【教育资料】圆中常见的辅助线的作法学习专用

圆中常见的辅助线的作法
1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。

【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。

【例3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B=
3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是
4．遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.
5．遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

【例8】如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；
7．遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。

【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________
8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。

【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=
【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。