重庆市潼南区2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共48分）
1．下列各数中，比﹣2小的数是（）
A．0B．C．﹣1.5D．﹣3
2．如图图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是必然事件的为（）
A．3天内会下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩
4．估计运算结果应在（）
A．7和8之间B．5和6之间C．4和5之间D．3和4之间5．在直角坐标系中，A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），则a，b的值为（）A．a＝﹣1，b＝﹣3B．a＝1，b＝3C．a＝0，b＝2D．a＝2，b＝0 6．已知二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+2，则图象的顶点坐标是（）A．（4，2）B．（2，2）C．（2，﹣2）D．（﹣2，﹣2）7．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC 的长为（）
A．4B．2C．D．2
8．某地区2020年投入教育经费2500万元，预计到2022年三年共投入8600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则可以列方程（）
A．2500x2＝8600
B．2500（1+x%）2＝8600
C．2500（1+x）2＝8600
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8600
9．若二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）与x轴的一个交点为（1，0），则代数式a+b﹣1的值为（）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣7
10．如图是用长度相等的火柴棒按一定规律构成的图形，依此规律第9个图形中火柴棒的根数是（）
A．46B．47C．55D．57
11．如果关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程﹣＝2有正数解，则符合条件的整数a的值是（）
A．﹣1B．0C．1D．2
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：
①b2＞4ac；②abc＞0；
③a﹣c＜0；
④am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）．
其中正确的结论有（）个．
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（共16分）
13．计算：＝．
14．不透明的袋子中装了2个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，则摸出1个白球1个黄球的概率为．15．如图，在矩形ABCD中，，AD＝2，以点A为圆心，AD的长为半径的圆交BC 边于点E，则图中阴影部分的面积为．
16．甲、乙、丙三家花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物，多肉、茉莉花、绣球的单价分别为5元、15元、25元，乙购买的多肉数量是甲的10倍，茉莉花数量是甲的6倍，绣球数量是甲的8倍，丙购买的多肉数量是甲的3倍，茉莉花数量是甲的7倍，绣球数量和甲相同，三家花店采购共花费金额2510元，丙比甲多用420元，则三家花店购买多肉共花费元．
三、解答题（共86分）．
17．解下列方程：
（1）（2x+1）2＝3（2x+1）；
（2）x2﹣6x+4＝0．
18．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，BE平分∠ABD交AD于点E，（1）用尺规完成基本作图：作∠CDB的平分线DF交BC于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．
证明：（2）在平行四边形ABCD中
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝
∴∠EBD＝∠FDB
∴
∵DE∥BF
∴四边形EDFB为平行四边形
∵AB＝BD，BE平分∠ABD，
∴，即∠DEB＝90°
∴平行四边形DFBE是矩形．
19．学校开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生平均数中位数众数
八年级85.286b
九年级85.2a91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝，b＝，m＝；
（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八年级有600名学生参赛，九年级有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
20．反比例函数y＝的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y＝的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
21．某快餐店有A、B两种招牌套餐，A套餐的成本为10元/份，B套餐成本为12元/份，一份B套餐的售价比一份A套餐的售价贵3元钱，买6份A套餐与买5份B套餐花费一样．（1）求快餐店A套餐和B套餐的单价分别为多少元；
（2）商家统计发现，每天平均可售A套餐300份和B套餐200份，如果将A套餐的单价每提高0.1元，则每天将少售出A套餐5份；如果将B套餐的单价每提高0.2元，则每天将少售出B套餐7份；该快餐店决定将两种套餐都提高a元，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，才能使该商家每天销售这两种套餐获取的利润共2055元．22．如图所示，在大楼AB的正前方有一斜坡CD（坡角∠DCE＝45°），现要测量大楼AB 的高度．在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°；已知
