基于符号规则的四面体正余弦定理

武夷学院学报
JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY
第40卷第3期2021年3月
Vol.40 No.3Mar. 2021
基于符号规则的四面体正余弦定理
滕旭1，2,张喻1
（1.云南大学旅游文化学院，云南丽江674100； 2.云南衡水实验中学本部，云南昆明650118）
扌商 要：四面体是最简单的几何体，研究四面体的性质对研究其它几何体的性质有非常重要的意义。

三角形的性
质可以推广至四面体，文章基于三角形元素符号规则定义四面体的元素符号规则，结合新定义的符号规则研究四面体的
正余弦定理。

关键词：四面体;正余弦定理;体积公式
中图分类号:G623.66 文献标识码:A
文章编号：1674-2109（2021）03-0090-05
1符号定义
借助三角形的元素符号表示规则定义四面体的
元素符号。

三角形有三个角和三条边称为其元素，四
面体有四个面,六条棱,六个二面角,九个平面角,十 二个棱面角也称为其元素。

三角形中用大写英文字母
表示角（例:A ）,小写的英文字母表示边（例:a ）,类似
的可以用大写的英文字母表示角，小写的英文字母表
示面。

四面体中角有3种，约定蚁加3个英文字母表 示9个平面角（例：蚁ABC ） ,4个英文字母加连接线表
示二面角（例:C-AB-D ）,5个英文字母加连接线表示 棱面角（例:AB-BCD ）,对四面体中的棱和面进行区
别，约定两个大写英文字母表示棱（例:AB ）, 一个小写 英文字母表示面（例:a 表示A 的对面BCD ）,如图1
所示。

Fig.1 Tetrahedron
三角形中基本元素是边和角，每个边都有其唯一
的对角。

面，棱,二面角，棱面角,平面角外为四面体的
基本元素,每条棱都有唯一的二面角为其对角,每个 面有三个棱面角为其对角，如下文所述分别可以类比 得到四面体的正弦定理。

为了同三角形一样,边及其
对角形成正弦定理,须引入一个新的概念并称作三面 角，如下文所述得到四面体的三面角的正弦定理。

三面角定义:从一个点出发引出三条射线形成两
两相交的三个平面称为三面角。

三面角的正弦[1-2]:设三个平面的向外的单位法向 量分别为e 1,e 2,e 3,称三阶GRAM 行列式为该三面角
的正弦。

记作：
收稿日期：2019-08-27
基金项目：云南省教育厅科学研究项目《基于探究式学习
的数学教学研究》（2019J0245）。

作者简介:滕旭（1977-）,男，汉族，副教授,主要从事数学
教学方法、数值计算方法的研究。

滕旭，等:基于符号规则的四面体正余弦定理-91-
—2—寅—寅—寅—寅2
e1e1勺S e3
sin<e1,e2,e3>=e寅可寅；e寅e寅°
—寅—寅—寅—寅—2
e3e1e3e2e3
例如上述四面体A-BCD中，从A岀发就构成一个三面角，记作:三面角A-BCD且有
sin A-BCD二
1
1-cos B-AD-C-cos B-AC-D2
-cos B-A D-C1-cos C-A B-D°
-cos B-A C-D-cos C-A B-D1
根据上述符号可将正四面体的性质表示如下:设正四面体的棱长为x,则：
四面体的四个面的面积记为a=b=c=d=立产；
四面体的六个二面角记为
C-A B-D二…二A-BC-D=arc cos}
四面体的十二个棱面角记为
2
A B-BCD二…二BC-A CD二arc cosy
四面体的九个平面角记为
蚁ABC二…二蚁BCD=3°
2正余弦定理
2.1三角形的正余弦定理
2.1.1三角形的正弦定理
b B=°C=2R(注:R为外接圆半径)
sin A sin B sin C
证明：
(1)设三角形ABC的外接圆为M,过M作MN丄BC于N,如图2所示。

C
N
B
图2三角形正弦定理证明示意图
Fig.2Demonstration Diagram of triangle sine theorem
根据圆周角定理，蚁BMC=2A°由MB=MC且MN丄BC知BN二2bc二号,蚁BMN=2蚁BMC=A,在
zb中有心影=缶，盘=2R°
同理:爲=2R，盏歹=2R，问题得证。

