江西宜春上高二中2018-2019学年高二数学上学期第二次月考试卷 文含解析

2018-2019学年江西省宜春市上高二中高二上学期第二次月考数学
（文科）试题
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．设,命题“若且,则”的逆否命题是 A ．若
且,则 B ．若或,则
C ．若,
则且 D ．若,则或
2．设,则“”是“”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．下列说法正确的个数为： ①是“的充要条件”； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件 ④“”是“”既不充分又不必要条件
A ．3
B ．4
C ．1
D ．2
4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面
上”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
5．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆
及其圆心，那么这个几何体的体积为
A ．π
B ．π
C ．π
D ． 6．给定命题：若，则；命题，.下列命题中，假命题是 A ． B ． C ． D ． 7．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 成60°的角； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .其中正确的是 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③ 8．点到抛物线准线的距离为2，则a 的值为 A ． B ． C ．或 D ．或 9．若直线始终平分圆
的周长，则的最小值为 A ． B ．5 C ．2 D ．10 10．知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于
、两点，与交于点，若，则 A ． B ． C ． D ． 11．过双曲线的右支上一点,分别向圆
和圆作切线,切点分别为,则的最小值为 A ．10 B ．13 C ．16 D ．19 此卷只装订不密封 班级
姓名
准考
证号
考场
号
座
位号
12．是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为
A ．4
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知离心率为的双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则实数m ＝________．
14．已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ： 1y x =-被圆C 所截得的弦
长为l 垂直的直线的方程为 ．
15．如图，有一圆柱开口容器（下表面封闭），其轴截面是边长为2的正方形，是的中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一粒米，则这只蚂蚁按如图路线取得米粒的所经过的最短路程是
____________
16．如图，已知双曲线的左右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=2，P 是双曲线右支上的一点，PF 1⊥PF 2，F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆半径为，则双曲线的离心率是
__________
三、解答题 17．设命题：方程无实数根；命题
：函数的定义域是．如果命题或为真命题，求实数的取值范围． 18．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E 与GF 所成角的大小． 19．设椭圆,过、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切,并且与椭圆
相交于两点、, 求证：． 20．已知椭圆的离心率,过点A （0,-b ）和B （a,0）的直线与坐标原点距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知定点E （-1,0）,若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C 、D 两点,试判断是否存在k 值,使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值,若不存在说明理由. 21．已知点,,直线与直线相交于点,直线与直线的斜率分别记为与,且． （1）求点的轨迹的方程；
（2）过定点作直线与曲线交于两点, 的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由．
22．已知椭圆的离心率为，若椭圆与圆
：
相交于M,N两点，且圆E 在椭圆内的弧长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D ，求证：为定值
2018-2019学年江西省宜春市上高二中
高二上学期第二次月考数学（文科）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
直接利用逆否命题的定义解答得解.
【详解】
命题“若且,则”的逆否命题是“若,
则或”，故答案为：D
【点睛】
本题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
2．A
【解析】
试题分析：“”是“”的充分不必要条件,故选A．
考点：充要条件．
3．A
【解析】
【分析】
①，令x=1，y=0，满足x＞y，但lg0无意义，可判断①；
②，a＞b，c=0，不能⇒ac2＞bc2，可判断②；
③，利用圆心到直线的距离d与该圆的半径1的关系可判断“k=”是“直线y=kx+2与圆
x2+y2=1相切”的充分不必要条件，可判断③；
④，举例如＞，但sin＜sin不充分成立，sin＞sin，不能
⇒＞，可判断④．
【详解】
对于①，“x＞y”不能⇒“lgx＞lgy”，如x=1，y=0，满足x＞y，但lg0无意义，故充分性不成立，故①错误；
对于②，a＞b，c=0，不能⇒ac2＞bc2，即充分性不成立；反之，则可，即必要性成立；
所以“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，因为圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线y=x+2的距离d==1，所以直线y=x+2与圆x2+y2=1相切，即充分性成立；由于直线y=x+2过定点A（0，
2），该定点A在圆x2+y2=1之外，过点A 的与该圆的切线应有两条，其斜率分别为±，故必要性不成立，
所以“k=”是“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件，即③正确；
对于④，α＞β不能⇒sinα＞sinβ，如＞，但sin＜sin，充分性不成立，反之，sin＞sin，不能
⇒＞，即必要性也不成立，所以“α＞β”是“sinα＞sinβ”既不充分又不必要条件，故④正确．
综上所述，说法正确的个数为3个，故答案为：A
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查充分必要条件的概念及应用，考查不等式的性质、直线与圆的位置关系及三角函数的应用，属于中档题．
4．A
【解析】
【分析】
由题意知，用由一条直线和直线外一点确定一个平面验证充分性成立，反之必要性不成立．【详解】
充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，由一条直线和直线外一点确定一个平面，推出“这四点在唯一的一个平面内”；
必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”； 故答案为：A
【点睛】
本题考查了确定平面的依据：即公理2和推论，还有必要条件、充分条件与充要条件的判断．
5．A
【解析】
【分析】
由三视图可知该几何体为圆锥，底面半径为1，母线长为2．即可得出．
【详解】
由三视图可知：该几何体为圆锥，底面半径为1，母线长为2． 所以圆锥的高为，
∴这个几何体的体积=.
故答案为：A
【点睛】
本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.
6．D
【解析】 命题若，则，因此是假命题，为真；根据指数的性质可得命题
，是真命题，为假，则为真，为真，为真，为假，故选D.
7．D
【解析】
将展开图还原为正方体，由于EF ∥ND ，而ND ⊥AB ，∴EF ⊥AB ；显然AB 与CM 平行；EF 与MN 是异面直线，MN 与CD 也是异面直线，故①③正确，②④错误
.
8．C 【解析】 【详解】 由题意得，抛物线的方程可化为，所以抛物线的准线方程为， 因为点到抛物线的准线的距离为，所以，解得
或，故选C 。