米，AC＝30米，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度．
23．若一个三位自然的各个数位上的数字均不相同，且后一位减去前一位的差都是一个固定的常数，则称这个三位自然数为“等差数”．并且这个固定的常数为这个“等差数”的公差，如：123，2﹣1＝3﹣2＝1，则123为“等差数”，这个数的公差为1；如：321，2﹣3＝1﹣2＝﹣1，则321也是等差数，这个等差数的公差为﹣1；125，2﹣1≠5﹣2，则125不是等差数．
（1）判断248，246这两个数是否是“等差数”？
（2）求能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”．
24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴交于点A （0，4），已知点C坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方抛物线上一点，过点P作直线AC的垂线，垂足为点H，过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边上一动点，连接AD，将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，连接AE．
（1）如图1，AH⊥BC，点D恰好为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝4，求AD 的长度；
（2）如图2，DE与AB交于点F，连接BE，在BA延长线上有一点P，∠PCA＝∠EAB，求证：AB＝AP+BD．
参考答案
一、选择题（共48分）
1．解：|﹣3|＞|﹣2|，
∴﹣3＜﹣2，
故选：D．
2．解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．解：A、3天内会下雨为随机事件，所以A选项错误；
B、打开电视机，正在播放广告，所以B选项错误；
C、367人中至少有2人公历生日相同是必然事件，所以C选项正确；
D、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机事件，所以D选项错误．
故选：C．
4．解：，
＝2+
＝3
＝，
且5＜＜6，
故选：B．
5．解：∵A（a+b，﹣2）关于原点对称的点A'（4，a﹣b），
∴，
解得，
故选：A．
6．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣2），
故选：C．
7．解：∵OA⊥BC，
∴CH＝BH，＝，
∴∠AOB＝2∠CDA＝60°，
∴BH＝OB•sin∠AOB＝，
∴BC＝2BH＝2，
故选：D．
8．解：设增长率为x，根据题意得2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8600，故选：D．
9．解：将（1，0）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴a+b﹣1＝﹣2，
故选：A．
10．解：分析可得：第1个图形中，有3根火柴．
第2个图形中，有3+3＝6根火柴．
第3个图形中，有3+3+4＝10根火柴．
…；
第9个图形中，共用火柴的根数是3+3+4+5+6+7+8+9+10＝55根．
故选：C．
11．解：∵方程ax2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ＝42﹣4•a•（﹣2）＞0，解得a＞﹣2且a≠0，
去分母得﹣1﹣（1﹣ax）＝2（x﹣2），解得x＝﹣，
∵分式方程﹣＝2有正数解，
∴﹣＞0且﹣≠2，解得a＜2且a≠1，
∴a的范围为﹣2＜a＜2且a≠0，a≠1，
∴符合条件的整数a的值是﹣1．
故选：A．
12．解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，②正确；
由图象可得x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＝﹣a+c＜0，
∴a﹣c＞0，③错误；
∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c为最小值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，④正确．
故选：B．
二、填空题（共16分）
13．解：原式＝2+﹣1
＝1+．
故答案为：1+．
14．解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中摸出1个白球1个黄球的有4种，则摸出1个白球1个黄球的概率为．
故答案为：．
15．解：∵AE＝AD＝2，
而AB＝，
∴cos∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝，∠DAE＝45°，
∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EAD
＝2×﹣××﹣
＝2﹣1﹣．
故答案为：2﹣1﹣．
16．解：设甲花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是x株，y株，z株，则乙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是10x株，6y株，8z株，丙花店准备采购多肉、茉莉花、绣球三种植物分别是3x株，7y株，z株，
由题意得：5（x+10x+3x）+15（y+6y+7y）+25（z+8z+z）＝2510，
5×3x+15×7y+25z﹣（5x+15y+25z）＝420，
∴，
由②得x＝42﹣9y③，
∵x，y都是整数，
∴y的取值可能是1，2，3，4，
把③代入①并整理得z＝，
∵z是整数，
∴y的取值只能是4，
当y＝4时，x＝42﹣9y＝6，
∴5（x+10x+3x）＝70x＝70×6＝420（元），
∴三家花店购买多肉共花费420元．
故答案为：420．
三、解答题（共86分）．
17．解：（1）移项得：（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0，
分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）＝0，