⑵设三角形ABC在BC边上的高为H a视，显然
H a-b日sinC=csinB，即為=点
同理:爲=為，问题得证。

2.1.2三角形的余弦定理
22
a2=b2+°2-2bc cos A,cos A=―—-
b2+c2-a2
2bc
b2=a2+c2-2ac cos B,cos A=
c2=a2+b2-2ab cos C,cos A=—----
注:上述3个公式是分别对三角形中每个边a,b,c 得到相应公式，因此共有C3=3种形式。

证明：在三角形ABC中,AB与AC的夹角为A,模分别为b,c,
a2=BC=(A C-AB)=A C+A C-2A C・AB>=b2+c2-2bc cos A,问题得证[3-5]°
2.2由符号规则猜想四面体的正余弦定理[〜8]
2.2.1四面体的二面角正弦定理
AB・CD
sin C-A B-D sin A-CD-B
________BC・AD_______
二sin A-BC-D sin B-A D-C
________A C・BD_________4abcd
=sin A-BD-C sin B-AC-D=(3V)2
2.2.1四面体的三面角正弦定理
a__________b__________c__________d____
sin A-BCD=sin B-ACD=sin C-A BD=sin D-ABC
2abcd
=(3V)2
2.2.3四面体的棱面角正弦定理
____a___________b_____
sin A B-BCD=sin A B-A CD
注:任选两个面可以得到相应公式，因此共有c4=
-92・《武夷学院学报》2021年第3期
6种形式。

2.2.4四面体的余弦定理
a2=b2+c2+d2-2bc cos B-A D-C-2ad cos A-BC-D-2ac cos A-
BD-C
注：任选一个面可以得到相应公式，因此共有C：
=4种形式。

2.3四面体的正余弦定理的证明
2.3.1四面体的二面角正弦定理的证明
三角形ABC在BC边上的高为H a-bc,在四面体中
就对应为四面体A-BCD在底面BCD上的高，为点A
到其对面a的距离，根据符号规则也记作H a®而四面
体每个面上有三条高称为斜高，为点到对边的距离,
例如三角形ABD在BD边上的高即为四面体的一条
斜高,根据符号规则可记作H a-bd,如图3所示。

Fig.3Proof of the law of sine of tetrahedral dihedral angle
显然,根据二面角的定义：
sin A-BD-C二
H a-bd
1______H a-bd sin A-BD-C二_
A-a
BD q BD・H a
圯sin A-BD-C aH43V
A-a
同理可证其它五种情形：
AB2cd AC2bd
sin C-AB-D=TF，sin B-AC-D=3V
AD2bc BC2ad
sin B-AD-C=TF，sin A-BC-D=IF
CD2ab
sin A-CD-B=TF。

将上述六个公式，按照对棱的作为一组相乘,乘积相等均为如譬，问题得证。

(3V)
2.3.2四面体的三面角正弦定理的证明
同上,H A-a表示四面体A-BCD在底面BCD上的高,H a-bd三角形ABD在BD边上的高，为四面体的一条斜高。

四面体A-BCD的体积
V A-BCD=V B-ACD=V C-ABD=V D-ABC^6^
V b-acd=+Sg CD H B-b=+・1A C•AD•sin蚁CAD•H B-b
=^A C•A D•sin Z CAD
*H B-AC sin B-A C-D
=}a C・AD・sin蚁CAD・AB sin蚁BA C sin B-A C-D
6
=1A C D
*A B sinZ CAD sinZ BA C sin B-A C-D
6
同理可得:
V C-ABD=*A C D
*A B sinZ BAD sinZ CAD sin B-AD-C V D_ABC=A C D
*A B sinZ BA C sin Z BA D sin C-A B-D V B-ACD=V C-ABD二V D_ABC圯
sin Z CA D sin Z BA C sin B-A C-D=
sin Z BA D sin Z CA D sin B-A D-C=
sin Z BA C sin Z BA D sin C-A B-D(记作S1(A))
sin B-A C-D sin B-AD-C sin C-A B-D
圯sin Z BA D sin Z BA C sin Z CA D
圯sin B-A C-D sin B-A D-C sin Z CAD
=sin B-A D-C sin C-A B-D sin Z BA D
=sin B-AC-D sin C-AB-D sinZ BAC(记作S2(A))对于顶点A，分别称上述的S1(A),S2(A)为三面角的第一，第二特征值冈。