考点：抛物线的定义的应用. 9．B 【解析】 试题分析：把圆的方程化为标准方程得，所以圆心
坐标为半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线得；
即，在直线上，是点与点的距离的平方，因为到直线的距离，所以的最小值为，故选B. 考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用. 【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将的最小值转化为点到直线的距离解答的. 10．B 【解析】 【分析】 设直线AB 的方程为：y=k （x ﹣2），与抛物线方程联立化为：k 2x 2﹣（4k 2+8）x+4k 2=0，由 |AF|=3|FB|，可得x A +2=3（x B +2），再利用根与系数的关系可得k ，即可得出．
【详解】
设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），
联立，化为：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，
∴x A+x B =，x A x B=4．
∵|AF|=3|FB|，
∴x A+2=3（x B+2），
联立解得：k=．
∴P．
∴|PF|==8．
故答案为：B
【点睛】
本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、弦长公式，考查了推理能力与计算能力. 11．B
【解析】
试题分析：由题可知，，
因此
，故选B．
考点：圆锥曲线综合题．
12．B
【解析】
为等边三角形，不妨设
为双曲线上一点，
为双曲线上一点,
由
在中运用余弦定理得：
,
故答案选
点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。

13．-12
【解析】
试题分析：先由双曲线的离心率求出a的值，由此得到双曲线的左焦点，再求出抛物线y2=2mx 的焦点坐标，利用它们复合，从而求出实数m ．∵双曲线的离心率为
双曲线C)的左焦点是（-3，0），抛物线
的焦点
考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
14．
【解析】试题分析：由题意，设所求的直线方程为0
x y m
++=，并设圆心坐标为0
a
（，），则由题意知：
()
2
2
2131
a a
+-⇒=-
＝或，又因为圆心在轴x的正半轴上，所以3
a=，故圆心坐标为()
3,0,又圆心()
3,0在所求的直线上，所以有3003
m m
++=⇒=-，故所求的直线方程为30
x y
+-=．
考点：直线与圆的位置关系
15．
【解析】
【分析】
画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．
【详解】
侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，
使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，
令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE 为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．
16．
【解析】
【分析】
直角三角形的内切圆半径r===，可得|PF1|﹣
|PF2|=，结合
|F1F2|=2，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
由题意，直角三角形的内切圆半径r===，
∴|PF1|﹣|PF2|=，
∵|F1F2|=2，
∴双曲线的离心率是e===．
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直角三角形内切圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
17．
【解析】
试题分析：首先求出命题为真命题时实数满足的条件，命题为真命题说明至少有一个为真，因此分两种情况求解：为真得到范围，为真的到范围，两范围求并集
试题解析：若为真命题，则
解得3分
若为真命题，则恒成立，解得6分
又由题意知和至少有一个是真命题．
若真假：此时求得的范围为:8分
若假真：此时求得的范围为:10分
若真真：此时求得的范围为:12分
综上所述：的范围为:13分
（若利用“补集思想”求解也可以的）
考点：1．复合命题及真假的判定；2．函数定义域；3．二次不等式的解集
18．90°
【解析】
【分析】
