条件分布与条件期望ppt课件

P{ y Y y dy}
P{x X x dx | y Y y dy}
13
pX|Y ( x | y)dx P{x X x dx | y Y y dy} 换句话说，对很小的dx和 dy，pX|Y ( x | y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下，X 取值 于x和x+dx之间的条件概率.
解: 由例3.2.2 有X+Y~P(1+ 2).
注意: X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立． P(X k | X Y n) P(X k, X Y n) P(X Y n) P( X k,Y n k) P(X Y n)
9
k
1 e1
4
一、离散型r.v的条件分布 形式实下际的上重变是复类量第.似Y一的定章条义讲件在过概X的率=x条函i 条件数件概. 下率，概随念机在另一种
定义1 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固 定的 j，若P(Y=yj)>0，则称
P(X=xi|Y=yj)=
P
(
X xi ,Y P(Y y
j)


y),
( X ,Y )为离散 ( X ,Y )为连续
其中P(X = xi | Y = y)为在给定Y = y下X的条件分布列， p(x | y)为在Y=y下X的条件密度函数．
注意：条件期望E(X | y)与(无条件)期望E(X)的不同含义
27
例:若X表示中国人的年收入，则 注意:条件期望E(X|y)与 E(X)表示: 中国人的平均年收入. (无条件)期望E(X)的不同含义.
),

2 2
(1


2
)

因此, 二维正态分布的条件分布仍为正态分布.
前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边 际密度仍是正态分布.
18
例3.5.4 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为
f
(
x,
y)


1

,
x2 y2 1
0,
其它
求fY|X ( y | x)．
解：X的边际密度为
2
fX (x) 当|x|<1时，有

f
( x,
y)dy


0,
1 x2 ,
| x | 1 | x | 1
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
1

(2 ) 1 x2
2
1 ,
1 x2
1 x2 y 1 x2

2 1 1 2
这正是正态分布
N

1



1 2
(
y

2
),

2 1
(1


2
)


17
在Y=y下，X 的条件分布为
N

1



1 2
(
y

2
),

2 1
(1


2
)

类似地在X=x下，Y 的条件分布为
N

2


2 1
(
x

1
1
2

2
nk
k=0,1,2,,n．X 的条件分布是二项分布: b(n, 1/(1+ 2))
10
二、连续型r.v的条件分布
设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意 x, y,
P(X=x)=0, P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率 公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概 率密度的定义.
yj)

pij p j

pi j ，i 1, 2,
为在Y=yj条件给下定作随的为机，条变在件量此的X条那的件个条下r件.v求，概另认率一为函r取.数v的值. 概是 率分布.
5
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的 一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的 一切性质. 例如： P( X xi | Y y j ) 0，i 1,2,
14
运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机 变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件 的条件概率.
即: 若(X,Y)是连续型r.v, 则对任一集合A，
P( X A |Y y) A pX|Y ( x | y)dx
特别，取 A (,u),
定义在已知 Y=y下，X的条件分布函数为
由条件密度的定义：

pY|X ( y | x)
p( x, y) pX (x)
pX|Y ( x | 可知，当X与Y相互独立时，
y)
p( x, y) pY ( y)
pY|X ( y | x) pY ( y), pX|Y ( x | y) pX ( x)
也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个 分量X与Y是否相互独立.
(2)由独立性得p(x,y)= pX(x)pY(y).
(3)由条件密度函数定义有
p(x,y)= pX(x) p(y|x)， p(x,y)= pY(x) p(x|y)
或
23
全概率公式的密度函数形式:


pY ( y)
p( x, y)dx

p( y | x) pX ( x)dx
xj)
“给定X时，Y的条件分布”:
P(Y=1|X=1)= 0.1/0.6=1/6 P(Y=1|X=2)= 0.2/0.4=1/2
P(Y=2|X=1)= 0.3/0.6=1/2 P(Y=2|X=2)= 0.05/0.4=1/8 P(Y=3|X=1)= 0.2/0.6=1/3 P(Y=3|X=2)= 0.15/0.4=3/8
p(条x |件y)密 度p(为x, y)
pY ( y)
1
e
1 2(1 2
( )
x 1

2 1
)2
2
(
x1 )( y2 1 2
)
(
y2

2 2
)2

21 2 1 2
1
e
(
y2
2
2 2
)2
2 2
16

1
e
7
例3.5.1 设二维离散联合概率分布列如下：
Y X
1
2
12 3
0.1 0.3 0.2 0.2 0.05 0.15
pi•(行和) 0.6 0.4
p•j (列和) 0.3 0.35 0.35
1.00
P(Y

yi
|
X

xj)
P(Y yi , X P(X xj)
xj)
“给定Y时，X的条件分布”:
nk
2
e 2

P( X k)P(Y n k) P(X Y n)
k! (n k)!
(1 2 )n e(12 )
n!

