【K12教育学习资料】高中数学阶段质量评估1北师大版选修2_11

2016-2017学年高中数学阶段质量评估1 北师大版选修2-1
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题：
①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立
②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立
③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立
④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立
其中全称命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．
答案： B
2．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p”是( )
A.3∉A
B.3∈∁U B
C.3∉A∩B
D.3∈(∁U A)∩(∁U B)
解析：由题意，非p：3∉A∪B，所以3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁U A)∩(∁U B)．
答案： D
3．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，由线面平行的判定定理知①正确．对于②，由线面垂直的判定定理知②正确．对于③，由平行于同一平面的两条直线可以平行、相交或异面知③不正确．对于④，由面面垂直的判定定理知④正确．故选C.
答案： C
4．下列命题是真命题的有( )
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；
②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：只有①正确．
答案： B
5．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若x＋y＝0与x－ay＝0互相垂直，则x－ay＝0的斜率必定为1，故a＝1；若a＝1，直线x＋y＝0和直线x－y＝0显然垂直．
答案： C
6．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充要条件B．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
解析： 直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直，即充分性不成立；但是直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内所有直线都垂直，即必要性成立．
答案： C
7．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )
A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0
C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
解析： “对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”等价于关于x 的不等式：x 3－x 2＋1≤0恒成立，
其否定为：x 3－x 2＋1≤0不恒成立；即存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＞0成立，故选C.
答案： C
8．若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是|a |＝5的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析： 若x ＝4，则a ＝(4,3)，|a |＝5.
若|a |＝5，则x 2＋9＝5，
∴x ＝±4
∴“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件．
答案： A
9．对下列命题的否定说法错误的是( )
A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C ．p ：有的三角形为正三角形；綈p ：所有的三角形都不是正三角形
D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；綈p ：当x 2＋2x ＋2>0时，x ∈R
解析： D 中綈p ：对∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，故D 不正确．
答案： D
10．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A ．x <0
B ．x ≥0
C ．x ∈{－1,3,5}
D ．x ≤－12
或x ≥3 解析： 原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－12或x ≥3，其充分不必要条件应为其真子集．选项中只有C 符合．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．命题甲：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的________条件．
解析： 甲乙而乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．
答案： 必要不充分
12．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．
答案： 任意x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0
13．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范
围是________．
解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1；由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.
当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4.
答案： a ＞4
14．有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；
②“若sin α＋cos α＝π3
，则α是第一象限角”的否命题； ③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；
④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题．
其中是真命题的有________．
解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；
对于②，其否命题为“若sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π4
，可知②是假命题；
对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，
其逆否命题也为真命题；
对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题．
答案： ③④
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；
(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直；
(3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .
解析： (1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；
p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．
(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．
(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N Z ，为假．
16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)m >14
时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.
解析： (1)原命题：若m >14
，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤14
，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤14
，是真命题． (2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．
17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或
x 2＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0}
＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，
q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0}
＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．
∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，
∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≥－2，a ＜0，
解得－23
≤a ＜0或a ≤－4. 18．(14分)已知命题p ：若不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2＞0的解集是R ；命题q ：sin x
＋cos x ＞m ；如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．
解析： 对于命题p ：
(1)当m －1＝0时，原不等式化为2＞0恒成立，满足题意：
(2)当m －1≠0时，只需⎩
⎪⎨⎪⎧
m －1＞0Δ＝m －2－m －＜0， 所以，m ∈[1,9)．
对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ∈[－2，2]， 若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x ＞m 是假命题，
则m ≥2；
综上，m 的取值范围是[2，9)．。