高考数学 常用的解题技巧 第02讲 换元法

第02讲：换元法
【知识要点】
在高中数学解题过程中，如果某个变量比较复杂，在解题过程中，这个变量又经常出现，可以考虑换元，使得书写简单，解题简洁.但是要注意，新元的取值范围，这实际上是数学等价转化的思想.
【方法讲评】
【例1】已知函数2
()21(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x
=． （1）求,a b 的值；
（2）不等式(2)20x x
f k -⋅≥在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数k 的范围.
∵1b < ∴1,0a b ==
(2）由（1）即2()21g x x x =-+ 1()2f x x x =+
- 方程(2)20x x f k -⋅≥化为12222
x x x k +-≥⋅ 2111(
)222x x
k +-⋅≥ 令12
x t =，221k t t ≤-+ ∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈记 2()21t t t ϕ=-+
∴min ()0t ϕ= ∴0k ≤
【点评】（1）在本题的解题过程中，“12x
”出现频率较高，所以可以考虑换元得到二次不等式，使书写简单，解答简洁.(2)对“12x ”换元时，要注意求出“1
2x ”的范围.这个范围是新函数的定义域.
【反馈检测1】求函数(sin 1)(cos 1)[,]122y x x x ππ
=++∈-的值域.
【反馈检测2】已知),(y x p 是圆422=+y x 上的点，试求xy y x t 322-+=的值域.
高中数学常见解题技巧第02讲：换元法参考答案
【反馈检测1答案】33[42+
【反馈检测1详细解析】(sin 1)(cos 1)sinxcosx sinx cosx 1
y x x =++=+++ 令sin cos x x t +=，则21sin cos (1)2x x t =
- 所以2211(1)1(1)22
y t t t =-++=+
【反馈检测2答案】[2,10]-
【反馈检测2详细解析】由题得1)2()2(22=+y x
，设cos ,sin ,[0,2)22
x y αααπ==∈ 则432cos 2sin 46sin 2t ααα=-⨯⨯=-2[0,4)απ∈又，即sin 2[1,1]α∈- 故]10,2[-∈t ，所以函数的值域为[2,10]-.。