江苏省常州市2013届高三上学期期末调研数学测试题(精)

常州市2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题
2013.1
参考公式:
样本数据1x ,2x ,… ,n x 的方差2
2
11(n i i s x x n ==-∑,其中x =1
1n i i x n =∑.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 设集合{}
1,A a =,{}B a =,若B A ⊆,则实数a 的值为▲ . 2. 已知复数1i z =-+(i 为虚数单位,计算:
z z
z z
⋅-= ▲ . 3. 已知双曲线22
221(0,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点(1,2,则该
双曲线的离心率的值为▲ .
4. 根据右图所示的算法,可知输出的结果为▲ .
5. 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中,有2幅是膺品.某人在这次
拍卖中随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为▲ . 6. 函数(1
(cos
cos
22
x x f x -=p p 的最小正周期为▲ . 7. 函数22(log (4f x x =-的值域为▲ .
8. 已知点(1,1A 和点(1,3B --在曲线C :32(,,y ax bx d a b d =++为常数上,若曲线在点A
和点B 处的切线互相平行,则32a b d ++= ▲ .
102321Pr int n S n While S S S n n End While n ++ ≤ ←←0
←←4(第题
9. 已知向量a ,b 满足(22,4a b +=- ,(38,16a b -=-
,则向量a ,b 的夹角的大小
为▲ . 10.给出下列命题:
(1若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
(2若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3若两条平行直线中的一条垂直于直线m ,那么另一条直线也与直线m 垂直; (4若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不
垂直.
其中,所有真命题的序号为▲ .
11.已知函数f (x =32
,
2,(1,02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩
≥,若关于x 的方程f (x =kx 有两个不同的实根,则
实数k 的取值范围是▲ .
12.已知数列{}n a 满足143a =,(*
11226n n a n N a +-=∈+,则11n
i i
a =∑= ▲ . 13.在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N
两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅
的最大值为▲ . 14.已知实数,x y 同时满足54276x y --+=
,2741
log log 6
y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分已知,αβ均为锐角,且3sin 5α=
,1tan(3
αβ-=-. (1求sin(αβ-的值; (2求cos β的值.
16.(本小题满分14分
如图,在四棱锥P -ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,CD ∥AB , 22AB AD ==,
3CD =,直线P A 与底面ABCD 所成角为60°,点M 、N 分别是P A ,PB 的中点.
(1求证:MN ∥平面PCD ;
(2求证:四边形MNCD 是直角梯形; (3求证:DN ⊥平面PCB .
17.(本小题满分14分
第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ,BC a =,CD b =.a ,b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区(点E ,F 分别在线段
AB ,AD 上,且该直角三角形AEF 的周长为l (2l b >,如图.设AE x =,△AEF 的面积为S .
(1求S 关于x 的函数关系式;
(2试确定点E 的位置,使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大,并求出S 的最大值.
18.(本小题满分16分
如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知12,F F 分别是椭圆E :22
221(0x y a b a b
+=>>的
左、右焦点,A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,且2250AF BF +=
.
(1求椭圆E 的离心率;
(2已知点(1,0D 为线段2OF 的中点,M 为椭圆E 上的动点(异于点A 、B ,连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ,连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ,连接PQ ,设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ,试问是否存在常数λ,使得120k k λ+=恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
F
E b
a
B
D
C A
19.(本小题满分16分
已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =. (1若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;
(2若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.
20.(本小题满分16分
已知函数(ln f x x x a x =--.
(1若a =1,求函数(f x 在区间[1,]e 的最大值; (2求函数(f x 的单调区间;
(3若(0f x >恒成立,求a 的取值范围.
2013届高三教学期末调研测试数学Ⅱ(附加题
2013.1
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做,每位考生在4个选做题中选答2题.若考生选做了3题或4题,则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分,共40分.考试时间30分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
4. 如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.
O
A
E B
D
F
C
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题......,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲
如图,AB 是⊙O 的直径,,C F 是⊙O 上的两点,OC ⊥AB , 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交
AB 于点E .
求证:2
DE DB DA =⋅.
B .选修4—2:矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=111α,属于特征
值1的一个特征向量为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=232α.求矩阵A 的逆矩阵. C .选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为
cos 13
πρθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭
,曲线2C 的极坐标方程为
22cos 4
πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
,判断两曲线的位置关系.
D .选修4—5:不等式选讲
设2
(14,||1f x x x x a =-+-<且,求证:|((|2(||1f x f a a -<+.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分10分
袋中装有大小相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为
5
12
.现甲、
乙两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取1个球,取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止.用X 表示取球终止时取球的总次数. (1求袋中原有白球的个数;
(2求随机变量X 的概率分布及数学期望(E X . 23.(本小题满分10分
空间内有n 个平面,设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. (1求1234,,,a a a a ;
(2写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.
