2y 4=15x 2y 4+60xy 4+60y 4,所以
展开式中y 4的系数为60.
解法二 由于(x - y +2)6的展开式中y 4项不含x ,所以(x - y +2)6的展开式中y 4项就是(2 - y )6的展开式中y 4
项,即C 6422·( - y )4=60y 4,所以(x - y +2)6的展开式中y 4的系数为60.
17.0或2 因为x +a =(x +1)+(a - 1),所以(x +a )9=[(x +1)+(a - 1)]9,其展开式的通项T r +1=C 9r (a - 1)9 - r (x +1)r ,所以
a 5=C 95(a - 1)4=126,所以(a - 1)4=1,解得a =0或2.
18.1
64
因为(x 2 -
12x
)n
的展开式中只有第4项的二项式系数最大,
所以展开式中共有2×4 - 1=7(项),所以n =6,所以(x 2 -
12x )n =(x 2 - 1
2x
)6. 令x =1,可得展开式中所有项的系数之和是(1 - 12
)6=1
64
.
19.210 由于(x 3+1
x
2)n 的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n =10.
所以(x 3+1
x
2)n =(x 3+1
x
2)10,展开式的通项T r +1=C 10r (x 3)10 - r ·x - 2r =C 10r x 30 - 5r ,所以当r =6时,C 10r x 30 - 5r
为常数项,
所以常数项为210.
20.B 由(x +2y - 3z )9=[x +(2y - 3z )]9,得其展开式的通项T r +1=C 9r ·x 9 - r ·(2y - 3z )r =C 9r ·x 9 - r ·C r t
·(2y )r - t ·( -
3z )t =C 9r ·C r t ·2r - t ·( - 3)t ·x 9 - r ·y r - t ·z t (0≤t ≤r ≤9),令{t =3,
r - t
=2,9 - r =4,
解得{t =3,r =5.
故含x 4y 2z 3项的系数为C 95×C 53
×22×( -
3)3= - 136 080. 21.D 二项式(x +
1
2ax )9的展开式的通项T r +1=C 9r ·x 9 - r
·(
1
2ax
)r =C 9r ·(1
2a
)r ·x 9 - 2r ,令9 - 2r =3,得r =3.易知C 93
·(1
2a
)3= -
212
,
解得a = - 1,所以曲线y =1x
与直线y =1,x =1,x =e 所围成图形的面积S =∫ e 1(1 - 1
x
)d x =(x - ln x ) e 1=e - 2.故选
D .
22.2 121 易知(ax 2+√x
)5的展开式的通项T r +1=C 5r (ax 2)5 - r ·(√x
)r =C 5r a 5 - r x 10 - 5r
2
.令10 -
5r 2
=0,解得r =4,所以常
数项为T 5=C 54a 5 - 4=10,解得a =2.由10 -
5r 2
∉Z,且0≤r ≤5,可得r =1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T 2,T 4,T 6,
其中T 2=C 5125 - 1·x 10 - 5
2=80x 15
2,T 4=C 5325 - 3x 10 - 15
2=40x 5
2,T 6=C 5
525 - 5x 10 - 25
2=x - 5
2,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.
23.19 80 (1+x +x 2)3=[(1+x )+x 2]3,所以(1+x +x 2)3的展开式中x 3的系数为C 31C 21+C 30C 33=6+1=7,(1+x +x 2)3的
展开式中x 2的系数为C 31C 20+C 30C 32=6,所以a 3=7+2×6=19.对于
(1+x +x 2)3·(1+2x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6+a 7x 7,令x =0,得a 0=1;令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 7=81.所以a 1+a 2+…+a 7=81 - 1=80. 24.8x 6 依题得2n =256,所以n =8.
在(ax +b
x
)8的展开式中,令x =1,则有(a +b )8=256,所以a +b =2.
(ax +b
x
)8的展开式的通项T r +1=C 8r (ax )8 - r ·(b
x
)r =C 8r a 8 - r b r x 8 - 2r ,
令8 - 2r =0,得r =4,可得常数项为C 84a 4b 4=70,解得ab =1或ab = - 1(舍),
则由{ab =1,a +b =2,解得{a =1,b =1.所以T r +1=C 8r x 8 - 2r .
令8 - 2r =6,得r =1.
所以T 2=C 81x 6=8x 6,故展开式中含x 6的项为8x 6.。