对四面体二面角的正弦定理证明中得到的六个公式,重新选择配对相乘,变形即可证明三面角的正弦定理，具体变形如下：
AB2cd AC2bd
sin C-AB-D=3V，sin B-AC-D=3V
AB・AC________4bcd2
圯sin C-AB-D sin B-A C-D=(3V)2
_______A B•A C sin Z BA C_________4b cd2
圯sin C-AB-D sin B-A C-D sinZ BA C=(3V)2 _____________2d_______________4bcd2
圯sin C-AB-D sin B-A C-D sinZ BA C(3V)2
a2abcd
圯wr=wy
同理可证：為=加=帶,问题得证。

滕旭，等:基于符号规则的四面体正余弦定理-93-
注:根据三面角的定义，三面角由三条射线表示,因此三面角A-BCD的三个平面角蚁BAC,蚁CAD,蚁BAD,或三个二面角B-AD-C,C-AB-D,B-AC-D 唯一确定一个三面角。

文献［8］证明了三面角的正弦公式，余弦公式,给岀了平面角与二面角二者的关系，并证明了
S(A)=sin A-BCD=
1-cos B-AD-C-cos B-A C-D2
-cos B-AD-C1-cos C-AB-D
-cos B-AC-D-cos C-AB-D1
1cos蚁BAC cos蚁BAD2
S i(A)=cos蚁BAC1cos蚁CAD。

cos蚁BAD cos蚁CAD1
2.3.3四面体的棱面角正弦定理的证明
三角形正弦定理证明的方法二利用三角形的高相等，类似的在四面体中亦可利用体积相等进行证明。

同上,H ap表示四面体A-BCD在底面BCD上的高,H b-5表示四面体A-BCD在底面ACD上的高，如图-4所示。

显然H4-a=AB sin AB-BCD,
同理:H b-6=A B sin A B-A CD。

由3V二b-H b-6=q・H ap即b•cd sin AB-ACD=a•cd sin AB-BDC知：
b sin AB-A CD=a sin A B-BCD圯
sin AB-ACD」问题得证。

图4四面体棱面角正弦定理证明示意图
Fig.4Proof of the law of sine of tetrahedral edge angle
2.3.4四面体的余弦定理的证明
三角形余弦定理的证明利用了向量的模等于边的长度，类似的在四面体中可可以利用向量的叉积的模等于其张开三角形面积的2倍。

四面体中A-BCD中，BC二AC-AB,BD二AD-a B
设ab,ac,ad分别为軖軋軋以a为公共点的三个侧面b,c,d向外的法向量分别记为b,c,d,A的对面a
的向内的法向量记为a o
~-—9—---*—---—9》根据叉积的定义有b=nxk,c二kxm,軋,a二BC x
b D
—>―>—>—>—>—>—>—>
)x(k-m)=/”xk+mx軋+k xm=b+d+c 则a二b C xbd=(”一m
两边平方得:
寅2寅2寅2寅2
a=b+d+c+2bd+2bc+2cd
寅2寅2寅2寅2
圯a=b+d+c+2bd+2bc+2c d
圯a|=|軋|+1d|+1c|+2軋||d|cos v軋,d>+2|軋||d| cos<b,c>+2c d cos<c,d>
圯4a2=4b2+4c2+4d2-8bd cos B-A C-D-8bc cos B-AD-C-8c d cos C-A B-D
圯a2=b2+c2+d2-2bd cos B-A C-D-2bc cos B-AD-C-2cd-cos C-AB-D,问题得证凹。

3总结
研究四面体正余弦定理的相关文献有很多，但都只局限于某一种形式，并且对四面体的中的元素的符号表示方法多种多样,给我们研究问题带来很大的不便。

统一的符号定义可以方便理解定理的内容，对研究四面体的其他性质也有很大帮助，本文类比三角形元素及立体几何元素表示方法定义了一种统一的符号规则，系统总结了四面体的正余弦定理的多种形式,并基于定义的符号规则对定理进行了证明。

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(责任编辑：聂传朋)
Properties of Tetrahedron Based on Symbol Rule
TENG Xu1，2,ZHANG Yu1
(1.School of Tourism Culture,Yunnan University,Lijiang,Yunnan674100；
2.Yunnan Hengshui Experimental Middle School,Kunming,Yunnan650118)
Abstract:Tetrahedron is the simplest geometry.Studying the properties of tetrahedron is very important for studying the properties of other geometry.The properties of triangles can be extended to tetrahedron.In this paper,the element symbol rule of tetrahedron is defined based on triangle element symbol rule.The sine and cosine theorem of tetrahedron are studied through combining newly defined symbolic rule.
Key words:tetrahedron;sine and cosine theorem;volume formula。