2013届高三教学期末调研测试
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1.0 2.i - 3.
5 4. 11 5.
8
15
6.2
7.(,2]-∞
8.7
9.p 10.(1、(3、(4
11.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12.2324n n ⋅-- 13. 442+ 14.56⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解:(1∵π,(0,2αβ∈,从而ππ
22
αβ-<-<.
又∵1tan(03αβ-=-<,∴π
02αβ-<-<. …………………………4分
∴10
sin(10
αβ-=-
. ………………………………6分 (2由(1可得,310
cos(10
αβ-=. ∵α为锐角,3sin 5α=
,∴4
cos 5
α=. ……………………………………10分∴cos cos[(]cos cos(sin
sin(βααβααβααβ=--=-+- …………12分 =4310310(510510⨯+⨯-=91050
. …………………………14分
16.证明:
(1因为点M ,N 分别是P A ,PB 的中点,所以MN ∥AB .…………………2分
因为CD ∥AB ,所以MN ∥CD .
又CD ⊂平面PCD , MN ⊄平面PCD ,所以MN ∥平面PCD . ……4分
(2因为AD ⊥AB ,CD ∥AB ,所以CD ⊥AD ,
又因为PD ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,
所以CD ⊥PD ,又AD PD D = ,所以CD ⊥平面PAD .……………6分因为MD ⊂平面PAD ,所以CD ⊥MD ,
所以四边形MNCD 是直角梯形.……………………………………8分 (3因为PD ⊥底面ABCD ,所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角,从而
∠PAD = 60
. …………………………9分在Rt △PDA 中,2AD =,6PD =,22PA =,2MD =. 在直角梯形
MNCD
中,1MN =,3ND =,3CD =,
22(6CN MD CD MN =+-=,
从而222
DN CN CD +=,所以DN ⊥CN . …………………………11分
在Rt △PDB 中,PD = DB =6, N 是PB 的中点,则DN ⊥PB .……13分又因为PB CN N = ,所以DN ⊥平面PCB . …………………14分
17.解:(1设AF y =,则2
2
x y x y l ++
+=,整理,得222(
l lx
y l x -=-.………3分
2(2
4(12
l l x S lx x xy --==,](0,x b ∈. …………………………………4分
(2((]22'
222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫
-+-+=⋅=-⋅-∈⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
∴当22
2b l -≤
时,'0S >,S 在](0,b 递增,故当x b =时,((
max 24bl b l S b l -=-; 当222b l ->
时,在220,2x l ⎛⎫-∈⎪⎪⎝⎭上,'
0S >,S 递增,在22,2x l b ⎛⎫-∈⎪⎪⎝⎭
上,'0S <,S 递减,故当222x l -=
时,2
max 3224
S l -=. 18.解:(1 2250AF BF += ,225AF F B ∴=
.(5a c a c ∴+=-,化简得23a c =,
故椭圆E 的离心率为
23
.
(2存在满足条件的常数λ,4
7
=-l .点(1,0D 为线段2OF 的中点,2c ∴=,从
而3a =,5b =,左焦点(12,0F -,椭圆E 的方程为22
195x y +=.设(11,M x y ,(22,N x y ,
(33,P x y ,(44,Q x y ,则直线MD 的方程为1111x x y y -=+,代入椭圆方程22 195
x y +=,整理得,
2112115140x x y y y y --+-=.(1113
115
y x y y x -+=- ,13145y y x ∴=-.从而13159
5x x x -=-,故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
.同理,点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭. 三点M 、1 F 、N 共线,12
1222y y x x ∴=++,从而
(1
2
2
112
2x y x y y y -
=
-.
从而((((12 1221121234121212341212124457557595944455
y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x -
-+-----=====------
--.故21407k
k -=,从
而存在满足条件的常数λ,4
7
=-l .
19.解:(1由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,
所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=. ……………………3分 (2设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13
b q
=,35a d =+,33b q =.
因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322(((64a b a b a b +⋅+=+=.
设1133a b m a b n
+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧
-+=⎪
⎨⎪++=⎩
,整理得,2(5(800d m n d m n +-++-=.
解得2(1036
2
n m m n d -++--=(舍去负根.
35a d =+ ,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2
(10m n +-取最大
值.*,m n N ∈ ,64mn =,
∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2
(10m n +-取最大值.
从而最大的63761
2
d +=
, 所以,最大的373761
2
a +=
………16分 20.解:(1若a =1, 则(1ln f x x x x =--.
当[1,]x e ∈时, 2
(ln f x x x x =--,2'
121
(210x x f x x x x
--=--=
>, 所以(f x 在[1,]e 上单调增, 2max ((1f x f e e e ∴==--. ……………2分 (2由于(ln f x x x a x =--,(0,x ∈+∞.