连接B1G，EG，B1F，CF，证明∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角，再解三角形求出∠B1GF＝90°.
【详解】
连接B1G，EG，B1F，CF.
∵E、G是棱DD1、CC1的中点，
∴A1B1∥EG，A1B1=EG.
∴四边形A1B1GE是平行四边形．
∴B1G∥A1E.
∴∠B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角．
在Rt△B1C1G中，B1C1＝AD＝1，C1G ＝AA1＝1，
∴B1G ＝.
在Rt△FBC中，BC＝BF＝1，
∴FC ＝.
在Rt△FCG中，CF ＝，CG＝1，
∴FG ＝.
在Rt△B1BF中，BF＝1，B1B＝2，
∴B1F ＝，在△B1FG中，B1G2＋FG2＝B1F2，
∴∠B1GF＝90°.
因此异面直线A1E与GF所成的角为90°.
【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）把、两点的坐标代入椭圆方程即得关于的方程组解得即可；（2）设，，联立直线与椭圆的方程的方程组，再消去，根据韦达定理得，的值，再利用向量
数量积的坐标运算可得
，从而可得．
试题解析：
（1）因为椭圆，过，两点，
所以所以
所以椭圆的方程为．
（2）设，，由题意得，
所以，
联立直线与椭圆方程得，
有，，
所以，
所以．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的数量积．
20．（1）（2）存在。

【解析】
试题分析：（1）先由两点式求出直线方程，再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出，即可求得；（2）假设存在这样的直线，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出两根之和和两根之积，要使以CD为直径的圆过点E，当且仅当CE⊥DE
时，则
，再利用y=kx+2，将上式转化，最后求得，并验证。

试题解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0
依题意解得
∴椭圆方程为
（2）假设存在这样的k 值，由得
∴①
设，
，，则②
而8分
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE 时，则
，即
∴③
将②式代入③整理解得经验证，，使①成立
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 。

考点：1、椭圆的相关知识；2、直线与椭圆的相交问题。

21．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）本题求轨迹方程，采用直接法，只要设动点坐标为
，求出斜率
，由化简可得，注意斜率存在时，最后方程中要剔除此点；（Ⅱ）假设存在，首先直线斜率存在，可设其方程为，与椭圆方程联立整理为关于的一元二次方程，同时设交点为，由可得
，而
，这样可把表示为的函数，可由基本不等式知识求得最大值．
试题解析：（Ⅰ）设，则，
所以所以（未写出范围扣一分）
（Ⅱ）由已知当直线的斜率存在，设直线的方程是，
联立，消去得，
因为，所以，
设，
当且仅当时取等号，面积的最大值为．
考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法
1．直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0. 2.待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程． 3.定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． 4.代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
22．（1）；（2）证明见解析。

【解析】
【分析】
(1) 可设,得,解方程即得椭圆方程. (2)证明:①若
AB斜率不存在,易求得. ②当斜率存在时,设斜率为,
直线的方程为，求出，同理可得，再计
算.
【详解】
(1)由圆在椭圆内的弧长为知该弧所对的圆心角为，
圆心在该弧的上方,可设，
设椭圆方程为,
则,解得
所以椭圆方程为.
(2)证明:①若AB斜率不存在,则.此时. .
所以；
②当斜率存在时,设斜率为,直线的方程为，
设,,联立方程得消去得
(.
所以，
，因为垂直,所以直线的斜率为,同理可得
所以
综上。

【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.。