2016秋数学北师大版必修1练习：第三章§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 含解析

[A基础达标]
1．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表：
x123…
y137…
）
①y＝2x－1;②y＝x2－1;③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.
A．①②B．③④
C．②③D．②④
解析：选B。

将x＝1，y＝1代入可知②不满足；将x＝3，y＝7代入可知①不满足，故只有③④满足．
2．下面对函数f（x）＝log错误!x与g（x)＝错误!错误!在区间(0,＋∞）上的增减情况的说法正确的是( ）
A．f(x）的增减速度越来越慢，g(x)的增减速度越来越快
B．f（x）的增减速度越来越快，g(x）的增减速度越来越慢
C．f(x）的增减速度越来越慢，g（x）的增减速度越来越慢
D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快
解析：选C。

由两函数的图像特征知选C。

3．四个机器人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1（x)＝x2，f2（x)＝4x,f3（x)＝log2x，f4（x）＝2x，如果它们一直
跑下去,最终跑在最前面的机器人具有的函数关系是（）A．f1(x）＝x2B．f2（x）＝4x
C．f3（x）＝log2x D．f4（x)＝2x
解析:选D。

D中函数增长速度越来越快，故选D。

4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10。

4％，要增长到原来的x倍,需经过y年，则函数y＝f（x)的图像大致为（）
解析：选D.设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax＝a(1＋0。

104)y,故y＝log1.104x（x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图像大致为D中图像，故选D。

5．若x∈（0，1),则下列结论正确的是（）
A．2x＞x错误!＞lg x B．2x＞lg x＞x错误!
C．x错误!＞2x＞lg x D．lg x＞x错误!＞2x
解析:选A。

结合y＝2x，y＝x错误!及y＝lg x的图像易知，当x∈（0，1)时，2x＞x错误!＞lg x.
6．如图,与函数y＝2x，y＝5x,y＝x错误!，y＝log0.5x,y＝log0.3x相对应的图像依次为________．(只填序号)
解析：（1)（2）分别为y＝5x和y＝2x的图像；（3）为y＝x错误!的图像；(4）(5）分别为y＝log0。

3x和y＝log0。

5x的图像．
答案:（2)（1）（3)（5)（4）
7．已知函数f（x)＝lg（2x－b)（x≥1)的值域是［0,＋∞），则b 的值为________．
解析：因为x≥1，所以f（x）≥lg（2－b)，所以lg(2－b）＝0,即2－b＝1,所以b＝1。

答案:1
8．某种动物繁殖数量y（只）与时间x(年)的关系式为y＝a log2（x ＋1），设这种动物第一年有100只，则第7年它们发展到________只．
解析:因为y＝a log2(x＋1)，当x＝1时，y＝100，即100＝a log22,所以a＝100,所以y＝100log2（x＋1）,当x＝7时，y＝100log28＝300。

答案：300
9．函数f（x）＝1。

1x，g（x)＝ln x＋1,h(x）＝x错误!的图像如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异
（以1，a，b,c，d,e为分界点）．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f（x）＝1.1x,曲线C2对应的函数是h (x）＝x错误!,曲线C3对应的函数是g(x）＝ln x＋1.
由题图知,当x＜1时，f（x）＞h（x）＞g（x）;
当1＜x＜e时,f(x）＞g(x）＞h（x）；
当e＜x＜a时，g（x）＞f(x）＞h（x)；
当a＜x＜b时，g（x)＞h（x）＞f（x）；
当b＜x＜c时，h（x）＞g（x）＞f（x）;
当c＜x＜d时，h(x）＞f（x）＞g (x);
当x＞d时，f（x）＞h（x）＞g（x)．
10．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时,得到了下列一组数据:
x（月
23456…
份）
y(元） 1.4 2.5 5.31121.3…
0610
小明选择了模型y＝x错误!，他的同学却认为模型y＝错误!更合适．（1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由；
（2)试用你认为较好的数学模型来分析大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元?（参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0。

477 1）解:（1）根据表格提供的数据，画出散点图,并结合y＝x错误!及y ＝错误!的图像（如图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝错误!的图像上或附近,因此用y＝错误!这一模型更符合．
（2）当错误!＝100时，2x＝300。

则x＝log2300＝错误!＝错误!≈8。

230.
所以x＝9。

所以大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元．
［B 能力提升］
1．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为:V＝a·e－kt。

已知新丸经过50天后,体积变为错误!a。

若一个新丸体积变为错误!a,则需经
过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：选C。

由已知,得错误!a＝a·e－50k，所以e－k＝错误!错误!。

设经过t1天后，一个新丸体积变为错误!a，则错误!a＝a·e－kt1，所以错误!＝（e－k）t1＝错误!错误!，
所以错误!＝错误!，t1＝75.
2．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为________．解析：设平均增长率为p，
则k＝（1＋p）11，故p＝错误!－1。

答案：11，k－1
3．函数f(x）＝2x和g(x）＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1，y1)，B（x2，y2）,且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数；
(2)结合函数图像，判断f（6），g(6),f(2 015），g（2 015）的大小．
解：（1）C1对应的函数为g（x)＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x。

（2)因为f（1）〉g（1)，f(2)〈g（2），f（9）〈g（9）,f(10)>g(10），所以1<x1〈2，9〈x2<10，
所以x1<6〈x2,2 015〉x2。

从图像可以看出，当x1〈x〈x2时,f（x)〈g（x)，
所以f（6）<g（6）．
当x〉x2时,f（x)〉g（x)，所以f（2 015)>g(2 015）．
又g(2 015）〉g(6）,所以f（2 015)>g（2 015）>g（6）〉f（6）．
4．(选做题）一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事。

一个叫吉米的人对他说,我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元,而你第一天只需要给我1分钱,以后每天给我的钱数是前一天的两倍．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？
解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元,增长的方式是直线增长，经过31天后,共得到31×10＝310万元，而吉米,
第1天得到1分,
第2天得到2分，
第3天得到4分，
第4天得到8分，
…
第20天得到219分，
…
第31天得到230分，
使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋ (230)
2 147 48
3 647分≈2 147.48万元．
所以在这份合同中吉米纯获利约为2 147.48－310＝1 837。

48万元，迈克破产了．
同理当这个月有29天或30天时吉米获利，
当这个月有28天时，迈克得到28×10＝280万元．
而吉米可得1＋2＋4＋…＋227＝268 435 455分≈268。

44万元，这时迈克将获利280－268.44＝11.56万元．
综上所述,只有在二月且只有28天时,迈克才获利,否则吉米获利．。