∴2x+1＝0，2x+1﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
（2）x2﹣6x+4＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣4，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣4+9，
即（x﹣3）2＝5，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
18．（1）解：如图所示；
（2）证明：在平行四边形ABCD中
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝BDC，
∴∠EBD＝∠FDB
∴BE∥DF，
∵DE∥BF
∴四边形EDFB为平行四边形
∵AB＝BD，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB＝90°
∴平行四边形DFBE是矩形．
故答案为：∠BDC，BDC，BE∥DF，BE⊥AD．
19．解：（1）九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故
中位数a＝＝87.5；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b＝88；
由题意可得m%＝1﹣10%﹣15%﹣×100%＝40%，故m＝40，
故答案为：87.5；88；40；
（2）九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
（3）600×+800×40%＝180+320＝500（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有500人．20．解：（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝2x+2在反比例函数y＝图象下方，∴kx+b＜的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2，
解得x＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，0），
∴S△AOC＝＝2．
21．解：（1）设快餐店A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：快餐店A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元．
（2）依题意得：（15+a﹣10）（300﹣5×）+（18+a﹣12）（200﹣7×）＝2055，整理得：17a2﹣8a﹣129＝0，
解得：a1＝3，a2＝﹣（不符合题意，舍去）．
答：a的值为3．
22．解：（1）在Rt△DEC中，∠DCE＝45°，
则DE＝EC＝CD＝10（米），
答：斜坡CD的高度DE为10米；
（2）如图，过点D作DH⊥AB于H，
则四边形DEAH为矩形，
∴AH＝DE＝10米，DH＝EA，
由（1）可知：EC＝10米，
∴EA＝EC+CA＝10+30＝40（米），
∴DH＝40米，
在Rt△BHD中，∠BDH＝60°，DH＝40米，
∵tan∠BDH＝，
∴BH＝DH•tan∠BDH＝40（米），
∴AB＝BH+AH＝（10+40）米，
答：大楼AB的高度为（10+40）米．
23．解：（1）∵4﹣2≠8﹣4，
∴248不是“等差数”，
∵4﹣2＝6﹣4，
∴246是“等差数”，
故答案为：不是，是；
（2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，
∵为等差数，
∴b﹣a＝c﹣b，即a+c＝2b，
∴表示为99a+12b，
∵为能被9整除的三位等差数，公差为正整数，
∴，c＞b，
∴b只能为3或6，
①当b＝3时，a+c＝6，
∵为三位等差数，且公差为正整数，
∴当b＝3时，，，
此时等差数为135，234，
②当b＝6时，a+c＝12，
∵为三位等差数，且公差为正整数，
∴当b＝6时，，，，
此时等差数为369，468，567，
综上，能被9整除并且公差为正整数的所有三位“等差数”有：135，234，369，468，567．
24．解：（1）∵点A（0，4），点C（4，0）在抛物线y＝x2+bx+c上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）设直线AC的解析式y＝kx+b，
∵直线AC过点A（0，4），点C（4，0），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式y＝﹣x+4，
由题意可知，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQH＝45°，
∵PH⊥AC，
∴PH＝QH＝PQ，
∴，
要求△PHQ周长的最大值，即求PQ的最大值，
设P（t，t2﹣5t+4），则Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t，
∵﹣1＜0，
∴当时，PQ有最大值，最大值为：﹣22+4×2＝4，此时P（2，﹣2），△PHQ的周长为：，
∴△PHQ周长的最大值为，此时点P的坐标为（2，﹣2）．25．（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝4，
∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴BH＝CH＝2＝AH，
∵点D为CH中点，
∴DH＝CD＝，
∴AD＝＝＝；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠DBH＝45°，∠BDH＝90°，
∴BD＝DH，∠AHD＝135°，
∴BH＝BD，
∵将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＝∠BDH，
∴∠ADH＝∠EDB，
∴△ADH≌△EDB（SAS），
∴AH＝BE，∠DBE＝∠DHA＝135°，
∴∠ABE＝90°＝∠CAP，
又∵AB＝AC，∠BAE＝∠ACP，
∴△BAE≌△ACP（ASA），
∴AP＝BE，
∴AP＝BE＝AH，
∴AB＝AP+BD．。