(ⅰ当0a ≤时,则2
(ln f x x ax x =--,2'
121
(2x ax f x x a x x
--=--=,
令'
(0f x =,得208
04
a a x ++=>(负根舍去,
且当0(0,x x ∈时,'(0f x <;当0(,x x ∈+∞时,' (0f x >,
所以(f x 在28(0,4a a ++上单调减,在28 (,4
a a +++∞上单调增.……4分
(ⅱ当0a >时,
①当x a ≥时, 2'
121
(2x ax f x x a x x
--=--=,
令'
(0f x =,得2184a a x ++=(28
4
a a x a -+=<舍,
若28
4a a a ++≤,即1a ≥, 则'(0f x ≥,所以(f x 在(,a +∞上单调增;
若284a a a ++>,即01a <<, 则当1(0,x x ∈时,'(0f x <;当1(,x x ∈+∞
时,'
(0f x >,所以(f x 在区间28(0,
4a a ++上是单调减,在28
(,4
a a +++∞上单调增. ………………………………………………………6分
②当0x a <<时, 2'
121
(2x ax f x x a x x
-+-=-+-=,
令'(0f x =,得2210x ax -+-=,记2
8a ∆=-,
若2
80a ∆=-≤,即022a <≤, 则'(0f x ≤,故(f x 在(0,a 上单调减; 若280a ∆=->,即22a >, 则由'
(0f x =得2384a a x --=,248
4
a a x +-=且340x x a <<<,
当3(0,x x ∈时,'(0f x <;当34(,x x x ∈时,'
(0f x >;当4(,x x ∈+∞ 时,
'
(0f x >,所以(f x 在区间28(0,
4a a --上是单调减,在2288
(,44
a a a a --+-上单调增;在28
(,4
a a +-+∞上单调减. …………………………………………8分
综上所述,当1a <时,(f x 单调递减区间是28
(0,4a a ++ ,(f x 单调递增区间
是28(,4
a a +++∞;
当122a ≤≤时, (f x 单调递减区间是(0,a ,(f x 单调的递增区间是
(,a +∞;
当22a >时, (f x 单调递减区间是(0, 284a a --和28
(,4a a a +-,
(f x 单调的递增区间是2288
(,44
a a a a --+-和(,a +∞. ………………10分
(3函数(f x 的定义域为(0,x ∈+∞. 由(0f x >,得ln x
x a x
->
. * (ⅰ当(0,1x ∈时,0x a -≥,ln 0x
x
<,不等式*恒成立,所以R a ∈; (ⅱ当1x =时,10a -≥,
ln 0x
x
=,所以1a ≠; ………………12分
（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于令恒成立或恒成立．，则． x x2 因为
1 ，所以，从而．因为恒成立等价于
(h( xmin ，所以a ≤ 1 ．，则． x x2 1 再令
，则在上恒成立，e( x 在
上 x 令无最大值．综上所述，满足条件的 a 的取值范围是．…………………………16 分 2013 届高三教学调研测试（二）数学Ⅱ（附加题）参考答案 21、【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分．．．．．．． A．选修 4—1：几何证明选讲证明：连结OF．因为 DF 切⊙O 于 F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为 CO⊥AB 于 O，所以
∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以 DF=DE．因为DF是
⊙O的切线,所以DF2=DB· DA．所以 DE2=DB· DA． B．选修 4—2：矩阵与变换解：由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为，可得即
6；由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为即， F A
＝，
可得，＝，
- 解得即 A ＝， A 逆矩阵是
．选修 4—4：坐标系与参数方程解：将曲线化为直角坐标方程得：，
即， 2 2 圆心到直线的距离 d
， 2 ∴曲线 C1与C2 相离． D．选修 4—5：不等式选讲证明：由
．【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20
分． 22．解：（1）设袋中原有 n 个白球，则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 C n ， C92 2 2 由题意知 C n = 5 ，即，化简得 n2 ．解得或（舍去）故袋中原有白球的个数为 6. （2）由题意，X 的可能取值为 1，2，3，；
1 ；；
所以取球次数 X 的概率分布列为： X 1 2 3 4
P 2 3 3 4 14 1 4 84 7 1 14 1 84 所求数学期望为 E（X）
．解：（1）；（2）
证明如下：， 6 当时显然成立，设
时结论成立，即则当时，再添上第个平面，因为它和前 k 个平面都相交，所以可得 k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 3 条直线不共点， k 条交线可以把第这个平面划最多分成
个部分，每个部分把它所在的原有空间 2 1 2 区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个，
， ] 5( 6 6 即当时，结论也成立综上，对，。