n!
k nk 12
k !(n k )! (1 2 )n

C
k n

1
1 2

k

11
定义2 设X和Y的联合概率密度为 p (x,y)， 边际概率密度为 pX ( x), pY ( y)，则对一切使
pX ( x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为
pY|X ( y | x)
p( x, y) pX (x)
同样，对一切使 pY ( y) 0的 y, 定义 p( x, y)
P(X=1|Y=1)=1/3 P(X=1|Y=2)=6/7 P(X=1|Y=3)= 4/7
P(X=2|Y=1)=2/3 P(X=2|Y=2)=1/7 P(X=2|Y=3)= 3/7
8
例3.5.2 设 X~P(1)，Y~P(2)，且X与Y相互独立. 在已知X+Y=n的条件下，求X的分布，即 P(X=k|X+Y=n)=?，k=0,1,2,,n．(n是给定的，所以X 值不能超过n)
贝叶斯公式的密度函数形式:
p( x | y) p( y | x) pX ( x)
pY ( y)
p( y | x) pX ( x)

p( y | x) pX ( x)dx
24
例3.5.5 设X~U(0,1)，x是一个观察值．又设在X=x下Y的 条件分布是U(X,1)．这两个均匀分布的密度函数分别为
1, pX ( x) 0,
0

x 1，p( 其它
y
|
x)

1 1 0,
x
,
0 x y1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及
解P(：Y>0.5).
p( x, y)

p( y |
x) pX (x)

1 , 1 x
0,
0 x y1 其它
1 2(1
2
( )
x 1

2 1
)2
2
(
x1 )( y2 1 2
)2
(
y2

2 2
)2

2 1 1 2

1



x

1


1 2
(
y

2
)
2(1

2
)
2 1
2

e
25
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,yY(y)的图形

y1
pY ( y)
p( x, y)dx

dx 0 1 x
ln(1 y) ln 1 ， 0 y 1 1 y
1
1
P(Y 0.5)
0.5 pY ( y)dy
FX|Y (u | y) P( X u | Y y)
u
pX|Y ( x | y)dx
15
例3.5.3 设(X,Y)~N(1,2,12,22,)，试求两个条件密度
函数．
解:由例3.1.7知X与Y 的边际分布分别为
N(1,12)与N(2,22)．于是在Y=y下，X 的
19
即 当|x|<1时，有
X作为已知变量

fY | X
(
y
|
x)

2
1 ,
1 x2

1 x2 y
1 x2
0,
y 取其它值
X已知下Y的 条件密度
这里是Y的取值范围
20
我们已经知道，
设 (X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y，有
p( x, y) pX ( x) pY ( y)，则称X,Y相互独立.
351条件分布第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布yanbianuniversityyanbianuniversity3535条件分布与条件期望条件分布与条件期望例如考虑某大学的全体学生从其中随机抽取一个学生分别以x表示其体重和身高
§3.5 条件分布与条件期望
对二维随机变量(X, Y), 在给定Y取某个值的条件下, X的分布; 在给定X取某个值的条件下, Y的分布.
21
对离散型r.v有类似的结论．
22
三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式
以二维连续型为例，确定联合分布有三种 (1)根途据实径际: 背景和实际数据归纳而得p(x,y).
如，1.在瞄准目标射击中弹着点的坐标(X,Y)是二维 随机变量，其联合密度可用二维正态分布. 2.当(X,Y)只能在平面上某个有限区域S上取值，但 又看不出在哪个部分上取值的可能性更大一些时, 可用区域S上的均匀分布来表示其联合分布.
ln(1
0.5
y)dy
(令u 1 y)

0.5
lnudu
0


u
ln
u
|0.5
0

0.5
1du 0.8466
0
26
3.5.2 条件期望
定义3.4.1 条件分布的数学期望称为条件
期望:
E(
X
|
y)




xi P( X xi | Y
i

xp( x | y)dx,
pX|Y ( x | y) pY ( y) 为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
12
我们来解释一下定义的含义：
以
p( x, y) pX|Y ( x | y) pY ( y)
为例，
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 dx·dy/dy 即得
p( x, y)dxdy pX|Y ( x | y)dx pY ( y)dy P{ x X x dx, y Y y dy}
身高Y
体重X 的分布
体重X
身高Y 的分布
3
现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求 X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身 高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在 挑出的学生中求其体重的分布．
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样．
例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加．
1
3.5.1 条件分布
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P( A | B) P( AB) P(B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值 的条件下，求X的概率分布.
这个分布就是条件分布.
2
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取 一个学生，分别以X 和Y 表示其体重和身高．则X和Y 都是随机变量，它们都有一定的概率分布．

P( X xi |Y yj ) 1
i 1
6
例3.5.1 设二维离散联合概率分布列如下：
Y X
1
2
3
pi•(行和)
1
0.1 0.3 0.2
0.6
2
0.2 0.05 0.15
0.4
p•j (列和) 0.3 0.35 0.35
1.00
P(Y

yi
|
X

xj)
P(Y yi , X P(X xj)